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行列式函数 detA

2．行列式函数 $\operatorname{det}(A)$
上面我们给出了行列式函数的定义，并证明了这种数量函数是唯一的。但 $M_n(K)$ 上是否确实存在这样的数量函数，还是一个未解决的问题。现在我们具体地给出 $M_n(K)$ 上一个数量函数 $\operatorname{det}(A)$（ $\operatorname{det}$是英文＂行列式＂（determinant）的前三个字母），并证明它是一个行列式函数．

首先我们给出排列的一些基本概念．
给定 $n$ 个互不相同的自然数，把它们按一定次序排列起来：

$$
\begin{array}{llll}
i_1 & i_2 & \cdots & i_n,
\end{array}
$$

称为该 $n$ 个自然数的一个排列．在上述排列中，如果有一个较大的自然数排在一个较小的自然数前面，则称为一个反序．例如， $2,3,5,7$这四个自然数的一个排列 7325 ，其中 3 在 2 前，是一个反序； 7 在 2前，是一个反序； 7 在 3 前，是一个反序； 7 在 5 前，也是一反序，故此排列共有 4 个反序。

一个排列中包含的反序的总数称为该排列的反序数．排列 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 的反序数记做 $N\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)$ 。例如我们有 $N(7325)=4$ 。 一个排列的反序数是奇数时，该排列称为奇排列；如果反序数是偶数，则称为偶排列。例如， 7325 是一个偶排列，而因为 $N(7235)=3$ ，故 7235是一个奇排列。

给定 $n$ 个正整数，按大小顺序排列：

$$
1 \leqslant i_1<i_2<\cdots<i_n
$$

现在把它们按任意次序重排，得 $n$ 元排列

$$
\begin{array}{llll}
j_1 & j_2 & \cdots & j_n
\end{array}
$$

这个排列的反序数 $N\left(j_1 j_2 \cdots j_n\right)$ 可用下法计算：先找出排在 $i_1$ 前面的数字有多少个，它的个数记为 $\tau\left(i_1\right)$ ，然后划去 $i_1$ ，再看 $i_2$ 前面未划去的数字有多少个，其个数记为 $\tau\left(i_2\right)$ ，然后划去 $i_2$ ，再看 $i_3$ 前面未划去的数有多少个，其个数记为 $\tau\left(i_3\right)$ ，然后划去 $i_3, \cdots$ 。经 $n$ 次后，即得

$$
N\left(j_1 j_2 \cdots j_n\right)=\tau\left(i_1\right)+\tau\left(i_2\right)+\cdots+\tau\left(i_n\right) .
$$

命题2．5 对 $n$ 个正整数 $i_1, i_2, \cdots, i_n$ 的一个排列 $j_1 j_2 \cdots j_n$ ，互换此排列中两个数 $j_k, j_l$ 的位置，则有

$$
(-1)^{N\left(\cdots j_k \cdots j_l \cdots\right)}=-(-1)^{N\left(\cdots j_l \cdots j_k \cdots\right)} .
$$

上面用省略号表示的地方保持不动．
证 首先设 $j_k$ 与 $j_l$ 相邻，即 $l=k+1$ ．则 按 上 面 指 出 的 $N\left(j_1 j_2 \cdots j_n\right)$ 的计算法易知

$$
\begin{aligned}
N\left(\cdots j_k j_{k+1} \cdots\right)+1=N\left(\cdots j_{k+1} j_k \cdots\right) & \left(\text { 当 } j_k<j_{k+1}\right), \\
N\left(\cdots j_k j_{k+1} \cdots\right)-1=N\left(\cdots j_{k+1} j_k \cdots\right) & \left(\text { 当 } j_k>j_{k+1}\right)
\end{aligned}
$$

