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行列式的初步应用

§ 3 行列式的初步应用

在这一节里，我们应用行列式理论来讨论线性方程组和矩阵论中的若干问题

1．齐次线性方程组
首先证明一个重要命题。
命题3．1 设 $A_0$ 是数域 $K$ 上的一个 $n$ 阶方阵，则 $A_0$ 满秩的充分必要条件是其行列式 $\left|A_0\right| \neq 0$ ．

证 必要性 $n=1$ 时显然成立．设 $n \geqslant 2$ ．在 $M_n(K)$ 上定义函数 $f(A) \equiv 0$ ．它显然是反对称列线性函数．若 $\mathrm{r}\left(A_0\right)=n$ ，但 $\operatorname{det}\left(A_0\right)=$ 0 ．则 $\operatorname{det}\left(A_0\right)=f\left(A_0\right)=0$ ．由第二章命题 5.2 的推论 1 知 $A_0$ 可单用初等列变换化为 $E$ ，再由本章命题2．1的推论知 $\operatorname{det}(E)=f(E)=0$ ，矛盾。故det $\left(A_0\right) \neq 0$ 。

充分性 因为 $\operatorname{det}(A)$ 为行列式函数，由定义可知。
现在来讨论 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=0 .
\end{array}\right.
$$

根据第二章定理 3.1 的推论，上面的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵 $A$ 的秩 $\mathrm{r}(A)$ 小于未知量个数 $n$ ．现在 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，由命题3．1， $\mathrm{r}(A)<n$ 的充分必要条件是 $|A|=0$ ．故有如下重要结论。

定理 3.1 数域 $K$ 上的 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的行列式为零。

这个定理告诉我们：如果这样的齐次线性方程组系数矩阵的行列式不为零时，它就只有零解．注意这定理仅限于 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的情况．
2．逆矩阵
首先我们介绍数学中一个常用的记号。命

$$
\delta_{i j}= \begin{cases}1, & \text { 当 } i=j \text { 时, } \\ 0, & \text { 当 } i \neq j \text { 时. }\end{cases}
$$

这个记号称为克朗涅克（Kronecker）记号。利用这个记号，许多数学式子就可以写的比较简洁。例如，单位矩阵 $E$ 可以写成 $\left(\delta_{i j}\right)$ ，即 $E$ 的 $i$ 行 $j$ 列元素为 $\delta_{i j}$ 。

命题3．2 $n$ 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 的行列式 $|A|$ 和它的代数余子式有如下关系：

$$
\begin{aligned}
& a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=\delta_{i j}|A|, \\
& a_{1 i} A_{1 j}+a_{2 i} A_{2 j}+\cdots+a_{n i} A_{n j}=\delta_{i j}|A| .
\end{aligned} \quad(i, j=1,2, \cdots, n)
$$

证 当 $i=j$ 时上面两个等式即为命题 2．7．下面来证 $i \neq j$ 的情况。我们只要证明了第一个关于行的公式，那么，由行列式的性质1，第二个关于列的公式就随之成立。

把 $A$ 的第 $j$ 行元素换成 $a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}$ ，得矩阵 $\bar{A} . \bar{A}$ 的 $i, j$ 两行相同，故 $|\bar{A}|=0$ 。把 $|\bar{A}|$ 对第 $j$ 行展开，就有

$$
a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=|\bar{A}|=0
$$

其中利用了 $\bar{A}$ 与 $A$ 仅是第 $j$ 行不相同，故 $|\bar{A}|$ 第 $j$ 行元素的代数余子式与 $|A|$ 的第 $j$ 行元素的代数余子式相同．

给定数域 $K$ 上一个 $n$ 阶方阵（ $n \geqslant 2$ ）

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]
$$

用 $|A|$ 的代数余子式排成如下一个 $n$ 阶方阵

$$
A^*=\left[\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right]
$$

（即 $A^*$ 的 $i$ 行 $j$ 列处放置代数余子式 $\left.A_{j i}\right), A^*$ 称为 $A$ 的伴随矩阵。根据命题3．2，有

$$
\begin{aligned}
& A A^*=\left(\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{j k}\right)=\left(\delta_{i j}|A|\right)=|A| \cdot E, \\
& A^* A=\left(\sum_{k=1}^n A_{k i} a_{k j}\right)=\left(\delta_{i j}|A|\right)=|A| \cdot E .
\end{aligned}
$$

