最后更新: 2025-10-20 08:54 查看: 63 次纠错评论(0) 课件开VIP

n阶方阵的行列式

## n阶方阵的行列式

现在我们按照上节几何实例的提示，来阐述 $n$ 阶方阵行列式的概念及其基本性质．

1．行列式函数的定义
读者在中学里已经学习过定义在实数域 $\mathbb{R}$ 上的函数：对于每个实数 $x$ ，都按一个给定的法则对应于一个唯一确定的实数 $y, x$ 称为自变量，$y$ 称为 $x$ 的函数，使用记号 $y=f(x)$ 来表示．在前面两章我们把研究范围扩大，摆脱了实数运算的限制，进入矩阵运算这个新领域。与此相应，函数的概念也应当扩大，把自变量由实数转换成矩阵，即研究定义在数域 $K$ 上全体 $n$ 阶方阵所成的集合 $M_n(K)$ 上的函数 $y=f(A)$ 。

进入大学后学习微积分的知识，对函数的研究深入了一步：研究某些特殊的函数．设 $f(x)$ 是定义在区间 $(a, b)$ 内的函数，如果它满足某些特定条件（读者已熟知，此处不细述），它就称为一个连续函数，如果它再满足某些进一步的条件，它就称为区间 $(a, b)$ 内的可微函数．数学分析的这些思想对学习本章有重要参考价值．

本章的内容，就是按照上面所说的思想，研究定义在 $M_n(K)$ 上的满足某些特定条件的函数 $f(A)$ ．

考查数域 $K$ 上全体 $n$ 阶方阵所成的集合 $M_n(K)$ 。从集合 $M_n(K)$ 到数域 $K$ 的一个映射 $f$ 称为定义在 $M_n(K)$ 上的一个数量函数。因此，$M_n(K)$ 上一个数量函数就是一个给定的法则，依照这一法则，$K$ 上每个 $n$ 阶方阵 $A$ 对应于 $K$ 内一个唯一确定的数 $f(A)$ 。

例如，设 $A=\left(a_{i j}\right) \in M_n(K)$ ，我们定义 $f(A)=a_{11}$ ，即每个 $n$ 阶方阵 $A$ 在法则 $f$ 下对应于其第一行第一列元素 $a_{11}, f$ 就是 $M_n(K)$ 上的一个数量函数．由此看来，$M_n(K)$ 上的数量函数是很多的．第二章中研讨的一个方阵 $A$ 的秩 $\mathrm{r}(A)$ 和迹 $\operatorname{Tr}(A)$ 都是 $M_n(K)$ 上数量函数的具体例子。显然，并不是 $M_n(K)$ 上随便一个数量函数都有研究价值。下面我们介绍 $M_n(K)$ 上具有某种特定属性的数量函数，它将成为研究 $n$ 阶方阵的重要工具．

为了使下面的阐述较为简明、清楚，我们在本章中将使用一些特定的记号．设 $A$ 是数域 $K$ 上一个 $n$ 阶方阵，其行向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots$ ， $\alpha_n$（写成横排形式），列向量组为 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$（写成竖列形式），我们根据行文的需要把 $A$ 写成

$$
A=\left[\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right] \quad \text { 或 } \quad A=\left[\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right] .
$$

如果我们只研究 $A$ 的第 $i$ 行或第 $j$ 列，就写

$$
A=\left[\begin{array}{c}
\vdots \\
\alpha_i \\
\vdots
\end{array}\right] \quad \text { 或 } \quad A=\left(\cdots, \beta_j, \cdots\right),
$$

把不讨论的行（列）用省略号代替．于是 $M_n(K)$ 上一个数量函数

$f(A)$ 可以写成

$$
f(A)=f\left[\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right] \text { 或 } f\left[\begin{array}{c}
\vdots \\
\alpha_i \\
\vdots
\end{array}\right]
$$

以及

$$
f(A)=f\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right) \quad \text { 或 } \quad f\left(\cdots, \beta_j, \cdots\right) \text {. }
$$

