最后更新: 2025-09-04 18:15 查看: 61 次纠错评论(0) 课件开VIP

m维向量空间

## 第二章 向量空间与矩阵

在第一章的引言中已经指出，经典代数学的发展历史告诉我们：为了研究代数方程的实质问题，局限于数及其四则运算的领域是远远不够的。这就是说，我们必须通过分析代数方程的特殊性，从中提炼出代数学的新的研究对象，开拓新的研究领域。在代数方程中，线性方程组是最简单的一类，本章的任务，就是要从研究线性方程组在直观上的结构特点，从中产生出新的思想和新的课题。

现在把第一章§3的数域 $K$ 上的线性方程组（1）写成如下形状：

![图片](/uploads/2025-09/02ea6b.jpg)

它在结构上的特点就十分直观地显示在我们面前了．方程左端都是一个未知量 $x_i$ 乘上 $K$ 上一组数（按一定次序排列，共 $m$ 个）然后连加起来，方程右端也是 $K$ 上一组数（按一定次序排列起来，共 $m$ 个），然后两者相等，就构成一个线性方程组。这启发我们：不应当研究单独的数，而应当把一个按一定次序排列起来的数组当做我们新的研究对象。这种新的对象不再是普通的数，但在它里面也像数一样可以做某种运算，例如做加法，以及与普通的数（上面表示为未知量的形式）做乘法运算。于是代数学中一个新的研究对象就诞生了。

## m维向量空间

定义 设 $K$ 是一个数域．$K$ 中 $m$ 个数 $a_1, \cdots, a_m$ 所组成的一个 $m$ 元有序数组
$$
\alpha=\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_m
\end{array}\right] \quad\left(a_i \in K, i=1,2, \cdots, m\right)
$$

称为一个 $m$ 维向量，$a_i$ 称为它的第 $i$ 个分量或坐标．$K$ 上全体 $m$ 维向量所组成的集合记为 $K^m$ ．在 $K^m$ 内定义两个向量的加法如下：

$$
\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_m
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
a_1+b_1 \\
a_2+b_2 \\
\vdots \\
a_m+b_m
\end{array}\right] \in K^m .
$$

又设 $k$ 为 $K$ 中任意数，定义 $k$ 与 $K^m$ 中向量的数乘如下：

$$
k\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_m
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
k a_1 \\
k a_2 \\
\vdots \\
k a_m
\end{array}\right] \in K^m .
$$

集合 $K^m$ 和上面定义的加法，数乘运算这一个系统称为数域 $K$ 上的 $m$ 维向量空间。

> 今后我们用小写希腊字母来表示 $K^m$ 中的向量。另外，$K^m$ 中的向量也可以改写为 $\alpha=\left(a_1, a_2, \cdots, a_m\right)$（但在同一个问题中写法要统一，或者都坚写，或者都横写，以免造成混乱）。

现在我们来比较一下数域和 $K^m$ 之间的共同点与不同点．
1）数域和 $K^m$ 都是一个集合．但集合内的元素不同，数域的元素是数，而 $K^m$ 的元素是向量．

2）数域内有两种运算：加法和乘法（减法和除法是加法及乘法的逆运算）。 $K^m$ 内也有两种运算，但不是数的运算，是向量间的加法及数与向量的数乘，注意向量与向量没有乘法运算。

3）数域内数的加法、乘法满足一些运算法则，读者对它们已很熟悉。现在我们把它们总结一下。
（i）加法满足结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$ ；
（ii）加法满足交换律：$a+b=b+a$ ；
（iii）有个数 0 ，使对任何数域内的 $a, 0+a=a$ ；
（iv）数域内任意数 $a$ ，在该数域内有负数 $-a$ ，使 $a+(-a)=0$ ；
（v）有个数 1 ，使对数域内任意 $a$ ，有 $1 \cdot a=a$ ；
（vi）乘法满足结合律：$a(b c)=(a b) c$ ；
（vii）乘法满足交换律：$a b=b a$ ；
（viii）对数域内任意非零数 $a$ ，在该数域内有 $\frac{1}{a}$ ，使 $a \cdot \frac{1}{a}=1$ ；
（ix）加法与乘法满足分配律：$a(b+c)=a b+a c$ ．
数域内数的上述九条运算法则，是一切研讨的基础。在中学代数中关于数及其四则运算有关的一切内容，都是以它们为立足点的。