如果 $|A| \neq 0$ ，则有

$$
\left(\frac{1}{|A|} A^*\right) A=A\left(\frac{1}{|A|} A^*\right)=E .
$$

这表示此时 $A$ 可逆，且

$$
A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*
$$

反之，若 $A$ 可逆，则由第二章命题 5.4 知 $A$ 满秩，再由命题3．1知 $|A| \neq 0$ ，于是 $\frac{1}{|A|} A^*$ 有意义，那么，它就是 $A$ 的逆矩阵。故有

定理 $3.2 n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A| \neq 0$ ．在 $A$ 可逆且 $n \geqslant 2$ 时，有

$$
A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*
$$

例 3.1 给定矩阵

$$
\begin{aligned}
&A=\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 1
\end{array}\right],\\
&\begin{aligned}
|A| & =\left|\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 1
\end{array}\right| \\
& =\left|\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 \\
0 & -3 & 1
\end{array}\right| \\
& =-\left|\begin{array}{rr}
1 & 2 \\
-3 & 1
\end{array}\right|
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

$$
=-7 \neq 0 .
$$

故 $A$ 可逆．在 § 2的例2．4中已经算出 $|A|$ 的全部代数余子式，于是可写出 $A$ 的伴随矩阵

$$
\begin{aligned}
A^* & =\left[\begin{array}{lll}
A_{11} & A_{21} & A_{31} \\
A_{12} & A_{22} & A_{32} \\
A_{13} & A_{23} & A_{33}
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{rrr}
1 & -3 & -1 \\
-2 & -1 & 2 \\
-6 & -3 & -1
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

那么，$A$ 的逆矩阵是

$$
A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*=-\frac{1}{7}\left[\begin{array}{rrr}
1 & -3 & -1 \\
-2 & -1 & 2 \\
-6 & -3 & -1
\end{array}\right]
$$

$$
=\left[\begin{array}{rrr}
-\frac{1}{7} & \frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\
\frac{2}{7} & \frac{1}{7} & -\frac{2}{7} \\
\frac{6}{7} & \frac{3}{7} & \frac{1}{7}
\end{array}\right] .
$$

下面再来讨论 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n
\end{array}\right.
$$

命

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right],
$$

$$
X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right],
$$

则方程组可写成

$$
A X=B
$$

现在（1）的系数矩阵 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵。我们有如下两个结论：
1）方程组（1）有唯一解的充分必要条件是 $|A| \neq 0$ ．
证 必要性 若 $|A| \neq 0$ ，由命题3．1知， $\mathrm{r}(A)=n$ ．从而方程组 （1）的增广矩阵 $\bar{A}$ 的秩 $\mathrm{r}(\bar{A})=n=\mathrm{r}(A)$（因 $\bar{A}$ 只有 $n$ 行，其秩不超过 $n$ ，而 $\mathrm{r}(\bar{A}) \geqslant \mathrm{r}(A)=n$ ），故方程组有解．再由第二章定理3．3的（i）知解唯一。

充分性 若方程组有唯一解，则由第二章定理3．3的（ii）可知， $\mathrm{r}(A)=n$ ．再由命题 3.1 知，$|A| \neq 0$ ．

2）当 $|A| \neq 0$ ，方程组（1）有唯一解时，命

$$
X=A^{-1} B
$$

代入（2）式，即知（3）式就是方程组的唯一解．
现在用伴随矩阵表示 $A^{-1}$ 。把定理3．2的结论代入（3）式，得

$$
\begin{aligned}
X & =A^{-1} B=\frac{1}{|A|} A^* B \\
& =\frac{1}{|A|}\left[\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right]=\frac{1}{|A|}\left[\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^n A_{k 1} b_k \\
\sum_{k=1}^n A_{k 2} b_k \\
\vdots \\
\sum_{k=1}^n A_{k n} b_k
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

命

$$
\left|A_i\right|=\sum_{k=1}^n A_{k i} b_k=\left|\begin{array}{ccccccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 i-1} & b_1 & a_{1 i+1} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2 i-1} & b_2 & a_{2 i+1} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n i-1} & b_n & a_{n i+1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right| .
$$

