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矩阵运算和秩的关系

## 5．矩阵运算和秩的关系
在§2中我们学习了矩阵的秩的概念，本节又介绍了矩阵的三种运算．现在来讨论这两部分知识之间的关系．先证明一个有用的命题．

命题4．3 在 $K^m$ 中给定两个向量组：

$$
\begin{aligned}
& \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n ; ...(I) \\
& \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_k ...(II)
\end{aligned}
$$

如果（I）可被（II）线性表示，则（I）的秩 $\leqslant$（II）的秩。
证 设（I）的一个极大线性无关部分组为

$$
\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r},...(III)
$$

则（I）的秩 $=r$ ．又设（II）的一个极大线性无关部分组为

$$
\beta_{j_1}, \beta_{j_2}, \cdots, \beta_{j_s} ...(IV)
$$

则（II）的秩 $=s$ ．现在（II）可由（II）线性表示，（II）又可被（IV）线性表示，于是（III）可被（IV）线性表示，而（III）线性无关，按命题 1.4 ，应有 $r \leqslant s$.

命题4．4 给定 $A, B \in M_{m, n}(K)$ ．则有
（i）对任意 $k \in K, k \neq 0, \mathrm{r}(k A)=\mathrm{r}(A)$ ；
（ii） $\mathrm{r}(A+B) \leqslant \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)$ ．
证（i）$k A$ 为 $A$ 的每行乘 $K$ 内非零数 $k$ ，故为对 $A$ 作 $m$ 次第二类初等行变换。按命题2．1，有 $\mathrm{r}(k A)=\mathrm{r}(A)$ 。
（ii）设 $A$ 的列向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，它的一个极大线性无关部分组设为 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ ，于是 $r=\mathrm{r}(A)$ ；又设 $B$ 的列向量组为 $\beta_1, \beta_2$ ， $\cdots, \beta_n$ ，它的一个极大线性无关部分组设为 $\beta_{j_1}, \beta_{j_2}, \cdots, \beta_{j_s}$ ，于是 $s=\mathrm{r}(B)$ 。此时 $A+B$ 的列向量组为 $\alpha_1+\beta_1, \alpha_2+\beta_2, \cdots, \alpha_n+\beta_n$ ，它显然能被下面向量组

$$
\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}, \beta_{j_1}, \beta_{j_2}, \cdots, \beta_{j_s}
$$

线性表示，按命题 $4.3, \mathrm{r}(A+B) \leqslant(\mathrm{I})$ 的秩 $\leqslant r+s$ ．

命题4．5 设 $A \in M_{m, n}(K), B \in M_{n, s}(K)$ ，则

$$
\mathrm{r}(A B) \leqslant \min \{\mathrm{r}(A), \mathrm{r}(B)\}
$$

（注： $\min \{\mathrm{r}(A), \mathrm{r}(B)\}$ 表示 $\mathrm{r}(A), \mathrm{r}(B)$ 中较小者）．
证 设 $C=A B$ 。按命题 $4.1, C$ 的列向量组可被 $A$ 的列向量组线性表示，再由命题4．3知 $\mathrm{r}(C) \leqslant \mathrm{r}(A)$ 。

另一方面， $\mathrm{r}(C)=\mathrm{r}\left(C^{\prime}\right)=\mathrm{r}\left((A B)^{\prime}\right)=\mathrm{r}\left(B^{\prime} A^{\prime}\right) \leqslant \mathrm{r}\left(B^{\prime}\right)=\mathrm{r}(B)$ （这里用到上面的结论）。

命题4．6 设 $A \in M_{m, n}(K), B \in M_{n, s}(K)$ ，则

$$
\mathrm{r}(A B) \geqslant \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)-n
$$

证 令 $C=A B$ ．设 $B$ 的列向量组为 $B_1, B_2, \cdots, B_s$（看做 $n \times 1$ 矩阵），$C$ 的列向量组为 $C_1, C_2, \cdots, C_s$（看做 $m \times 1$ 矩阵）。那么按矩阵乘法，应有

$$
A B_i=C_i \quad(i=1,2, \cdots, s) .
$$

现设 $C_{i_1}, C_{i_2}, \cdots, C_{i_r}$ 为 $C$ 的列向量组的一个极大线性无关部分组，于是 $r=\mathrm{r}(C)=\mathrm{r}(A B)$ ．对任一 $C_i$ ，有

$$
C_i=k_1 C_{i_1}+k_2 C_{i_2}+\cdots+k_r C_{i_r} .
$$

于是

$$
A\left(k_1 B_{i_1}+k_2 B_{i_2}+\cdots+k_r B_{i_r}\right)
$$
$$
\begin{aligned}
& =k_1 A B_{i_1}+k_2 A B_{i_2}+\cdots+k_r A B_{i_r} \\
& =k_1 C_{i_1}+k_2 C_{i_2}+\cdots+k_r C_{i_r}=C_i
\end{aligned}
$$

现在线性方程组 $A X=C_i$ 有两组解

$$
X_1=B_i, \quad X_2=k_1 B_{i_1}+k_2 B_{i_2}+\cdots+k_r B_{i_r} .
$$

如设其导出方程组 $A X=0$ 的一个基础解系为 $P_1, P_2, \cdots, P_t$（都看做 $n \times 1$ 矩阵），则 $t=n-\mathrm{r}(A)$ 。且由本章§3中的定理3．3知

$$
\begin{aligned}
B_i= & k_1 B_{i_1}+k_2 B_{i_2}+\cdots+k_r B_{i_r} \\
& +l_1 P_1+l_2 P_2+\cdots+l_t P_t .
\end{aligned}
$$

于是 $B$ 的列向量组 $B_1, B_2, \cdots, B_s$ 可由向量组

$$
B_{i_1}, B_{i_2}, \cdots, B_{i_r}, P_1, P_2, \cdots, P_t
$$

线性表示，按命题4．3， $\mathrm{r}(B) \leqslant(\mathrm{I})$ 的秩 $\leqslant r+t=\mathrm{r}(C)+n-\mathrm{r}(A)$ ，移项得

$$
\mathrm{r}(A B)=\mathrm{r}(C) \geqslant \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)-n .
$$

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