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矩阵的初等变换

## 矩阵的初等变换
现在我们来指出：本章§2讲到的对 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵作初等行 （列）变换可以用左（右）乘一个适当的方阵来实现，这是矩阵乘法的一个重要应用。

定义 $n$ 阶单位矩阵 $E$ 经过一次初等行变换或初等列变换所得的矩阵称为 $n$ 阶初等矩阵。

下面把初等矩阵分为三种类型分别写出来。
1）互换 $E$ 的 $i, j$ 两行，得
 ![图片](/uploads/2025-09/d0475f.jpg)

显然，互换 $E$ 的 $i, j$ 两列得到相同的结果．
 
2）把 $E$ 的第 $i$ 行乘以 $c \neq 0$（这里 $c \in K$ ），得
 ![图片](/uploads/2025-09/16301b.jpg)
 显然，把 $E$ 的第 $i$ 列乘以 $c$ 得到相同的结果．
3）把 $E$ 的第 $j$ 行加上第 $i$ 行的 $k$ 倍（这里 $k \in K$ ），得
 ![图片](/uploads/2025-09/b437f7.jpg)
 
 
（上面各矩阵的空白处均为零）。
对 $E$ 还可以作第四种初等变换：把第 $j$ 列加上第 $i$ 列的 $k$ 倍，得

![图片](/uploads/2025-09/857f54.jpg)
 
 但是 $P_n^{\prime}(k \cdot i, j)$ 可看做 $P_n(k \cdot j, i)$ ，即 $E$ 的第 $i$ 行加上第 $j$ 行的 $k$倍，所以它实际上属于类型 3）。

命题5．1 给定数域 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，则有
（i）$P_m(i, j) A$ 为互换 $A$ 的 $i, j$ 两行；$A P_n(i, j)$ 为互换 $A$ 的 $i, j$两列．
（ii）$P_m(c \cdot i) A$ 为把 $A$ 的第 $i$ 行乘以 $c \neq 0 ; A P_n(c \cdot i)$ 为把 $A$ 的第 $i$ 列乘以 $c \neq 0$ ．
（iii）$P_m(k \cdot i, j) A$ 为把 $A$ 的第 $j$ 行加上第 $i$ 行的 $k$ 倍； $A P_n^{\prime}(k \cdot i, j)$ 为把 $A$ 的第 $j$ 列加上第 $i$ 列的 $k$ 倍．

证（i）我们有

$$
P_m(i, j)=E-E_{i i}-E_{j j}+E_{i j}+E_{j i}
$$

故

$$
P_m(i, j) A=\left(A-E_{i i} A-E_{j j} A\right)+E_{i j} A+E_{j i} A
$$

其中 $A-E_{i i} A-E_{j j} A$ 为把 $A$ 的第 $i, j$ 两行换为零，其他行不动；$E_{i j} A$为把 $A$ 的第 $j$ 行平移到第 $i$ 行，其他行为零；而 $E_{j i} A$ 则是把 $A$ 的第 $i$行平移到第 $j$ 行，其他行为零。把这三部分连加起来，恰为互换 $A$ 的 $i, j$ 两行，其他行不动．
$A P_n(i, j)$ 为互换 $A$ 的 $i, j$ 两列，证法相同．
（ii）$P_m(c \cdot i)$ 为 $m$ 阶对角矩阵，主对角线上第 $i$ 个元素为 $c$ ，其余为1．根据前面指出的对角矩阵左乘 $A$ 的法则可知 $P_m(c \cdot i) A$ 为把 $A$ 的第 $i$ 行乘 $c$ ，其余行不动。
$A P_n(c \cdot i)$ 为把 $A$ 的第 $i$ 列乘 $c$ ，证法相同．

（iii）显然有

$$
P_m(k \cdot i, j)=E+k E_{j i}
$$

故

$$
P_m(k \cdot i, j) A=A+k E_{j i} A
$$

$k E_{j i} A$ 为把 $A$ 的第 $i$ 行平移到第 $j$ 行后再乘 $k$ ，其余行为零。故 $A+k E_{j i} A$ 恰为 $A$ 的第 $j$ 行加上第 $i$ 行的 $k$ 倍，其他行不动。
$A P_n^{\prime}(k \cdot i, j)$ 为把 $A$ 的第 $j$ 列加上第 $i$ 列的 $k$ 倍，证法相同。
在§2中已经指出，可以用一系列初等行及列变换把一个非零的 $m \times n$ 矩阵化为标准形 $D:$

$$
A \rightarrow A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow \cdots \rightarrow A_k=D .
$$