（因为 $j_k, j_{k+1}$ 与排列中其他数相对位置不变，故其反序关系也不变，

仅需要考虑 $j_k j_{k+1}$ 与 $j_{k+1} j_k$ 的反序关系）．由此知命题对 $l=k+1$ 时成立。

现设 $l=k+t$ ，这里 $t>1$ 。把 $j_k$ 与 $j_{k+1}, j_{k+2}, \cdots, j_{k+t}$ 逐个作相邻元素对换 $t$ 次，每对换一次改变一次符号，共改变 $t$ 次符号．最后得出的排列是

$$
\cdots \hat{j}_k j_{k+1} \cdots j_{k+t-1} j_{k+t} j_k \cdots
$$

（上面 $\hat{j}_k$ 表示去掉 $j_k$ ），于是

$$
(-1)^{N\left(\cdots j_k j_{k+1} \cdots j_{k+t-1} j_{k+t} j_k \cdots\right)}=(-1)^t(-1)^{N\left(\cdots j_k \cdots j_l \cdots\right)} .
$$

再把（2）中的排列中的 $j_{k+t}$ 与前面的 $j_{k+t-1}, j_{k+t-2}, \cdots, j_{k+1}$ 逐次作相邻元素对换 $t-1$ 次，排列变为

$$
\cdots j_{k+t}, j_{k+1}, \cdots, j_{k+t-1}, j_k, \cdots
$$

于是

$$
\begin{aligned}
(-1)^{N\left(\cdots j_{k+t} \cdots j_k \cdots\right)} & =(-1)^{t-1}(-1)^t(-1)^{N\left(\cdots j_k \cdots j_{k+t} \cdots\right)} \\
& =-(-1)^{N\left(\cdots j_k \cdots j_{k+t} \cdots\right)} .
\end{aligned}
$$

定义 给定数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right],
$$

令

$$
\operatorname{det}(A)=\sum_{\left(j_1 j_2 \cdots j_n\right)}(-1)^{N\left(j_1 j_2 \cdots j_n\right)} a_{j_1 1} a_{j_2} \cdots a_{j_n n},
$$

其中和号表示对前 $n$ 个自然数 $1,2, \cdots, n$ 的所有可能排列 $j_1 j_2 \cdots j_n$求和。
$\operatorname{det}(A)$ 是 $M_n(K)$ 上一个数量函数．今后我们使用如下记号来表示这个数量函数：

$$
\operatorname{det}(A)=|A|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right| .
$$

$\operatorname{det}(A)$ 定义式的构成可概述如下：
1） $\operatorname{det}(A)$ 是由 $n!$ 个项连加而成。
2）每项是矩阵 $A$ 中 $n$ 个不同行且不同列的元素的乘积。如把它们按列角标的自然顺序排列，则其一般形式为

$$
a_{i_1 1} a_{i_2 2} \cdots a_{i_n n}
$$

其中 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 是 $1,2, \cdots, n$ 这 $n$ 个自然数的一个排列（如果矩阵 $A$ 的行角标不用 $1,2, \cdots, n$ 表示，而用其他自然数表示，那就改用其他自然数的排列）。这样的排列共有 $n!$ 个，就对应 $\operatorname{det}$ 定义式中包含的 $n!$项；

3）每项前面应带正、负号．如果 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 是一个偶排列，则 $a_{i_1 1} a_{i_2 2} \cdots a_{i_n n}$ 这一项前面带正号；而如果 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 是奇排列，则该项前面带负号。

下面我们将证明： $\operatorname{det}(A)$ 就是 $M_n(K)$ 上的行列式函数，因此，我们今后称 $\operatorname{det}(A)$ 为方阵 $A$ 的行列式或简称它是一个 $n$ 阶行列式。

定理2．1 $\operatorname{det}(A)$ 是 $M_n(K)$ 上唯一的行列式函数。
证 当 $n=1$ 时 $\operatorname{det}(A)=a_{11}$ ，前面已指出结论成立．下面设 $n \geqslant 2$ ．

