最后更新: 2025-10-02 15:50 查看: 17 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

分块矩阵

## 分块矩阵
读者可能已经感觉到，矩阵乘法是较为复杂的一种代数运算。但它又是应用十分广泛的一种数学工具。为了帮助读者使用矩阵的技巧去处理形形色色的理论和实际问题，现在来介绍分块矩阵的概念及其基本应用。

分块矩阵的思想来源于人们在生产实践以至日常生活中普遍采用的方法，即将一个较庞大复杂的事物分割为若干较小的小组来处理的方法。举一个简单例子，比如一个大班内有 120 名学生，为了举办各种活动方便，把他们划分为 10 个小班，每班 12 人。这样，在举办各种活动时，就以小班为单位来安排．对于一个阶数较高的矩阵，我们也采用这个办法，把它的元素划分为若干＂小组＂，这样，在做矩阵乘法时，就可以按＂小组＂为单位来进行，处理起来简单快捷．这就是矩阵分块的初步概念。

设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $K$ 上 $n \times k$ 矩阵，把它们按如下方式分割成小块：

![图片](/uploads/2025-10/379e60.jpg)
 
 即将 $A$ 的行分割为 $r$ 段，每段分别包含 $m_1, m_2, \cdots, m_r$ 个行，又将 $A$的列分割为 $s$ 段，每段分别包含 $n_1, n_2, \cdots, n_s$ 个列。于是 $A$ 可用小块矩阵表示如下

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1 s} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{r 1} & A_{r 2} & \cdots & A_{r s}
\end{array}\right],
$$

其中 $A_{i j}$ 为 $m_i \times n_j$ 矩阵。对 $B$ 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和 $A$ 的列的分割法相同（列的分割法没有限制）。于是 $B$ 可表为

$$
B=\left[\begin{array}{cccc}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1 t} \\
B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2 t} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
B_{s 1} & B_{s 2} & \cdots & B_{s t}
\end{array}\right] \text {, }
$$

其中 $B_{i j}$ 是 $n_i \times k_j$ 矩阵．这种分割法称为矩阵的分块．此时，设
$$
A B=C,
$$

则 $C$ 有如下分块形式：

$$
C=\left[\begin{array}{cccc}
C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1 t} \\
C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2 t} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
C_{r 1} & C_{r 2} & \cdots & C_{r t}
\end{array}\right],
$$

其中 $C_{i j}$ 是 $m_i \times k_j$ 矩阵，且

$$
C_{i j}=\sum_{l=1}^s A_{i l} B_{l j} .
$$

上面的公式是把矩阵乘法中原来一个个数对应相乘再相加改写成以 ＂小组＂为单位对应相乘再相加，没有实质性的变化，其正确性是显而易见的，因此不再作理论上的论证。但是读者要注意一点，现在是作小块矩阵的乘法，而矩阵乘法一般是不能交换次序的。所以在运用分块矩阵时，一定要严格分清哪个小块矩阵在左，哪个在右，绝对不能混淆．

1．准对角矩阵
下面来介绍最常用的一类分块矩阵．给定数域 $K$ 上的两个对角矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_1 & & & \\
& a_2 & & 0 \\
0 & & \ddots & \\
& & & a_n
\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cccc}
b_1 & & & \\
& b_2 & & 0 \\
0 & & \ddots & \\
& & & b_n
\end{array}\right] .
$$

作矩阵乘法，显然有

$$
A B=\left[\begin{array}{cccc}
a_1 b_1 & & & \\
& a_2 b_2 & & 0 \\
0 & & \ddots & \\
& & & a_n b_n
\end{array}\right]
$$

这说明，两个对角矩阵的乘积还是对角矩阵，而且恰好就是主对角线上的元素对应相乘．因此，从矩阵乘法运算的角度来看，对角矩阵是
最简单的一类矩阵．
下面来介绍一类稍复杂一点的矩阵。先看一个例子。考查

$$
A=\left[\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & 0 & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\
0 & 0 & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\
0 & 0 & a_{53} & a_{54} & a_{55}
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccccc}
b_{11} & b_{12} & 0 & 0 & 0 \\
b_{21} & b_{22} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & b_{33} & b_{34} & b_{35} \\
0 & 0 & b_{43} & b_{44} & b_{45} \\
0 & 0 & b_{53} & b_{54} & b_{55}
\end{arr

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