定义 设 $f$ 是定义在 $M_n(K)$ 上的一个数量函数，满足如下条件：对 $K^n$ 中任意向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \alpha$（写成横排形式）以及 $K$ 中任意数 $\lambda$ ，都有

$$
\begin{gathered}
{\left[\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\vdots \\
\alpha_i+\alpha \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right]=f\left[\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\vdots \\
\alpha_i \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right]+f\left[\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\vdots \\
\alpha \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right]} \\
f\left[\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\vdots \\
\lambda \alpha_i \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right]=\lambda f\left[\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\vdots \\
\alpha_i \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right]
\end{gathered}
$$

（这里 $i=1,2, \cdots, n$ ），则称 $f$ 为 $M_n(K)$ 上一个行线性函数．
设 $g$ 是定义在 $M_n(K)$ 上一个数量函数，满足如下条件：对 $K^n$中任意向量 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n, \beta$（写成竖列形式）以及 $K$ 中任意数 $\lambda$ ，都有

$$
\begin{aligned}
& g\left(\beta_1, \cdots, \beta_j+\beta, \cdots, \beta_n\right) \\
& \quad=g\left(\beta_1, \cdots, \beta_j, \cdots, \beta_n\right)+g\left(\beta_1, \cdots, \beta, \cdots, \beta_n\right), \\
& g\left(\beta_1, \cdots, \lambda \beta_j, \cdots, \beta_n\right)=\lambda g\left(\beta_1, \cdots, \beta_j, \cdots, \beta_n\right)
\end{aligned}
$$

（这里 $j=1,2, \cdots, n$ ），则称 $g$ 为 $M_n(K)$ 上一个列线性函数．

如果 $f(A)$ 是 $M_n(K)$ 上的行线性函数，那么对任意 $\lambda, \mu \in K$ 都有

$$
f\left[\begin{array}{c}
\vdots \\
\lambda \alpha_i+\mu \alpha \\
\vdots
\end{array}\right]=\lambda f\left[\begin{array}{c}
\vdots \\
\alpha_i \\
\vdots
\end{array}\right]+\mu f\left[\begin{array}{c}
\vdots \\
\alpha \\
\vdots
\end{array}\right] .
$$

反之，若 $M_n(K)$ 上一个数量函数满足上面的条件，只要分别令 $\lambda=\mu =1$ 及 $\mu=0$ 代入，即知它满足行线性函数的条件．同样，若 $g(A)$ 为 $M_n(K)$ 上列线性函数，那么

$$
g(\cdots, \lambda \beta,+\mu \beta, \cdots)=\lambda g\left(\cdots, \beta_j, \cdots\right)+\mu g(\cdots, \beta, \cdots) .
$$

同样，$M_n(K)$ 上一个数量函数如果满足上述条件，则它是一个列线性函数．

如果 $A \in M_n(K)$ ，且 $A$ 有一行向量为 0 ，于是该行向量可以写成 $0 \alpha$ ，则对任意行线性函数 $f$ ，有 $f(A)=0 \cdot f(A)=0$ ．同样，若 $A$ 有一列向量为 0 ，则对任意列线性函数 $g$ ，有 $g(A)=0$ ．

例如，考查 $M_2(K)$ ．设
$$
A=\left[\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right] \in M_2(K),
$$

定义 $f(A)=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$ ．容易验证，$f$ 是 $M_2(K)$ 上一个行线性函数，也是一个列线性函数（请读者作为习题，按上面的定义自行验证）．

如果 $M_n(K)$ 上一个列线性函数 $f$ 满足如下条件：当 $A \in M_n(K)$ 有两列元素相同时（这时当然要 $n \geqslant 2$ ），必有 $f(A)=0$ ，则 $f$称为反对称的列线性函数．