（i）证 $\operatorname{det}(A)$ 为列线性函数．设 $A$ 第 $k$ 列为两向量线性组合：

$$
\begin{aligned}
A & =\left(\begin{array}{llll}
\alpha_1 & \cdots & \lambda \alpha+\mu \beta & k \text { 列 } \\
& & \cdots & \alpha_n
\end{array}\right), \\
A_1 & =\left(\begin{array}{lllll}
\alpha_1 & \cdots & \alpha & \cdots & \alpha_n
\end{array}\right), \\
A_2 & =\left(\begin{array}{lllll}
\alpha_1 & \cdots & \beta & \cdots & \alpha_n
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$

即 $A$ 的第 $k$ 个列向量

$$
\alpha_k=\left[\begin{array}{c}
a_{1 k} \\
a_{2 k} \\
\vdots \\
a_{n k}
\end{array}\right]=\lambda\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right]+\mu\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right]
$$

那么

$$
\begin{aligned}
\operatorname{det}(A)= & \sum(-1)^{N\left(i_1 \cdots i_n\right)} a_{i_1} \cdots a_{i_k} \cdots a_{i_n n} \\
= & \sum(-1)^{N\left(i_1 \cdots i_n\right)} a_{i_1 1} \cdots\left(\lambda a_{i_k}+\mu b b_{i_k}\right) \cdots a_{i_n n} \\
= & \lambda \sum(-1)^{N\left(i_1 \cdots i_n\right)} a_{i_1 1} \cdots a_{i_k} \cdots a_{i_n n} \\
& +\mu \sum(-1)^{N\left(i_1 \cdots i_n\right)} a_{i_1 1} \cdots b_{i_k} \cdots a_{i_n n} \\
= & \lambda \operatorname{det}\left(A_1\right)+\mu \operatorname{det}\left(A_2\right),
\end{aligned}
$$

其中和号 $\sum$ 表示对 $1,2, \cdots, n$ 的所有可能排列 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 求和．
（ii）证 $\operatorname{det}(A)$ 反对称．设 $A$ 的 $k, l$ 两列向量相同：

$$
\left[\begin{array}{c}
a_{1 k} \\
a_{2 k} \\
\vdots \\
a_{n k}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
a_{1 l} \\
a_{2 l} \\
\vdots \\
a_{n l}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right] .
$$

考查 $\operatorname{det}(A)$ 表达式中如下两项（注意 $k, l$ 为取定正整数）：

$$
\begin{aligned}
& (-1)^{N\left(i_1 \cdots i_k \cdots i_l \cdots i_n\right)} a_{i_1} \cdots a_{i_k k} \cdots a_{i_l} \cdots a_{i_n n} \\
& =(-1)^{N\left(i_1 \cdots i_k \cdots i_l \cdots i_n\right)} a_{i_1} \cdots a_{i_k} \cdots a_{i_l} \cdots a_{i_n n} \\
& (-1)^{N\left(i_1 \cdots i_l \cdots i_k \cdots i_n\right)} a_{i_1} \cdots a_{i_l k} \cdots a_{i_k} \cdots a_{i_n n} \\
& =(-1)^{N\left(i_1 \cdots i_l \cdots i_k \cdots i_n\right)} a_{i_1} \cdots a_{i_l} \cdots a_{i_k} \cdots a_{i_n n}
\end{aligned}
$$

上两式黑体部分相同，由命题 2.5 知上两项相加为 0 ，这表明此时

$$
\operatorname{det}(A)=0 .
$$

（iii）若 $A=E$ ，则

$$
a_{i_k k}= \begin{cases}1, & \text { 若 } i_k=k, \\ 0, & \text { 若 } i_k \neq k .\end{cases}
$$

由此立得 $\operatorname{det}(E)=(-1)^{N(12 \cdots n)} a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}=1$ ．
综合上面三条结论，又由命题 2.2 ，即知 $\operatorname{det}(A)$ 是 $M_n(K)$ 上唯一的行列式函数．

