最后更新: 2025-10-02 16:24 查看: 9 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

行列式函数 detA

2．行列式函数 $\operatorname{det}(A)$
上面我们给出了行列式函数的定义，并证明了这种数量函数是唯一的。但 $M_n(K)$ 上是否确实存在这样的数量函数，还是一个未解决的问题。现在我们具体地给出 $M_n(K)$ 上一个数量函数 $\operatorname{det}(A)$（ $\operatorname{det}$是英文＂行列式＂（determinant）的前三个字母），并证明它是一个行列式函数．

首先我们给出排列的一些基本概念．
给定 $n$ 个互不相同的自然数，把它们按一定次序排列起来：

$$
\begin{array}{llll}
i_1 & i_2 & \cdots & i_n,
\end{array}
$$

称为该 $n$ 个自然数的一个排列．在上述排列中，如果有一个较大的自然数排在一个较小的自然数前面，则称为一个反序．例如， $2,3,5,7$这四个自然数的一个排列 7325 ，其中 3 在 2 前，是一个反序； 7 在 2前，是一个反序； 7 在 3 前，是一个反序； 7 在 5 前，也是一反序，故此排列共有 4 个反序。

一个排列中包含的反序的总数称为该排列的反序数．排列 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 的反序数记做 $N\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)$ 。例如我们有 $N(7325)=4$ 。 一个排列的反序数是奇数时，该排列称为奇排列；如果反序数是偶数，则称为偶排列。例如， 7325 是一个偶排列，而因为 $N(7235)=3$ ，故 7235是一个奇排列。

给定 $n$ 个正整数，按大小顺序排列：

$$
1 \leqslant i_1<i_2<\cdots<i_n
$$

现在把它们按任意次序重排，得 $n$ 元排列

$$
\begin{array}{llll}
j_1 & j_2 & \cdots & j_n
\end{array}
$$

这个排列的反序数 $N\left(j_1 j_2 \cdots j_n\right)$ 可用下法计算：先找出排在 $i_1$ 前面的数字有多少个，它的个数记为 $\tau\left(i_1\right)$ ，然后划去 $i_1$ ，再看 $i_2$ 前面未划去的数字有多少个，其个数记为 $\tau\left(i_2\right)$ ，然后划去 $i_2$ ，再看 $i_3$ 前面未划去的数有多少个，其个数记为 $\tau\left(i_3\right)$ ，然后划去 $i_3, \cdots$ 。经 $n$ 次后，即得

$$
N\left(j_1 j_2 \cdots j_n\right)=\tau\left(i_1\right)+\tau\left(i_2\right)+\cdots+\tau\left(i_n\right) .
$$

命题2．5 对 $n$ 个正整数 $i_1, i_2, \cdots, i_n$ 的一个排列 $j_1 j_2 \cdots j_n$ ，互换此排列中两个数 $j_k, j_l$ 的位置，则有

$$
(-1)^{N\left(\cdots j_k \cdots j_l \cdots\right)}=-(-1)^{N\left(\cdots j_l \cdots j_k \cdots\right)} .
$$

上面用省略号表示的地方保持不动．
证 首先设 $j_k$ 与 $j_l$ 相邻，即 $l=k+1$ ．则 按 上 面 指 出 的 $N\left(j_1 j_2 \cdots j_n\right)$ 的计算法易知

$$
\begin{aligned}
N\left(\cdots j_k j_{k+1} \cdots\right)+1=N\left(\cdots j_{k+1} j_k \cdots\right) & \left(\text { 当 } j_k<j_{k+1}\right), \\
N\left(\cdots j_k j_{k+1} \cdots\right)-1=N\left(\cdots j_{k+1} j_k \cdots\right) & \left(\text { 当 } j_k>j_{k+1}\right)
\end{aligned}
$$

（因为 $j_k, j_{k+1}$ 与排列中其他数相对位置不变，故其反序关系也不变，

仅需要考虑 $j_k j_{k+1}$ 与 $j_{k+1} j_k$ 的反序关系）．由此知命题对 $l=k+1$ 时成立。

现设 $l=k+t$ ，这里 $t>1$ 。把 $j_k$ 与 $j_{k+1}, j_{k+2}, \cdots, j_{k+t}$ 逐个作相邻元素对换 $t$ 次，每对换一次改变一次符号，共改变 $t$ 次符号．最后得出的排列是

$$
\cdots \hat{j}_k j_{k+1} \cdots j_{k+t-1} j_{k+t} j_k \cdots
$$

（上面 $\hat{j}_k$ 表示去掉 $j_k$ ），于是

$$
(-1)^{N\left(\cdots j_k j_{k+1} \cdots j_{k+t-1} j_{k+t} j_k \cdots\right)}=(-1)^t(-1)^{N\left(\cdots j_k \cdots j_l \cdots\right)} .
$$