现在我们来指出，$K^m$ 内的两种运算也满足相应的运算法则。

**命题1.1 $K^m$ 中向量加法、数乘运算满足如下八条运算法则：**
（i）加法结合律 $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$ ；
（ii）加法交换律 $\alpha+\beta=\beta+\alpha$ ；
（iii）称 $(0,0, \cdots, 0)$ 为 $m$ 维零向量，记为 0 。对任一 $m$ 维向量 $\alpha$ ，有 $0+\alpha=\alpha+0=\alpha$ ；
（iv）任给 $\alpha=\left(a_1, a_2, \cdots, a_m\right)$ ，记 $-\alpha=\left(-a_1,-a_2, \cdots,-a_m\right)$ ，称其为 $\alpha$ 的负向量。它满足 $\alpha+(-\alpha)=(-\alpha)+\alpha=0$ ；
（v）对数 1 ，有 $1 \cdot \alpha=\alpha$ ；
（vi）对 $K$ 内任意数 $k, l$ ，有 $(k l) \alpha=k(l \alpha)$ ；
（vii）对 $K$ 内任意数 $k, l$ ，有 $(k+l) \alpha=k \alpha+l a$ ；
（viii）对 $K$ 内任意数 $k$ ，有 $k(\alpha+\beta)=k \alpha+k \beta$ ，其中 $K$ 表示数域，希腊字母 $\alpha, \beta, \gamma$ 表示 $K^m$ 中向量。

这个命题只需按定义逐一加以验证就可知其正确了。我们这里把它列举出来，是要读者注意：这八条是 $m$ 维向量空间的最基本的规律或性质。 $m$ 维向量空间的一系列基本命题都是以上述八条为基础推导出来的．

今后我们将 $\alpha+(-\beta)$ 写成 $\alpha-\beta$ ，称为向量的减法运算．下面再介绍几个基本概念．

> 定义 给定 $K^m$ 内一个向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ ，又给定数域 $K$ 内 $s$个数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 。称向量 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s$ 为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$的一个线性组合．

> 定义 给定 $K^m$ 内向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ ．设 $\beta$ 是 $K^m$ 内一个向量．如果存在数域 $K$ 内 $s$ 个数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，使

$$
\beta=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s,
$$

则称 $\beta$ 可被向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性表示．
现在利用上面这个概念来分析一下 $m$ 维向量空间中的向量和线性方程组之间的联系。给定数域 $K$ 上的线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m .
\end{array}\right. ...(1)
$$

考虑 $K^m$ 中的 $n+1$ 个向量

$$
\alpha_1=\left[\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m 1}
\end{array}\right], \quad \alpha_2=\left[\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{m 2}
\end{array}\right], \quad \cdots, \quad \alpha_n=\left[\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{m n}
\end{array}\right], \quad \beta=\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{array}\right] .
$$

应用 $m$ 维向量的加法和数乘运算，方程组（1）可以改写成如下的向量方程

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=\beta . ...(2)
$$

如果方程组（1）有一组解

$$
x_1=k_1, x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n \quad\left(k_i \in K\right),
$$

代入（2）式，得

$$
\beta=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n,
$$

即 $\beta$ 能被向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示．反之，若 $\beta$ 能被向量组 $\alpha_1$ ， $\alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，则表示的系数就是方程组（1）的一组解。于是有如下两条结论：

> **1）方程组（1）有解的充分必要条件是：向量 $\beta$ 能被向量组 $\alpha_1$ ， $\alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示；**

> **2）方程组（1）的解的组数等于 $\beta$ 被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示表法的种数**．

上面的分析触及了线性方程组的本质．读者应该十分熟悉线性
方程组（1）和向量方程（2）之间的联系．这就是说，给定一个线性方程组，读者应当立即能把它改写成向量方程。反过来，给定一个向量方程，也应立即能把它改写成线性方程组的形式。

`例1.1` 将数域 $K$ 上的下列线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{rrl}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 & = & 7 \\
3 x_1+2 x_2+x_3+x_4-3 x_5= & 2 \\
x_2+2 x_3+2 x_4+6 x_5= & 23 \\
5 x_1+4 x_2+3 x_3+3 x_4-x_5= & 12
\end{array}\right.
$$

写成向量方程的形状。为此，令

$$
\begin{gathered}
\alpha_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
0 \\
5
\end{array}\right], \quad \alpha_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1 \\
4
\end{array}\right], \quad \alpha_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right] \\
\alpha_4=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right], \quad \alpha_5=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-3 \\
6 \\
-1
\end{array}\right], \quad \beta=\left[\begin{array}{r}
7 \\
-2 \\
23 \\
12
\end{array}\right]
\end{gathered}
$$

得向量方程

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+x_3 \alpha_3+x_4 \alpha_4+x_5 \alpha_5=\beta
$$
$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+x_3 \alpha_3+x_4 \alpha_4+x_5 \alpha_5=\beta .
$$

利用第一章 § 3 的办法求得方程组的一组解

$$
x_1=-9, x_2=13, x_3=1, x_4=1, x_5=1 .
$$

于是

$$
\beta=-9 \alpha_1+13 \alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+\alpha_5 .
$$

这个方程组的解不唯一，所以 $\beta$ 表成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 的线性组合的表示方法也不唯一。实际上有无穷多种不同的表示法（方程组有无穷多组解）。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：没有了

下一篇：向量组的线性相关与线性无关

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)