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m维向量空间

## 第二章 向量空间与矩阵

在第一章的引言中已经指出，经典代数学的发展历史告诉我们：为了研究代数方程的实质问题，局限于数及其四则运算的领域是远远不够的。这就是说，我们必须通过分析代数方程的特殊性，从中提炼出代数学的新的研究对象，开拓新的研究领域。在代数方程中，线性方程组是最简单的一类，本章的任务，就是要从研究线性方程组在直观上的结构特点，从中产生出新的思想和新的课题。

现在把第一章§3的数域 $K$ 上的线性方程组（1）写成如下形状：

![图片](/uploads/2025-09/02ea6b.jpg)

它在结构上的特点就十分直观地显示在我们面前了．方程左端都是一个未知量 $x_i$ 乘上 $K$ 上一组数（按一定次序排列，共 $m$ 个）然后连加起来，方程右端也是 $K$ 上一组数（按一定次序排列起来，共 $m$ 个），然后两者相等，就构成一个线性方程组。这启发我们：不应当研究单独的数，而应当把一个按一定次序排列起来的数组当做我们新的研究对象。这种新的对象不再是普通的数，但在它里面也像数一样可以做某种运算，例如做加法，以及与普通的数（上面表示为未知量的形式）做乘法运算。于是代数学中一个新的研究对象就诞生了。

## m维向量空间

定义 设 $K$ 是一个数域．$K$ 中 $m$ 个数 $a_1, \cdots, a_m$ 所组成的一个 $m$ 元有序数组
$$
\alpha=\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_m
\end{array}\right] \quad\left(a_i \in K, i=1,2, \cdots, m\right)
$$

称为一个 $m$ 维向量，$a_i$ 称为它的第 $i$ 个分量或坐标．$K$ 上全体 $m$ 维向量所组成的集合记为 $K^m$ ．在 $K^m$ 内定义两个向量的加法如下：

$$
\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_m
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
a_1+b_1 \\
a_2+b_2 \\
\vdots \\
a_m+b_m
\end{array}\right] \in K^m .
$$

又设 $k$ 为 $K$ 中任意数，定义 $k$ 与 $K^m$ 中向量的数乘如下：

$$
k\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_m
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
k a_1 \\
k a_2 \\
\vdots \\
k a_m
\end{array}\right] \in K^m .
$$

集合 $K^m$ 和上面定义的加法，数乘运算这一个系统称为数域 $K$ 上的 $m$ 维向量空间。

> 今后我们用小写希腊字母来表示 $K^m$ 中的向量。另外，$K^m$ 中的向量也可以改写为 $\alpha=\left(a_1, a_2, \cdots, a_m\right)$（但在同一个问题中写法要统一，或者都坚写，或者都横写，以免造成混乱）。

现在我们来比较一下数域和 $K^m$ 之间的共同点与不同点．
1）数域和 $K^m$ 都是一个集合．但集合内的元素不同，数域的元素是数，而 $K^m$ 的元素是向量．

2）数域内有两种运算：加法和乘法（减法和除法是加法及乘法的逆运算）。 $K^m$ 内也有两种运算，但不是数的运算，是向量间的加法及数与向量的数乘，注意向量与向量没有乘法运算。

3）数域内数的加法、乘法满足一些运算法则，读者对它们已很熟悉。现在我们把它们总结一下。
（i）加法满足结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$ ；
（ii）加法满足交换律：$a+b=b+a$ ；
（iii）有个数 0 ，使对任何数域内的 $a, 0+a=a$ ；
（iv）数域内任意数 $a$ ，在该数域内有负数 $-a$ ，使 $a+(-a)=0$ ；

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