再把（2）中的排列中的 $j_{k+t}$ 与前面的 $j_{k+t-1}, j_{k+t-2}, \cdots, j_{k+1}$ 逐次作相邻元素对换 $t-1$ 次，排列变为

$$
\cdots j_{k+t}, j_{k+1}, \cdots, j_{k+t-1}, j_k, \cdots
$$

于是

$$
\begin{aligned}
(-1)^{N\left(\cdots j_{k+t} \cdots j_k \cdots\right)} & =(-1)^{t-1}(-1)^t(-1)^{N\left(\cdots j_k \cdots j_{k+t} \cdots\right)} \\
& =-(-1)^{N\left(\cdots j_k \cdots j_{k+t} \cdots\right)} .
\end{aligned}
$$

定义 给定数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right],
$$

令

$$
\operatorname{det}(A)=\sum_{\left(j_1 j_2 \cdots j_n\right)}(-1)^{N\left(j_1 j_2 \cdots j_n\right)} a_{j_1 1} a_{j_2} \cdots a_{j_n n},
$$

其中和号表示对前 $n$ 个自然数 $1,2, \cdots, n$ 的所有可能排列 $j_1 j_2 \cdots j_n$求和。
$\operatorname{det}(A)$ 是 $M_n(K)$ 上一个数量函数．今后我们使用如下记号来表示这个数量函数：

$$
\operatorname{det}(A)=|A|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right| .
$$

$\operatorname{det}(A)$ 定义式的构成可概述如下：
1） $\operatorname{det}(A)$ 是由 $n!$ 个项连加而成。
2）每项是矩阵 $A$ 中 $n$ 个不同行且不同列的元素的乘积。如把它们按列角标的自然顺序排列，则其一般形式为

$$
a_{i_1 1} a_{i_2 2} \cdots a_{i_n n}
$$

其中 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 是 $1,2, \cdots, n$ 这 $n$ 个自然数的一个排列（如果矩阵 $A$ 的行角标不用 $1,2, \cdots, n$ 表示，而用其他自然数表示，那就改用其他自然数的排列）。这样的排列共有 $n!$ 个，就对应 $\operatorname{det}$ 定义式中包含的 $n!$项；

3）每项前面应带正、负号．如果 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 是一个偶排列，则 $a_{i_1 1} a_{i_2 2} \cdots a_{i_n n}$ 这一项前面带正号；而如果 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 是奇排列，则该项前面带负号。

下面我们将证明： $\operatorname{det}(A)$ 就是 $M_n(K)$ 上的行列式函数，因此，我们今后称 $\operatorname{det}(A)$ 为方阵 $A$ 的行列式或简称它是一个 $n$ 阶行列式。

定理2．1 $\operatorname{det}(A)$ 是 $M_n(K)$ 上唯一的行列式函数。
证 当 $n=1$ 时 $\operatorname{det}(A)=a_{11}$ ，前面已指出结论成立．下面设 $n \geqslant 2$ ．

（i）证 $\operatorname{det}(A)$ 为列线性函数．设 $A$ 第 $k$ 列为两向量线性组合：

$$
\begin{aligned}
A & =\left(\begin{array}{llll}
\alpha_1 & \cdots & \lambda \alpha+\mu \beta & k \text { 列 } \\
& & \cdots & \alpha_n
\end{array}\right), \\
A_1 & =\left(\begin{array}{lllll}
\alpha_1 & \cdots & \alpha & \cdots & \alpha_n
\end{array}\right), \\
A_2 & =\left(\begin{array}{lllll}
\alpha_1 & \cdots & \beta & \cdots & \alpha_n
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$

即 $A$ 的第 $k$ 个列向量

$$
\alpha_k=\left[\begin{array}{c}
a_{1 k} \\
a_{2 k} \\
\vdots \\
a_{n k}
\end{array}\right]=\lambd

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