其中
 ![图片](/uploads/2025-09/20ff93.jpg)
 因为矩阵的初等变换是可逆的，矩阵 $A$ 经若干次初等行、列变换化为 $D$ ，那么，矩阵 $D$ 也可经若干次初等行、列变换化为 $A$（只要把上面每个变换倒过来做就可以了）：

$$
D=A_k \rightarrow \cdots \rightarrow A_2 \rightarrow A_1 \rightarrow A .
$$

现在根据命题5．1知存在初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_s, Q_1, Q_2, \cdots, Q_t$ ，使

$$
A=P_1 P_2 \cdots P_s D Q_1 Q_2 \cdots Q_t .
$$

一个数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ ，如果它的秩 $\mathrm{r}(A)=n$ ，则称为一个满秩的 $n$ 阶方阵。满秩的 $n$ 阶方阵在初等变换下的标准形 $D$ 应为 $n$阶单位矩阵 $E$ ，故

$$
\begin{aligned}
A & =P_1 P_2 \cdots P_s E Q_1 Q_2 \cdots Q_t \\
& =P_1 P_2 \cdots P_s Q_1 Q_2 \cdots Q_t .
\end{aligned}
$$

命题 5.2 数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ 满秩的充分必要条件是 $A$可表示为有限多个初等矩阵的乘积．

证 必要性 上面已证。
充分性 若 $A$ 可表为初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_s$ 的乘积：

$$
A=P_1 P_2 \cdots P_s=P_1 P_2 \cdots P_s E .
$$

上式表示 $A$ 可由 $n$ 阶单位矩阵 $E$ 作 $s$ 次初等行变换得到，故

$$
\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(E)=n .
$$

**推论 1 设 $A$ 是数域 $K$ 上满秩的 $n$ 阶方阵，则 $A$ 可单用初等行变换化为单位矩阵 $E$ ，也可单用初等列变换化为单位矩阵 $E$ ．**

证 按命题5．2，存在 $n$ 阶初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_s$ ，使

$$
A=P_1 P_2 \cdots P_s=P_1 P_2 \cdots P_s E .
$$

上式表明 $E$ 经 $s$ 次初等行变换化为 $A$ ，而初等行变换可逆，故 $A$ 可用初等行变换化为 $E$ ．又由

$$
A=E P_1 P_2 \cdots P_s,
$$

按同样推理知 $A$ 可单用 $s$ 次初等列变换化为 $E$ ．
定义 给定数域 $K$ 上两个 $m \times n$ 矩阵 $A, B$ 。若 $A$ 经有限次初等行、列变换化为 $B$ ，则称 $B$ 与 $A$ **相抵**．

容易看出，矩阵的相抵关系是集合 $M_{m, n}(K)$ 内的一种等价关系。
推论2 给定数域K上两个 $m \times n$ 矩阵 $A, B$ ，则下面命题等价：
（i）$B$ 与 $A$ 相抵；

（ii） $\mathrm{r}(B)=\mathrm{r}(A)$ ；
（iii）存在 $m$ 阶满秩方阵 $P$ 及 $n$ 阶满秩方阵 $Q$ ，使 $B=P A Q$ ．
证 使用轮转证法．
（i）$\Longrightarrow$（ii）这是因为初等变换不改变矩阵的秩。
（ii）$\Rightarrow$（iii）此时 $B$ 与 $A$ 经初等变换化为同一标准形 $D$ ，而初等变换可逆，故 $A$ 可经初等变换化为 $D$ ，再经初等变换化为 $B$ 。即存在 $m$ 阶初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_k, n$ 阶初等矩阵 $Q_1, Q_2, \cdots, Q_l$ ，使得 $P_1 P_2 \cdots P_k A Q_1 Q_2 \cdots Q_l=B$ ，令 $P=P_1 P_2 \cdots P_k, Q=Q_1 Q_2 \cdots Q_l$ 即可．
（iii）$\Rightarrow$（i）已知 $P, Q$ 满秩，可分别表为初等矩阵的乘积： $P=P_1 P_2 \cdots P_k, Q=Q_1 Q_2 \cdots Q_l$ ，则 $B=P_1 P_2 \cdots P_k A Q_1 Q_2 \cdots Q_l$ ，这表示 $A$经有限次初等行、列变换化为 $B$ ，即 $B$ 与 $A$ 相抵．

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