当然，我们可以类似地定义反对称的行线性函数，这就不再重复说明了。读者容易看出，上面定义的 $M_2(K)$ 内的列（行）线性函数是反对称的．

命题 2.1 设 $f$ 是 $M_n(K)(n \geqslant 2)$ 上的反对称列（行）线性函数，那么，下面命题成立：
（i）设将 $A \in M_n(K)$ 的 $i, j$ 两列（行）互换得出方阵 $B$ ，则 $f(B) =-f(A)$ ；
（ii）设将 $A \in M_n(K)$ 的第 $j$ 列（行）加上其第 $i$ 列（行）的 $\lambda$ 倍（ $\lambda$为 $K$ 中任意取定的数）得出方阵 $B$ ，则有 $f(B)=f(A)$ ．

证 设 $A=\left(\cdots, \beta_i, \cdots, \beta_j, \cdots\right)$ ．由于 $f$ 是反对称的列线性函数，我们有

$$
\begin{aligned}
0= & f\left(\cdots, \beta_i+\beta_j, \cdots, \beta_i+\beta_j, \cdots\right) \\
= & f\left(\cdots, \beta_i, \cdots, \beta_i, \cdots\right)+f\left(\cdots, \beta_i, \cdots, \beta_j, \cdots\right) \\
& +f\left(\cdots, \beta_j, \cdots, \beta_i, \cdots\right)+f\left(\cdots, \beta_j, \cdots, \beta_j, \cdots\right) \\
= & f\left(\cdots, \beta_i, \cdots, \beta_j, \cdots\right)+f\left(\cdots, \beta_j, \cdots, \beta_i, \cdots\right) .
\end{aligned}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
f(A) & =f\left(\cdots, \beta_i, \cdots, \beta_j, \cdots\right) \\
& =-f\left(\cdots, \beta_j, \cdots, \beta_i, \cdots\right) \\
& =-f(B) .
\end{aligned}
$$

同样地，我们有

$$
\begin{aligned}
f(B) & =f\left(\cdots, \beta_i, \cdots, \beta_j+\lambda \beta_i, \cdots\right) \\
& =f\left(\cdots, \beta_i, \cdots, \beta_1, \cdots\right)+f\left(\cdots, \beta_i, \cdots, \lambda \beta_i, \cdots\right) \\
& =f(A)+\lambda f\left(\cdots, \beta_i, \cdots, \beta_i, \cdots\right) \\
& =f(A) .
\end{aligned}
$$

推论 1 设 $f, g$ 是 $M_n(K)$ 上两个反对称列线性函数，且对某个 $A \in M_n(K)$ 有 $f(A)=g(A)$ 。设 $A$ 经有限次初等列变换变为方阵 $B$ ，则仍有 $f(B)=g(B)$ 。

证 显然只需考虑 $B$ 是 $A$ 做一次初等列变换得出的方阵就可以了．下面分别讨论三种初等列变换．
（i）设互换 $A$ 的 $i, j$ 两列变为 $B$ ，则按命题 2.1 ，有

$$
f(B)=-f(A), \quad g(B)=-g(A),
$$

从而 $f(B)=g(B)$ ．
（ii）设将 $A$ 的第 $j$ 列乘以 $K$ 内非零数 $\lambda$ 得出方阵 $B$ ，则

$$
f(B)=f\left(\cdots, \lambda \beta_j, \cdots\right)=\lambda f\left(\cdots, \beta_j, \cdots\right)=\lambda f(A) .
$$

同理，$g(B)=\lambda g(A)$ ，于是 $f(B)=g(B)$ ．
（iii）设将 $A$ 的第 $j$ 列加上第 $i$ 列的 $\lambda$ 倍得出方阵 $B$ ，则按命题 2.1 ，有

$$
f(B)=f(A)=g(A)=g(B) .
$$

推论 2 设 $f$ 是 $M_n(K)(n \geqslant 2)$ 上的列（行）线性函数．则 $f$ 为反对称的充分必要条件是对 $K$ 上任何不满秩 $n$ 阶方阵 $A$ 都有 $f(A) =0$ ．