推论。设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵，则

$$
|A|=\sum_{\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)}(-1)^{N\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)} a_{1 i_1} a_{2 i_2} \cdots a_{n i_n}
$$
其中和式为对前 $n$ 个自然数的所有可能排列 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 求和．
证 设 $A^{\prime}=\left(a_{i j}^{\prime}\right)$ ，则 $a_{i j}^{\prime}=a_{j i}$ 。按命题2．3有

$$
\begin{aligned}
|A| & =\left|A^{\prime}\right|=\sum_{\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)}(-1)^{N\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)} a_{i_1}^{\prime} a_{i_2}^{\prime} \cdots a_{i_n}^{\prime} \\
& =\sum_{\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)}(-1)^{N\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)} a_{1 i_1} a_{2 i_2} \cdots a_{n i_n} .
\end{aligned}
$$

上面的推论说明 $|A|$ 的完全展开式的 $n!$ 个项中，每一项也可按行角标的自然顺序排列，然后对列角标的所有可能排列求和。

对数域 $K$ 上 $n$ 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ ，去掉 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列得到的 $n-1$ 阶方阵记做 $A\left({ }^i{ }_j\right)$ ．我们有

$$
A\binom{1}{k}=\left[\begin{array}{cccccc}
a_{21} & \cdots & a_{2 k-1} & a_{2 k+1} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n k-1} & a_{n k+1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right] .
$$

按照上面的推论，我们有

$$
\operatorname{det}\left(A\binom{1}{k}\right)=\left|A\binom{1}{k}\right|=\sum_{\left(j_2 j_3 \cdots j_n\right)}(-1)^{N\left(j_2 j_3 \cdots j_n\right)} a_{2 j_2} a_{3 j_3} a_{n j_n},
$$

其中 $j_2 j_3 \cdots j_n$ 是 $n-1$ 个自然数 $1,2, \cdots k-1, k+1, \cdots, n$ 的一个排列，和号表示对所有可能的 $(n-1)$ ！个这种排列求和．

定理 2.2 对数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ ，我们有

$$
\operatorname{det}(A)=|A|=\sum_{k=1}^n(-1)^{1+k} a_{1 k} \operatorname{det}\left(A\binom{1}{k}\right) .
$$

证 设 $\varepsilon_i=(0, \cdots, 0,1,0, \cdots, 0)(i=1,2, \cdots, n)$ 是 $K$ 上 $n$ 维向量空间 $K^n$ 的坐标向量．若设 $A$ 的行向量组是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，则

$$
A=\left[\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^n a_{1 k} \varepsilon_k \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right] .
$$

按命题 2．4， $\operatorname{det}(A)$ 是行线性函数，故

$$
\operatorname{det}(A)=\sum_{k=1}^n a_{1 k} \operatorname{det}\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_k \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right],
$$

这里

$$
\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_k \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}
0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & \cdots & a_{2 k-1} & a_{2 k} & a_{2 k+1} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n k-1} & a_{n k} & a_{n k+1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right] .
$$

按上面的推论，有（注意第一行仅第 $k$ 个元素等于 1 ，其他元素均为 0 ）

$$
\operatorname{det}\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_k \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right]=\sum_{\left(j_2 j_3 \cdots j_n\right)}(-1)^{N\left(k j_2 j_3 \cdots j_n\right)} a_{2 j_2} a_{3 j_3} \cdots a_{n j_n},
$$

其中和号是对 $n-1$ 个自然数 $1,2, \cdots, k-1, k+1, \cdots, n$ 的所有可能的排列 $j_2 j_3 \cdots j_n$ 求和，显然有
$$
N\left(k j_2 j_3 \cdots j_n\right)=k-1+N\left(j_2 j_3 \cdots j_n\right)
$$

（因为 $j_2, j_3, \cdots, j_n$ 中恰有 $k-1$ 个数小于 $k$ ）．利用上面关于 $\operatorname{det}\left(A\binom{1}{k}\right)$ 的表达式（3），得

$$
\begin{aligned}
\operatorname{det}\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_k \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right] & =(-1)^{k-1} \sum_{\left(j_2 j_3 \cdots j_n\right)}(-1)^{N\left(j_2 j_3 \cdots j_n\right)} a_{2 j_2} a_{3 j_3} \cdots a_{n j_n} \\
& =(-1)^{k+1} \operatorname{det}\left(A\binom{1}{k}\right)
\end{aligned}
$$

