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逆矩阵

## 3．逆矩阵
已知在数域 $K$ 上 $n$ 阶方阵所成的集合 $M_n(K)$ 内有乘法运算。一个自然的问题是，在 $M_n(K)$ 内能不能做除法运算？前面我们曾指出，可能存在两个 $K$ 上 $n$ 阶方阵 $A, B, A \neq 0, B \neq 0$ ，但 $A B=0$（例如§4的例 4．5）。如果除法总可进行，那么从 $A B=0$ 两边同＂除＂$A$ 就得 $B =0$ ，与已知矛盾．由此可知，在 $M_n(K)$ 内一般不能做＂除法＂．但在这一段落里我们要来指明：在一定条件下可以有类似于数的除法的概念（但又有根本性的不同）。

两个数 $a, b(b \neq 0)$ 相除可用 $a \cdot b^{-1}$ 或 $b^{-1} a$ 来表示。能不能做除法，关键在于对每个 $b \neq 0$ ，是否能找到一个数 $b^{-1}$ ，使 $b^{-1} b=b b^{-1}=1$ ．在数的范围内这总是可以办到的．但在矩阵的范围内就不一定了，只有在更强的条件下才能做到这一点。

定义 设 $A$ 是数域 $K$ 上的一个 $n$ 阶方阵，如果存在数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $B$ ，使

$$
B A=A B=E,
$$

则称 $B$ 是 $A$ 的一个逆矩阵，此时 $A$ 称为可逆矩阵．
请读者注意，这定义仅对 $n$ 阶方阵才有意义。
从上面的定义立刻提出如下两个问题：
1）什么样的 $n$ 阶方阵 $A$ 是可逆的？

2）如果 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，那么它的逆矩阵是不是唯一的？
下面来回答这两个问题。
命题 5.3 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵。如果存在 $K$ 上 $n$ 阶方阵 $B, B_1$ ，使

$$
A B=B_1 A=E
$$

则 $B_1=B$ ，即 $A$ 可逆，且 $B$ 为 $A$ 的一个逆矩阵．
证 我们有

$$
B_1=B_1 E=B_1(A B)=\left(B_1 A\right) B=E B=B
$$

推论 设 $A \in M_n(K)$ 。如果 $A$ 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
证 设 $B, B_1$ 均为 $A$ 的逆矩阵，按定义有

$$
A B=E, \quad B_1 A=E
$$

由命题 5.3 知 $B_1=B$ ．
当 $A$ 可逆时，我们把 $A$ 的唯一逆矩阵记为 $A^{-1}$ 。对正整数 $k$ ，令 $A^{-k}=\left(A^{-1}\right)^k$ 。

命题 5.4 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵．则 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 是满秩的．

证 必要性 $A$ 可逆时，有 $B \in M_n(K)$ ，使 $A B=E$ ．故（注意一个 $n$ 阶方阵秩最多为 $n$ ）

$$
n=\mathrm{r}(E)=\mathrm{r}(A B) \leqslant \mathrm{r}(A) \leqslant n .
$$

于是 $\mathrm{r}(A)=n$ ．
充分性 若 $A$ 满秩，按命题 5.2 的推论1，存在 $n$ 阶初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_s ; Q_1, Q_2, \cdots, Q_t$ ，使

$$
P_1 P_2 \cdots P_s A=E, \quad A Q_1 Q_2 \cdots Q_t=E
$$

令 $P=P_1 P_2 \cdots P_s, Q=Q_1 Q_2 \cdots Q_t$ ，则 $P A=A Q=E$ ，由命题 5.3 知 $P= Q$ ，且 $P$ 为 $A$ 的逆矩阵．

推论 设 $A \in M_n(K)$ 。如果存在 $B \in M_n(K)$ ，使 $A B=E$ 或 $B A =E$ 之一成立，则 $A$ 可逆且 $A^{-1}=B$ ．

证 例如，当 $A B=E$ 成立时，有

$$
n=\mathrm{r}(E)=\mathrm{r}(A B) \leqslant \mathrm{r}(A) \leqslant n,
$$

即 $\mathrm{r}(A)=n$ ．于是 $A$ 可逆．我们有

$$
A^{-1}=A^{-1} E=A^{-1}(A B)=\left(A^{-1} A\right) B=E B=B .
$$

当 $B A=E$ 成立时证法相同．
引进逆矩阵的概念有重要的意义．例如，把线性方程组写成矩阵方程式

$$
A X=B .
$$

如果 $A$ 是一个可逆方阵，则以 $A^{-1}$ 左乘（不能右乘，因为矩阵乘法不可交换，$X$ 与 $B$ 都是 $n \times 1$ 矩阵，所以在这里右乘甚至没有意义）等式两边，得

$$
A^{-1}(A X)=\left(A^{-1} A\right) X=E X=X=A^{-1} B
$$

即

$$
X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right]=A^{-1}\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right]
$$

