最后更新: 2025-09-10 15:52 查看: 94 次纠错评论(0) 课件开VIP

几类特殊的n 阶方阵

## 4．几类特殊的n 阶方阵
现在来介绍应用广泛的几类特殊的 $n$ 阶方阵．
I．$n$ 阶对称矩阵
设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵。如果 $A^{\prime}=A$ ，则 $A$ 称为 $n$阶对称矩阵。因为 $A^{\prime}$ 的第 $i$ 行 $j$ 列元素为 $a_{j i}$ ，故 $A^{\prime}=A$ 的充分必要条件是 $a_{i j}=a_{j i}(i=1,2, \cdots, n ; j=1,2, \cdots, n)$ ．具体写出来就是
 ![图片](/uploads/2025-09/19b601.jpg)
 
 即方阵 $A$ 关于主对角线对称位置上的元素相等．
如果 $A, B$ 是 $K$ 上两个 $n$ 阶对称矩阵，则对任意 $k, l \in K$ ，
 $k A+l B$ 显然仍为 $n$ 阶对称矩阵．

II．反对称矩阵
设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵。如果 $A^{\prime}=-A$ ，则称 $A$ 为 $n$阶反对称矩阵．$A$ 是 $n$ 阶反对称矩阵的充分必要条件是 $a_{i j}=-a_{j i} (i=1,2, \cdots, n ; j=1,2, \cdots, n)$ 。由此推出 $a_{i i}=-a_{i i}$ ，即 $a_{i i}=0$ 。故反对称矩阵主对角线上元素全为 0 ，关于主对角线对称位置的元素互为反号数．具体表示为
 ![图片](/uploads/2025-09/9ba88c.jpg)
 
 如果 $A, B$ 是 $K$ 上两个 $n$ 阶反对称矩阵，则对任意的 $k, l \in K$ ， $k A+l B$ 仍为 $n$ 阶反对称矩阵．

III．上三角矩阵
数域 $K$ 上的下列 $n$ 阶方阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
& \ddots & & \vdots \\
0 & & \ddots & \vdots \\
& & & a_{n n}
\end{array}\right]
$$

称为 $n$ 阶上三角矩阵．设 $B$ 为 $K$ 上另一上三角矩阵，则 $A, B$ 可分别写成：

$$
A=\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} a_{i j} E_{i j} ; \quad B=\sum_{1 \leqslant k \leqslant l \leqslant n} b_{k l} E_{k l} .
$$

于是

$$
A B=\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} \sum_{1 \leqslant k \leqslant l \leqslant n} a_{i j} b_{k l} E_{i j} E_{k l}=\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant l \leqslant n} a_{i j} b_{j l} E_{i l} .
$$

其中用到前面介绍的公式：仅当 $j=k$ 时 $E_{i j} E_{k l} \neq 0$ ，而且 $E_{i j} E_{j l}=E_{i l}$ ，现在 $i \leqslant j \leqslant l$ ．由此知 $A B$ 仍为 $n$ 阶上三角矩阵．当 $i=l$ 时为其主对角线上元素．$A B$ 的 $i$ 行 $i$ 列元素恰为 $a_{i i} b_{i i}$ ，即 $A B$ 主对角线上各元素为 $A$ 与 $B$ 主对角线上元素的对应乘积：

$$
\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
& a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
0 & \ddots & \vdots \\
0 & & & a_{n n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\
& b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\
0 & \ddots & \vdots \\
& & & b_{n n}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} b_{11} & & * & \\
& a_{22} b_{22} & & \\
0 & \ddots & \\
& & a_{n n} b_{n n}
\end{array}\right]
$$

IV．下三角矩阵
数域 $K$ 上的下列 $n$ 阶方阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & & 0 & \\
a_{21} & a_{22} & & \\
\vdots & \vdots & \ddots & \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]
$$

称为 $n$ 阶下三角矩阵．显然也有

$$
\begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & & 0 & \\
a_{21} & a_{22} & & \\
\vdots & \vdots & \ddots & \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}
b_{11} & & 0 & \\
b_{21} & b_{22} & & \\
\vdots & \vdots & \ddots & \\
b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n n}
\end{array}\right]} \\
& \quad=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} b_{11} & & 0 & \\
& a_{22} b_{22} & & \\
* & \ddots & \\
* & & a_{n n} b_{n n}
\end{array}\right],
\end{aligned}
$$

即两个 $n$ 阶下三角矩阵的乘积仍为 $n$ 阶下三角矩阵，且主对角线上元素恰为左、右两矩阵主对角线上对应元素相乘．

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