以此代入（4）式即得

$$
\operatorname{det}(A)=\sum_{k=1}^n(-1)^{1+k} a_{1 k} \operatorname{det}\left(A\binom{1}{k}\right) .
$$

现在具体地给出 $n=2,3$ 时 $\operatorname{det}(A)=|A|$ 的表达式．
当 $n=2$ 时，令

$$
A=\left[\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right],
$$

现在 $A\binom{1}{1}=\left(a_{22}\right), A\binom{1}{2}=\left(a_{21}\right)$ ，故 $\operatorname{det} A\binom{1}{1}=a_{22}, \operatorname{det} A\binom{1}{2}=a_{21}$ ．于是，按定义

$$
\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21},
$$

它恰好是把二阶方阵 $A$（正方形表格）两条对角线上的元素相乘再相减．

当 $n=3$ 时，令

$$
A=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]
$$

现在

$$
\begin{aligned}
& A\binom{1}{1}=\left[\begin{array}{ll}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right] \\
& A\binom{1}{2}=\left[\begin{array}{ll}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{array}\right] \\
& A\left(\frac{1}{3}\right)=\left[\begin{array}{ll}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

相应的函数值是
$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& \left|A\binom{1}{1}\right|=a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32} ; \\
& \left|A\binom{1}{2}\right|=a_{21} a_{33}-a_{23} a_{31} ; \\
& \left|A\binom{1}{3}\right|=a_{21} a_{32}-a_{22} a_{31} .
\end{aligned}\\
&\text { 于是，按定义 }\\
&\begin{aligned}
\operatorname{det}(A) & =\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right| \\
& =a_{11}\left|A\binom{1}{1}\right|-a_{12}\left|A\left(\frac{1}{2}\right)\right|+a_{13}\left|A\left(\frac{1}{3}\right)\right| \\
& =a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

$$
-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33} .
$$

所以，对一个三阶方阵 $A$ ，数量函数 $\operatorname{det}(A)$ 的表达式中出现 6 项。它们可以用下面的图3．3表示。图3．3中用实线相连的三个元素连乘前面取＂＋＂号，用虚线相连的三个元素连乘前面取＂－＂号。恰为三项取正号，三项取负号．

![图片](/uploads/2025-10/f22811.jpg)
 
 命题 2.6 我们有

$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & & & 0 \\
a_{21} & a_{22} & & \\
\vdots & \vdots & \ddots & \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} .
$$

证 对 $n$ 作数学归纳法．$n=1$ 时显然成立．设上面公式在 $n-1$阶方阵时已成立，那么对 $n$ 阶方阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & & & 0 \\
a_{21} & a_{22} & & \\
\vdots & \vdots & \ddots & \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right],
$$

因为按归纳假设有

$$
\operatorname{det} A\binom{1}{1}=\left|\begin{array}{ccc}
a_{22} & & 0 \\
\vdots & \ddots & \\
a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=a_{22} \cdots a_{n n},
$$

于是按定理 2.2 有
$$
\operatorname{det}(A)=a_{11} \operatorname{det} A\binom{1}{1}=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}
$$

3．行列式的性质
前面的讨论中已经证明了行列式的一些基本性质，现在对此作一个小结，把这些基本性质罗列如下。

性质 1 行列互换，行列式的值不变，亦即 $\left|A^{\prime}\right|=|A|$ 。
性质2 两行（列）互换，行列式值变号。
性质3 若行列式中某行（列）每个元素分为两个数之和（即某行（列）向量为两向量之和），则该行列式可关于该行（列）拆开成两个行列式之和．拆开时其他各行（列）均保持不动。

