最后更新: 2025-10-02 16:35 查看: 66 次纠错评论(0) 课件开VIP

行列式的其他重要性质

5．行列式的其他重要性质
下面是分块矩阵行列式的重要性质。
命题2．8 给定数域 $K$ 上分块 $n$ 阶方阵

$$
M=\left[\begin{array}{ll}
A & C \\
0 & B
\end{array}\right],
$$

其中 $A$ 为 $k$ 阶方阵。则 $|M|=|A| \cdot|B|$ ．
证 对 $k$ 作数学归纳法．当 $k=1$ 时对第1列展开：

$$
|M|=\left|\begin{array}{cc}
a_{11} & C \\
0 & B
\end{array}\right|
$$

$$
=a_{11}|B|=|A| \cdot|B| .
$$

现设对 $A$ 为 $k$ 阶方阵时命题成立，当 $A$ 为 $k+1$ 阶方阵时，把 $|M|$ 按第 1 列展开：

$$
|M|=\sum_{i=1}^{k+1}(-1)^{i+1} a_{i 1}\left|M\binom{i}{1}\right| .
$$

注意到

$$
M\left({ }_1^{(i)}\right)=\left[\begin{array}{cc}
A\left({ }_1^i\right) & C_i \\
0 & B
\end{array}\right],
$$

按归纳假设，有

$$
\left|M\binom{i}{1}\right|=\left|A\binom{i}{1}\right||B| .
$$

代回 $|M|$ 的表达式，有

$$
\begin{aligned}
|M| & =\sum_{i=1}^{k+1}(-1)^{i+1} a_{i 1}\left|A\binom{i}{1}\right||B| \\
& =|A| \cdot|B| .
\end{aligned}
$$

推论 给定数域 $K$ 上的 $n$ 阶准对角矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
A_1 & & & \\
& A_2 & & 0 \\
0 & & \ddots & \\
& & & A_s
\end{array}\right]
$$

则

证 反复应用命题2．8即可得证．
现在考查实数域上的 $n$ 阶方阵

$$
A(t)=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11}(t) & a_{12}(t) & \cdots & a_{1 n}(t) \\
a_{21}(t) & a_{22}(t) & \cdots & a_{2 n}(t) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1}(t) & a_{n 2}(t) & \cdots & a_{n n}(t)
\end{array}\right]
$$

其中 $a_{i j}(t)$ 为开区间 $(a, b)$ 内的可微函数．应用数学分析的知识立即可以看出行列式 $|A(t)|$ 也是 $(a, b)$ 内的可微函数．现在来导出 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}|A(t)|$ 的计算公式，令

$$
A_i(t)=\left[\begin{array}{ccc}
a_{11}(t) & \cdots \cdots & a_{1 n}(t) \\
\vdots & & \vdots \\
a_{i-11}(t) & \cdots \cdots & a_{i-1 n}(t) \\
a_{i 1}^{\prime}(t) & \cdots \cdots & a_{i n}^{\prime}(t) \\
a_{i+11}(t) & \cdots \cdots & a_{i+1 n}(t) \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n 1}(t) & \cdots \cdots & a_{n n}(t)
\end{array}\right] .
$$

即 $A_i(t)$ 为将 $A(t)$ 的第 $i$ 行求微商，其他行不动所得的 $n$ 阶方阵。
命题 2.9 给定实数域上的 $n$ 阶方阵

其中 $a_{i j}(t)$ 为开区间 $(a, b)$ 内的可微函数．则 $|A(t)|$ 也是 $(a, b)$ 内的可微函数，且

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}|A(t)|=\sum_{i=1}^n\left|A_i(t)\right| .
$$

证 利用定理2．1的推论，有

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}|A|}{\mathrm{d} t} & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \sum_{\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)}(-1)^{N\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)} \cdot a_{1 i_1}(t) a_{2 i_2}(t) \cdots a_{n i_n}(t) \\
& =\sum_{k=1}^n \sum_{\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)}(-1)^{N\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)} a_{1 i_1}(t) \cdots a_{k i_k}^{\prime}(t) \cdots a_{n i_n}(t)
\end{aligned}
$$

$$
=\sum_{k=1}^n\left|\begin{array}{cccc}
a_{11}(t) & a_{12}(t) & \cdots & a_{1 n}(t) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{k 1}^{\prime}(t) & a_{k 2}^{\prime}(t) & \cdots & a_{k n}^{\prime}(t) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1}(t) & a_{n 2}(t) & \cdots & a_{n n}(t)
\end{array}\right| .
$$

命题2．9表明，对于由函数作元素的 $n$ 阶方阵的行列式求微商时，等于分别对每一行求微商再连加．由于行列式中行与列是平等的，所以也可以分别对每一列求微商再连加起来．

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