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n 阶方阵

## n 阶方阵

前面已指出，矩阵乘法实质上就是第一章§1介绍的集合间映射的乘法的一种特例。我们已经知道，集合间映射不是随便可以作乘法的。所以也不是随便两个矩阵都能相乘。但是在那里我们也指出：如果是一个集合到自身上的映射，即该集合内的变换，那么乘法总可以进行。用到现在这个特例上来，就是 $m=n=s$ 时，即 $K^n$ 到自身的映射，也就是 $A$ 和 $B$ 都是一个 $n \times n$ 矩阵时，乘法总有意义。这时它所探讨的是 $K^n$ 自身的结构，即 $K^n$ 的内部关系。它在理论上显然有其特别的重要性，需要我们对它作深入的探讨。由于这个原因，本节将集中对数域 $K$ 上的 $n \times n$ 矩阵作较深一步的研究．

## 1．数域上的 $n$ 阶方阵
**定义** 数域 $K$ 上的 $n \times n$ 矩阵称为 $K$ 上的 $n$ 阶方阵．$K$ 上全体 $n$ 阶方阵所成的集合记做 $M_n(K)$ 。

现在集合 $M_n(K)$ 内有矩阵加法，与 $K$ 中数的数乘以及矩阵乘法：$K$ 上两个 $n$ 阶方阵的乘积仍为 $K$ 上 $n$ 阶方阵。这些运算又满足前面指出的运算法则。这就是说，$M_n(K)$ 已经是一个代数系统，成为代数学的研究对象了。

数域 $K$ 上一个 $n$ 阶方阵是一个正方形表格

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]
$$

## 迹
自左上角到右下角这一条对角线称为 $A$ 的主对角线．主对角线上元素的特征是其两个下角标相同，表示为 $a_{i i}(i=1,2, \cdots, n) . A$ 的主对角线上 $n$ 个元素连加：

$$
\operatorname{Tr}(A) \stackrel{\text { def }}{=} a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}
$$

称为 $A$ 的**迹**，它是描述 $A$ 的某种特征的一个数量，有许多重要的应用。

在本章§1指出，$K^n$ 中 $n$ 个坐标向量

$$
\varepsilon_i=(0, \cdots, 0, \stackrel{i}{1}, 0, \cdots, 0) \quad(i=

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