这就把线性方程组的解求出来了．这很像解一元一次方程 $a x=b$ 所采用的办法．关于这个问题，我们将在第三章再做详细和严格的讨论．
例 5.1 设

$$
A=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 1
\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & -1 \\
3 & -1 & -2 \\
-1 & 1 & 1
\end{array}\right],
$$

做矩阵乘法，不难验证

$$
B A=A B=E
$$

故 $A$ 可逆，且 $A^{-1}=B$ ．
例 5.2 在上一段中所定义的初等矩阵都是可逆矩阵。具体地说，有
（i）$P_n(i, j)^{-1}=P_n(i, j)$ ；
（ii）$P_n(c \cdot i)^{-1}=P_n\left(\frac{1}{c} \cdot i\right)(c \neq 0)$ ；
（iii）$P_n(k \cdot i, j)^{-1}=P_n(-k \cdot i, j)$ ．
上面的关系式既可以用矩阵乘法直接验证，也可以用命题 5.1 加以证明．例如证明（iii）：验证
$$
P_n(k \cdot i, j) \cdot P_n(-k \cdot i, j) E=E .
$$

等式左边表示对 $n$ 阶单位矩阵 $E$ 作两次初等行变换，第一次是把第 $j$ 行加上第 $i$ 行的 $-k$ 倍，第二次是把变换后的矩阵的第 $j$ 行再加上第 $i$ 行的 $k$ 倍，结果还变成 $E$ ，故

$$
P_n(k \cdot i, j) \cdot P_n(-k \cdot i, j)=E .
$$

于是按命题5．4的推论，有

$$
P_n(k \cdot i, j)^{-1}=P_n(-k \cdot i, j) .
$$

（i）与（ii）请读者自行证明．
关于逆矩阵，有如下几个简单的事实。
命题5．5 设 $A, B$ 是数域 $K$ 上的两个可逆 $n$ 阶方阵，则有
（i）$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ ；
（ii）$A B$ 可逆，且 $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ ；
（iii）$A^{\prime}$ 可逆，且 $\left(A^{\prime}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\prime}$ ．
证（i）设 $A^{-1}=C$ ，则因 $C A=A C=E$ ，故 $A$ 可看做 $C$ 的逆矩阵，即 $C^{-1}=A$ ，亦即 $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ 。
（ii）因为

$$
(A B)\left(B^{-1} A^{-1}\right)=A\left(B B^{-1}\right) A^{-1}=A E A^{-1}=A A^{-1}=E,
$$

故 $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ ．
（iii）因为
$$
A^{\prime}\left(A^{-1}\right)^{\prime}=\left(A^{-1} A\right)^{\prime}=E^{\prime}=E
$$

故 $\left(A^{\prime}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\prime}$ ．
根据上述命题的（ii）可知：有限多个可逆方阵 $A_1, A_2, \cdots, A_s$ 的乘积还是可逆的，且

$$
\left(A_1 A_2 \cdots A_s\right)^{-1}=A_s^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}
$$

特别地，如果 $A$ 是一个 $n$ 阶可逆矩阵，则对任意正整数 $k, A^k$ 也可逆，且

$$
\left(A^k\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^k=A^{-k}
$$

下面来说明在实际上如何计算一个可逆 $n$ 阶方阵的逆矩阵。首先注意下面两个事实：

1）如果 $A$ 可逆，则 $A$ 满秩．于是按命题 5.2 的推论 1 ，它可单用初等行变换化为单位矩阵 $E$ ；
2）如果 $A$ 单用初等行变换化为单位矩阵 $E$ ，即有 $n$ 阶初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_s$ ，使 $P_1 P_2 \cdots P_s A=E$ 。那么，按命题5．4的推论，有

$$
A^{-1}=P_1 P_2 \cdots P_s=P_1 P_2 \cdots P_s E .
$$

上式表示：如将这 $s$ 个初等变换同时作用在 $E$ 上，最后得出的就是 $A^{-1}$ 。

由此得逆矩阵的如下计算方法：
（i）把 $A$ 和 $E$ 并排放在一起，排成一个 $n \times 2 n$ 矩阵：$(A \div E)$ ；
（ii）对上面的 $n \times 2 n$ 矩阵做初等行变换（不能做列变换），把左边的 $A$ 化为 $E$ 时，右边 $E$ 的位置上所出来的就是 $A^{-1}$ 。用图式表示，就是

$$
(A: E) \rightarrow\left(\begin{array}{l:l}
E & A^{-1}
\end{array}\right) .
$$

读者仿照上面的办法自己证明一下：如把 $A$ 和 $E$ 上下排列成一个 $2 n \times n$ 矩阵

$$
\left[\begin{array}{c}
A \\
\hdashline E
\end{array}\right],
$$

对它做列初等变换（不能做行变换），把上面的 $A$ 化成 $E$ ，则此时下面 $E$ 的位置上所出来的也是 $A^{-1}$

$$
\left[\begin{array}{c}
A \\
\cdots \\
E
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{c}
E \\
\cdots \\
A^{-1}
\end{array}\right] .
$$

例 5.3 求

$$
A=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 1
\end{array}\right]
$$