证 必要性 若 $\mathrm{r}(A)<n$ ，则 $A$ 的第 $i$ 个列向量为其余列向量的线性组合，此时将 $A$ 的其余各列乘适当倍数加到第 $i$ 列，使第 $i$ 列变为 0 ，得 $K$ 上 $n$ 阶方阵 $B$ 。按命题 2.1 及列线性函数的性质知

$$
f(A)=f(B)=0 .
$$

充分性 当 $A$ 有两个列向量相同时，显然不满秩，按假设应有 $f(A)=0$ ，故 $f$ 为反对称．

下面给出本节的基本概念．
定义 设 $f$ 是 $M_n(K)$ 上一个列线性函数且满足如下条件：
（i）如果 $A \in M_n(K)$ 不满秩，则 $f(A)=0$ ；
（ii）对 $M_n(K)$ 内单位矩阵 $E$ ，有 $f(E)=1$ ，则称 $f$ 为 $M_n(K)$ 上一个行列式函数．

例如，在 $M_2(K)$ 上定义数量函数 $f$ 如下：若

$$
A=\left[\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right],
$$

则 $f(A)=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$ 。那么，容易验证 $f$ 是 $M_2(K)$ 上的一个行列式函数（具体验证留给读者作为练习）。

对 $K$ 上任意一阶方阵 $A=\left(a_{11}\right)=a_{11} E$ ，定义 $f(A)=a_{11}$ ，数量函数 $f$ 显然为 $M_1(K)$ 上的行列式函数．反之，对 $M_1(K)$ 上任意行列式函数 $g$ ，按定义有 $g(A)=a_{11} g(E)=a_{11}$ 。故 $g(A) \equiv f(A)$ 。即此 $f$ 为 $M_1(K)$ 上唯一的行列式函数．下面只要讨论 $n \geqslant 2$ 的情况．此时按命题 2.1 的推论 2．行列式函数定义中的条件（i）等价于 $f$ 为反对称列线性函数．

命题2．2 $M_n(K)$ 上的行列式函数是唯一的．
证 设 $f$ 与 $g$ 是 $M_n(K)$ 上两个行列式函数，我们需要证明：对任意 $A \in M_n(K)$ ，有 $f(A)=g(A)$ ．
（i）如果 $\mathrm{r}(A)<n$ ，那么按定义有 $f(A)=g(A)=0$ ．
（ii）如果 $\mathrm{r}(A)=n$ ，按第二章命题 5．2，$A$ 可表为 $n$ 阶初等矩阵

$P_1, \cdots, P_m$ 的乘积：

$$
A=P_1 \cdots P_m=E P_1 \cdots P_m .
$$

上式表明 $A$ 可由单位矩阵 $E$ 做 $m$ 次初等列变换得出。因为 $f, g$ 均为 $M_n(K)$ 上反对称列线性函数，按命题2．1的推论1，由 $f(E)= g(E)=1$ 可推出

$$
f(A)=g(A) .
$$

下面对行列式函数的性质作进一步的讨论。
命题2．3 设 $f(A)$ 是 $M_n(K)$ 上的行列式函数，则对一切 $A \in M_n(K)$ 有 $f\left(A^{\prime}\right)=f(A)$ ，即 $A$ 和它的转置 $A^{\prime}$ 函数值相同．