性质4 行列式中某行（列）有公因子 $\lambda \in K$ 时，$\lambda$ 可提出行列式外．

性质5 把行列式的第 $j$ 行（列）加上第 $i$ 行（列）的 $k$ 倍后，其值不变．

性质 6 一个 $n$ 阶方阵 $A$ 不满秩（即 $\mathrm{r}(A)<n$ ）时，其行列式为 0 ．特别地，如果 $A$ 有两行（列）元素相同时，$|A|=0$ ；或 $A$ 有一行 （列）元素全为 0 时，$|A|=0$ ．
以上性质1即为命题2．3；性质3和4是 $\operatorname{det}(A)$ 为行（列）线性函数（定理2．1和命题2．4）的另一种说法；性质2和5即为命题 2.1 ；而性质 6 是 $\operatorname{det}(A)$ 为行列式函数的直接推论。

根据性质1和命题2．6，我们有

$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
& a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
& 0 & \ddots & \vdots \\
& & & a_{n n}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & & & \\
a_{12} & a_{22} & & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \\
a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} .
$$

我们已知一个 $n$ 阶方阵可用行、列初等变换化为阶梯形矩阵，从上面的公式可以看出，阶梯形矩阵的行列式值等于其主对角线元素的连乘积。而性质 $2,4,5$ 说明方阵做初等变换时其行列式值发生什么变化．因而，这些性质给出计算行列式值的一个有效方法．

例 2.1 计算下列行列式的值：

$$
|A|=\left|\begin{array}{rrrr}
-2 & 5 & -1 & 3 \\
1 & -9 & 13 & 7 \\
3 & -1 & 5 & -5 \\
2 & 8 & -7 & -10
\end{array}\right| .
$$

解 利用行列式性质2，4， 5 把它化为阶梯形，再利用上面公式计算出它的值．步骤如下：

$$
|A|=-\left|\begin{array}{rrrr}
1 & -9 & 13 & 7 \\
-2 & 5 & -1 & 3 \\
3 & -1 & 5 & -5 \\
2 & 8 & -7 & -10
\end{array}\right|
$$

$$
\begin{aligned}
& =-\left|\begin{array}{rrrr}
1 & -9 & 13 & 7 \\
0 & -13 & 25 & 17 \\
0 & 26 & -34 & -26 \\
0 & 26 & -33 & -24
\end{array}\right| \\
& =-\left|\begin{array}{rrrr}
1 & -9 & 13 & 7 \\
0 & -13 & 25 & 17 \\
0 & 0 & 16 & 8 \\
0 & 0 & 17 & 10
\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{rrrr}
1 & -9 & 13 & 7 \\
0 & -13 & 25 & 17 \\
0 & 0 & 16 & 8 \\
0 & 0 & 0 & \frac{3}{2}
\end{array}\right| \\
& =-(-13) \cdot 16 \cdot \frac{3}{2}=312 .
\end{aligned}
$$

例 2.2 计算下列行列式：

$$
|A|=\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right| .
$$

解 通过观察发现此行列式第2，3， 4 列元素之和为 0 ，故利用性质 5 ，把其第 $2,3,4$ 行的 1 倍加到第 1 行，再利用行列式定义，得

$$
|A|=\left|\begin{array}{rrrr}
4 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right|=4\left|\begin{array}{rrr}
1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{array}\right|,
$$

然后对右边三阶行列式应用例 2.1 的方法，得

$$
\begin{aligned}
|A| & =4\left|\begin{array}{rrr}
1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & -2 \\
0 & -2 & 0
\end{array}\right|=-4\left|\begin{array}{rrr}
1 & -1 & -1 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{array}\right| \\
& =-4 \cdot(-2) \cdot(-2)=-16 .
\end{aligned}
$$

例2．3 计算初等矩阵的行列式。
解 初等矩阵是由单位矩阵做一次初等变换得来的。已知 $|E|=1$ ，故由行列式性质 2，4，5 可知
（i）$\left|P_n(i, j)\right|=-|E|=-1$ ；
（ii）$\left|P_n(\lambda \cdot i)\right|=\lambda|E|=\lambda(\lambda \neq 0)$ ；
（iii）$\left|P_n(k \cdot i, j)\right|=|E|=1$ ，

$$
\left|P_n^{\prime}(k \cdot i, j)\right|=\left|P_n(k \cdot i, j)\right|=1 .
$$

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