最后更新: 2025-10-02 15:52 查看: 78 次纠错评论(0) 课件开VIP

矩阵的分块求逆

## 矩阵的分块求逆

给定数域 $K$ 上的 $n$ 阶分块方阵

$$
M=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right],
$$

其中 $A$ 为 $k$ 阶可逆方阵。我们有

$$
\begin{aligned}
N & =\left[\begin{array}{cc}
E_k & 0 \\
-C A^{-1} & E_{n-k}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
E_k & -A^{-1} B \\
0 & E_{n-k}
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{cc}
A & 0 \\
0 & D-C A^{-1} B
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

根据命题6．1的推论2，

$$
\left[\begin{array}{cc}
E_k & 0 \\
-C A^{-1} & E_{n-k}
\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{cc}
E_k & -A^{-1} B \\
0 & E_{n-k}
\end{array}\right]
$$

均为满秩 $n$ 阶方阵，故 $\mathrm{r}(M)=\mathrm{r}(N)=\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}\left(D-C A^{-1} B\right)$ 。若 $\mathrm{r}(M)=n$ ，令 $D_1=D-C A^{-1} B$ ，则 $\mathrm{r}\left(D_1\right)=n-k$ ，故当 $M$ 可逆时，$D_1$也可逆．而

$$
\begin{aligned}
N^{-1} & =\left[\begin{array}{cc}
E_k & -A^{-1} B \\
0 & E_{n-k}
\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{cc}
E_k & 0 \\
-C A^{-1} & E_{n-k}
\end{array}\right]^{-1} \\
& =\left[\begin{array}{cc}
A & 0 \\
0 & D_1
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
A^{-1} & 0 \\
0 & D_1^{-1}
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 于是 }\\
&\begin{aligned}
M^{-1} & =\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]^{-1} \\
& =\left[\begin{array}{cc}
E_k & -A^{-1} B \\
0 & E_{n-k}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
A^{-1} & 0 \\
0 & D_1^{-1}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
E_k & 0 \\
-C A^{-1} & E_{n-k}
\end{array}\right] .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

只要计算出两个低阶方阵 $A, D_1$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 和 $D_1^{-1}$ ，代入上面公式，即可求得高阶方阵 $M$ 的逆．

在§5我们指出，可以用左乘（右乘）一个初等矩阵来实现一个矩阵的行（列）初等变换。因为分块矩阵的乘法形式上与普通矩阵相同，所以也可以用左乘（或右乘）一个适当的分块方阵来对一个分块矩阵作类似的变换．上面的讨论中就是这样做的．但要注意两点：

1）两个小块矩阵相乘时必须遵循左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数这一原则；

2）两个小块矩阵相乘不能交换次序，要分清那个在左，那个在右。

运用分块矩阵时，带有较高的技巧性，必须细心观察一个具体矩阵的特点，恰到好处地进行分块，才能收到事半功倍的效果．

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