证 当 $n=1$ 时 $A^{\prime}=A$ ，命题自然成立．下面设 $n \geqslant 2$ ．
若 $\mathrm{r}(A)<n$ ，则 $f(A)=0$ ．此时 $\mathrm{r}\left(A^{\prime}\right)=\mathrm{r}(A)<n$ ，故

$$
f\left(A^{\prime}\right)=0=f(A) .
$$

若 $\mathrm{r}(A)=n$ ，按第二章命题 5.2 ，存在 $n$ 阶初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots$ ， $P_m$ ，使

$$
A=E P_1 P_2 \cdots P_m
$$

令 $B_i=E P_1 P_2 \cdots P_i(i=1,2, \cdots, m)$ ．设 $B_0=E$ ，则 $B_i=B_{i-1} P_i$ ．根据第二章命题5．1，$B_{i-1} P_i$ 是对 $B_{i-1}$ 作一次初等列变换．因为 $f(A)$ 为反对称列线性函数，按上面命题2．1及列线性，$f\left(B_i\right)=f\left(B_{i-1} P_i\right)= \varepsilon_i f\left(B_{i-1}\right)$ ，其中

$$
\varepsilon_i= \begin{cases}-1, & \text { 若 } P_i \text { 是第一类初等矩阵 } P_n(k, l), \\ \lambda, & \text { 若 } P_i \text { 是第二类初等矩阵 } P_n(\lambda \cdot k), \\ 1, & \text { 若 } P_i \text { 是第三类初等矩阵 } P_n(\lambda \cdot k, l) .\end{cases}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
f(A) & =f\left(B_m\right)=\varepsilon_m f\left(B_{m-1}\right)=\varepsilon_m \varepsilon_{m-1} f\left(B_{m-2}\right)=\cdots \\
& =\varepsilon_m \varepsilon_{m-1} \cdots \varepsilon_1 f\left(B_0\right)=\varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdots \varepsilon_m .
\end{aligned}
$$

如设 $P_1, P_2, \cdots, P_m$ 中有 $r$ 个第一类初等矩阵，$s$ 个第二类初等矩阵，则由上式得

$$
f(A)=(-1)^r \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_s
$$

现在由（1）式得
$$
A^{\prime}=E P_m^{\prime} P_{m-1}^{\prime} \cdots P_2^{\prime} P_1^{\prime} .
$$

如果 $P$ 是第一类或第二类初等矩阵，则 $P^{\prime}=P$ 。而当 $P$ 是第三类初等矩阵时，$P^{\prime}$ 也是第三类初等矩阵。于是 $P_m^{\prime}, P_{m-1}^{\prime}, \cdots P_2^{\prime}, P_1^{\prime}$ 中恰有与 $P_1, P_2, \cdots, P_m$ 中相同的 $r$ 个第一类初等矩阵和 $s$ 个第二类初等矩阵，于是

$$
f\left(A^{\prime}\right)=(-1)^r \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_s=f(A) .
$$

上述命题表明：行列式函数 $f(A)$ 如果对矩阵的列具有某种性质，那么它对行也具有相同的性质，即行与列处于平等的地位．特别地，我们有

命题2．4 设 $f(A)$ 是 $M_n(K)(n \geqslant 2)$ 上的行列式函数，则 $f(A)$是反对称的行线性函数．

证 设 $A$ 的第 $i$ 个行向量 $\alpha_i=\lambda \alpha+\mu \beta$（这里 $\alpha_i, \alpha, \beta$ 看做 $1 \times n$ 矩阵），则 $A^{\prime}$ 的第 $i$ 列为 $\alpha_i^{\prime}=\lambda \alpha^{\prime}+\mu \beta^{\prime}$ 。设把 $A$ 的第 $i$ 行分别换成 $\alpha, \beta$后得到 $n$ 阶方阵 $A_1, A_2$ ，则由命题2．3及 $f$ 的列线性，有

$$
\begin{aligned}
f(A) & =f\left(A^{\prime}\right)=\lambda f\left(A_1^{\prime}\right)+\mu f\left(A_2^{\prime}\right) \\
& =\lambda f\left(A_1\right)+\mu f\left(A_2\right) .
\end{aligned}
$$

这说明 $f$ 是行线性函数．如果 $A$ 有两行向量相同，则 $A^{\prime}$ 有两列向量
相同，而 $f$ 是反对称列线性函数，故

$$
f(A)=f\left(A^{\prime}\right)=0 .
$$

这就表明 $f$ 是反对称行线性函数．

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