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行列式对任意行（列）的展开公式

4．行列式对任意行（列）的展开公式
给定 $A=\left(a_{i j}\right) \in M_n(K)$ 。前面用 $A\left({ }^i{ }_j\right)$ 表示划去 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$列后所剩的 $n-1$ 阶方阵，其行列式 $\left|A\left({ }^i{ }_j\right)\right|$ 称为 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的余子式。为了简单起见，我们把 $a_{i j}$ 的余子式简单地写成 $M_{i j}$（只要从上下文可以清楚地知道它代表的是哪个方阵中元素的余子式，不会产生混淆）。这时定理2．2可以写成

$$
|A|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1} a_{1 k} M_{1 k}
$$

它也称为 $n$ 阶行列式 $|A|$ 对其第一行的展开公式．
现在我们来证明：行列式可以按它的任意一行或任意一列来展开。为了把下面所要论证的一般展开公式写的简单明了，我们先介绍一个重要的概念。

定义 设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为一数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵，$M_{i j}$ 为第 $i$ 行第 $j$

列元素 $a_{i j}$ 的余子式．令

$$
A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}=(-1)^{i+j}\left|A\binom{i}{j}\right|,
$$

称之为元素 $a_{i j}$ 的代数余子式．
注意余子式 $M_{i j}$ 和代数余子式 $A_{i j}$ 都是划去 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素得出的，所以它们的数值恰与 $A$ 的第 $i$ 行元素及第 $j$ 列元素无关．换句话说，如果改变 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列元素，其他元素不动，那么余子式 $M_{i j}$ 和代数余子式 $A_{i j}$ 都没有变化。这一点对我们讨论某些问题是有用的。

例 2.4 求

$$
A=\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 1
\end{array}\right]
$$

的全部代数余子式．
解 按定义，有

$$
\begin{aligned}
& A_{11}=(-1)^{1+1} M_{11}=\left|\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-3 & 1
\end{array}\right|=1 ; \\
& A_{12}=(-1)^{1+2} M_{12}=-\left|\begin{array}{ll}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right|=-2 ; \\
& A_{13}=(-1)^{1+3} M_{13}=\left|\begin{array}{rr}
2 & 1 \\
0 & -3
\end{array}\right|=-6 ; \\
& A_{21}=(-1)^{2+1} M_{21}=-\left|\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-3 & 1
\end{array}\right|=-3 ; \\
& A_{22}=(-1)^{2+2} M_{22}=\left|\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right|=-1 ; \\
& A_{23}=(-1)^{2+3} M_{23}=-\left|\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -3
\end{array}\right|=-3 ; \\
& A_{31}=(-1)^{3+1} M_{31}=\left|\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right|=-1 ;
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& A_{32}=(-1)^{3+2} M_{32}=-\left|\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
2 & 0
\end{array}\right|=2 \\
& A_{33}=(-1)^{3+3} M_{33}=\left|\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
2 & 1
\end{array}\right|=-1
\end{aligned}
$$

利用代数余子式的概念，行列式对第一行的展开公式可以写成

$$
|A|=a_{11} A_{11}+a_{12} A_{12}+\cdots+a_{1 n} A_{1 n} .
$$

命题 $2.7 n$ 阶行列式 $|A|$ 可按任意一行和任意一列展开，展开公式为

$$
\begin{aligned}
& |A|=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n} \quad(i=1,2, \cdots, n) ; \\
& |A|=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j} \quad(j=1,2, \cdots, n) ;
\end{aligned}
$$

证 首先证明对第 $i$ 行的展开公式，再利用行列式性质1来证明对任一列的展开公式．$i=1$ 时即为定理 2.2 ，已经成立．下面设 $i>1$ ．
如果把矩阵 $A$ 的 $i$ 行与 $i-1$ 行互换，再与 $i-2$ 行互换，$\cdots$ ，最后与第 1 行互换，共经过 $i-1$ 次相邻两行的互换，此时原第 $i$ 行换到第 1 行，而其他行则各向下推移一行，它们之间的相对位置没有变化．最后得到的矩阵记做 $\bar{A}$ ．由行列式性质 $2,|A|=(-1)^{i-1}|\bar{A}| .|A|$和 $|\bar{A}|$ 的余子式分别记做 $M_{i j}$ 和 $\bar{M}_{i j}$ ，它们的代数余子式分别记做 $A_{i j}$和 $\bar{A}_{i j}$ ．显然有

$$
\bar{M}_{1 k}=M_{i k} \quad(k=1,2, \cdots, n) .
$$

因而

$$
\begin{aligned}
\bar{A}_{1 k} & =(-1)^{1+k} \bar{M}_{1 k}=(-1)^{1+k} M_{i k}=(-1)^{1+i}(-1)^{i+k} M_{i k} \\
& =(-1)^{1+i}

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【线性代数】行列式按行展开

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