的逆矩阵。
解 给定 $A$ ，我们事先可能不知道它是否可逆．但并不需要先去判断它是否可逆，而可以直接利用上面介绍的办法进行计算。如果 $A$不可逆，那么做行初等变换，把 $A$ 化成阶梯形后，其阶梯个数 $=\mathrm{r}(A) <n$ 。若 $A$ 可逆，则 $\mathrm{r}(A)=n$ ，此时先把 $A$ 化为阶梯形，再把各行乘适当数使主对角线上元素全变为 1 ，再利用最后一行最后一列的 1 消去它顶上的其他数，又利用倒数第二行主对角线上的 1 消去它顶上的其他数，等等．本例具体计算如下：
 ![图片](/uploads/2025-09/611e1d.jpg)
 
 
 例 5.4 解矩阵方程

$$
\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2 \\
x_3 & y_3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right]
$$

解 显然，有

$$
\left[\begin{array}{ll}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2 \\
x_3 & y_3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 1
\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right]
$$

但处理这类问题实际上可以不必先计算逆矩阵。设 $A$ 是一个 $n$ 阶可逆方阵，$B$ 是 $n \times s$ 矩阵，要求一个 $n \times s$ 矩阵 $X$ ，使

$$
A X=B
$$

（显然，这样的 $X$ 必存在，例如不难验证 $A^{-1} B$ 就是）。已知有初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_l$ ，使

$$
P_1 P_2 \cdots P_l A=E,
$$

把这些初等矩阵左乘上面的矩阵方程，得

$$
P_1 P_2 \cdots P_l A X=P_1 P_2 \cdots P_l B,
$$

即

$$
X=P_1 P_2 \cdots P_l B
$$

比较（1），（2）两式可知：如果用一系列初等行变换把 $A$ 化为 $E$ ，同时把这些初等行变换施加在 $B$ 上，所得的结果即为 $X$ 的解．用图式表示，就是

$$
\left(\begin{array}{l:l}
A & B
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{l:l}
E & X
\end{array}\right) .
$$

例5．4具体计算如下

![图片](/uploads/2025-09/f0b32e.jpg)
 
 当 $X$ 和 $B$ 都是 $n \times 1$ 矩阵时，$A X=B$ 就是 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的线性方程组，而这时上面所述的办法就是第一章 § 3 所讲的矩阵消元法。读者可仿照上述办法导出解矩阵方程

$$
X A=B
$$

（其中 $A$ 是 $n$ 阶可逆方阵，$X, B$ 是 $m \times n$ 矩阵）的方法。
本节最后我们来介绍上述理论在处理矩阵问题时的一个应用的实例。

例 5.5 给定数域 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵 $A$ 和 $n \times s$ 矩阵 $B$ ，证明

$$
\mathrm{r}(A B) \geqslant \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)-n
$$

证 这就是命题4．6，现在利用矩阵乘法技巧来给出它的另一个证明．

若 $A=0$ ，则 $A B=0$ ，于是 $\mathrm{r}(A B)=\mathrm{r}(A)=0$ ，而 $\mathrm{r}(B) \leqslant n$ ．不等式显然成立．下面设 $A \neq 0$ ．按前面的讨论，存在 $m$ 阶初等矩阵 $P_1$ ， $P_2, \cdots, P_s$ 及 $n$ 阶初等矩阵 $Q_1, Q_2, \cdots, Q_t$ ，使 $P_1 P_2 \cdots P_s A Q_1 Q_2 \cdots Q_t= D$ 为 $A$ 在初等变换下的标准形。令 $P=P_1 P_2 \cdots P_s, Q=Q_1 Q_2 \cdots Q_t$ ，则 $P A Q=D$ 。按命题 $5.2, P, Q$ 均为满秩方阵。又由该命题的推论 2 ，有

$$
\mathrm{r}(A B)=\mathrm{r}(P A B)=\mathrm{r}\left((P A Q) Q^{-1} B\right)=\mathrm{r}\left(D B_1\right)
$$

这里 $B_1=Q^{-1} B$ ，现在 $\mathrm{r}(D)=\mathrm{r}(A), \mathrm{r}\left(B_1\right)=\mathrm{r}(B)$ 。根据上面叙述

![图片](/uploads/2025-09/cbe8b7.jpg)
 
 $D B_1$ 的秩等于 $B_1$ 前 $r$ 行的秩，$D B_1$ 前 $r$ 个行向量的极大线性无关部分组添加 $B_1$ 的后 $n-r$ 个行向量即可线性表示 $B_1$ 的各个行向量。由命题4．3得 $\mathrm{r}\left(B_1\right) \leqslant \mathrm{r}\left(D B_1\right)+(n-r)$ ．于是（注意 $r=\mathrm{r}(D)=\mathrm{r}(A)$ ）

$$
\begin{aligned}
\mathrm{r}(A B) & =\mathrm{r}\left(D B_1\right) \geqslant \mathrm{r}\left(B_1\right)+r-n \\
& =\mathrm{r}(B)+\mathrm{r}(A)-n .
\end{aligned}
$$

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