最后更新: 2025-09-10 15:50 查看: 64 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

逆矩阵

## 3．逆矩阵
已知在数域 $K$ 上 $n$ 阶方阵所成的集合 $M_n(K)$ 内有乘法运算。一个自然的问题是，在 $M_n(K)$ 内能不能做除法运算？前面我们曾指出，可能存在两个 $K$ 上 $n$ 阶方阵 $A, B, A \neq 0, B \neq 0$ ，但 $A B=0$（例如§4的例 4．5）。如果除法总可进行，那么从 $A B=0$ 两边同＂除＂$A$ 就得 $B =0$ ，与已知矛盾．由此可知，在 $M_n(K)$ 内一般不能做＂除法＂．但在这一段落里我们要来指明：在一定条件下可以有类似于数的除法的概念（但又有根本性的不同）。

两个数 $a, b(b \neq 0)$ 相除可用 $a \cdot b^{-1}$ 或 $b^{-1} a$ 来表示。能不能做除法，关键在于对每个 $b \neq 0$ ，是否能找到一个数 $b^{-1}$ ，使 $b^{-1} b=b b^{-1}=1$ ．在数的范围内这总是可以办到的．但在矩阵的范围内就不一定了，只有在更强的条件下才能做到这一点。

定义 设 $A$ 是数域 $K$ 上的一个 $n$ 阶方阵，如果存在数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $B$ ，使

$$
B A=A B=E,
$$

则称 $B$ 是 $A$ 的一个逆矩阵，此时 $A$ 称为可逆矩阵．
请读者注意，这定义仅对 $n$ 阶方阵才有意义。
从上面的定义立刻提出如下两个问题：
1）什么样的 $n$ 阶方阵 $A$ 是可逆的？

2）如果 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，那么它的逆矩阵是不是唯一的？
下面来回答这两个问题。
命题 5.3 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵。如果存在 $K$ 上 $n$ 阶方阵 $B, B_1$ ，使

$$
A B=B_1 A=E
$$

则 $B_1=B$ ，即 $A$ 可逆，且 $B$ 为 $A$ 的一个逆矩阵．
证 我们有

$$
B_1=B_1 E=B_1(A B)=\left(B_1 A\right) B=E B=B
$$

推论 设 $A \in M_n(K)$ 。如果 $A$ 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
证 设 $B, B_1$ 均为 $A$ 的逆矩阵，按定义有

$$
A B=E, \quad B_1 A=E
$$

由命题 5.3 知 $B_1=B$ ．
当 $A$ 可逆时，我们把 $A$ 的唯一逆矩阵记为 $A^{-1}$ 。对正整数 $k$ ，令 $A^{-k}=\left(A^{-1}\right)^k$ 。

命题 5.4 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵．则 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 是满秩的．

证 必要性 $A$ 可逆时，有 $B \in M_n(K)$ ，使 $A B=E$ ．故（注意一个 $n$ 阶方阵秩最多为 $n$ ）

$$
n=\mathrm{r}(E)=\mathrm{r}(A B) \leqslant \mathrm{r}(A) \leqslant n .
$$

于是 $\mathrm{r}(A)=n$ ．
充分性 若 $A$ 满秩，按命题 5.2 的推论1，存在 $n$ 阶初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_s ; Q_1, Q_2, \cdots, Q_t$ ，使

$$
P_1 P_2 \cdots P_s A=E, \quad A Q_1 Q_2 \cdots Q_t=E
$$

令 $P=P_1 P_2 \cdots P_s, Q=Q_1 Q_2 \cdots Q_t$ ，则 $P A=A Q=E$ ，由命题 5.3 知 $P= Q$ ，且 $P$ 为 $A$ 的逆矩阵．

推论 设 $A \in M_n(K)$ 。如果存在 $B \in M_n(K)$ ，使 $A B=E$ 或 $B A =E$ 之一成立，则 $A$ 可逆且 $A^{-1}=B$ ．

证 例如，当 $A B=E$ 成立时，有

$$
n=\mathrm{r}(E)=\mathrm{r}(A B) \leqslant \mathrm{r}(A) \leqslant n,
$$

即 $\mathrm{r}(A)=n$ ．于是 $A$ 可逆．我们有

$$
A^{-1}=A^{-1} E=A^{-1}(A B)=\left(A^{-1} A\right) B=E B=B .
$$

当 $B A=E$ 成立时证法相同．
引进逆矩阵的概念有重要的意义．例如，把线性方程组写成矩阵方程式

$$
A X=B .
$$

如果 $A$ 是一个可逆方阵，则以 $A^{-1}$ 左乘（不能右乘，因为矩阵乘法不可交换，$X$ 与 $B$ 都是 $n \times 1$ 矩阵，所以在这里右乘甚至没有意义）等式两边，得

$$
A^{-1}(A X)=\left(A^{-1} A\right) X=E X=X=A^{-1} B
$$

即

$$
X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right]=A^{-1}\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right]
$$

这就把线性方程组的解求出来了．这很像解一元一次方程 $a x=b$ 所采用的办法．关于这个问题，我们将在第三章再做详细和严格的讨论．
例 5.1 设

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