$\left|A_i\right|$ 恰为把 $|A|$ 的第 $i$ 列换成方程组（1）的常数项而得的 $n$ 阶行列式．此时方程组（1）的解可表为

$$
X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right]=\frac{1}{|A|}\left[\begin{array}{c}
\left|A_1\right| \\
\left|A_2\right| \\
\vdots \\
\left|A_n\right|
\end{array}\right]
$$

由此即得如下重要结论：
定理 3.3 若数域 $K$ 上的 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的线性方程组 （1）的系数矩阵的行列式 $|A| \neq 0$ 时，则它有唯一的一组解

$$
x_1=\frac{\left|A_1\right|}{|A|}, \quad x_2=\frac{\left|A_2\right|}{|A|}, \quad \ldots, \quad x_n=\frac{\left|A_n\right|}{|A|},
$$

其中 $\left|A_i\right|(i=1,2, \cdots, n)$ 是把 $|A|$ 的第 $i$ 列换成方程组的常数项而得的 $n$ 阶行列式．

定理 3.3 通常称为克莱姆（Cramer）法则．
例 3.2 解方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
2 x_1+x_2-5 x_3+x_4 & =8, \\
x_1-3 x_2-6 x_4 & =9, \\
2 x_2-x_3+2 x_4 & =-5, \\
x_1+4 x_2-7 x_3+6 x_4 & =0 .
\end{aligned}\right.
$$

解 先算系数矩阵的行列式

$$
|A|=\left|\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & -5 & 1 \\
1 & -3 & 0 & -6 \\
0 & 2 & -1 & 2 \\
1 & 4 & -7 & 6
\end{array}\right|=27 \neq 0,
$$

故克莱姆法则可以应用．由于

$$
\begin{aligned}
& \left|A_1\right|=\left|\begin{array}{rrrr}
8 & 1 & -5 & 1 \\
9 & -3 & 0 & -6 \\
-5 & 2 & -1 & 2 \\
0 & 4 & -7 & 6
\end{array}\right|=81, \\
& \left|A_2\right|=\left|\begin{array}{rrrr}
2 & 8 & -5 & 1 \\
1 & 9 & 0 & -6 \\
0 & -5 & -1 & 2 \\
1 & 0 & -7 & 6
\end{array}\right|=-108, \\
& \left|A_3\right|=\left|\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 8 & 1 \\
1 & -3 & 9 & -6 \\
0 & 2 & -5 & 2 \\
1 & 4 & 0 & 6
\end{array}\right|=-27, \\
& \left|A_4\right|=\left|\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & -5 & 8 \\
1 & -3 & 0 & 9 \\
0 & 2 & -1 & -5 \\
1 & 4 & -7 & 0
\end{array}\right|=27,
\end{aligned}
$$

故方程组的唯一的一组解为

$$
\begin{array}{ll}
x_1=\frac{\left|A_1\right|}{|A|}=3, & x_2=\frac{\left|A_2\right|}{|A|}=-4, \\
x_3=\frac{\left|A_3\right|}{|A|}=-1, & x_4=\frac{\left|A_4\right|}{|A|}=1 .
\end{array}
$$

从上面的例子可以看出，如用克莱姆法则去解线性方程组，其计算量是很大的，远不如用第一章的矩阵消元法简单。但这个法则对理论上讨论某些问题是有用的．还应当注意：克莱姆法则只能用于 $n$个未知量 $n$ 个方程且系数矩阵的行列式不为零的线性方程组。

3．矩阵乘积的行列式
现在来考虑两个 $n$ 阶方阵乘积的行列式。
命题3．3 设 $P$ 是 $n$ 阶初等矩阵，$B$ 是任一 $n$ 阶方阵，则
$$
|P B|=|P| \cdot|B| .
$$

证 $P B$ 相当于对 $B$ 作一次初等行变换．下面分三种情况讨论：
（i）$P=P_n(i, j)$ ，则 $|P|=-1$ ．而 $P B$ 是互换 $B$ 的 $i, j$ 两行，由行列式性质2，有 $|P B|=-|B|=|P| \cdot|B|$ ；
（ii）$P=P_n(c \cdot i)$ ，则 $|P|=c$ ．而 $P B$ 是把 $B$ 的第 $i$ 行乘以 $c$ ，由行列式性质4，有 $|P B|=c|B|=|P| \cdot|B|$ ；
（iii）$P=P_n(k \cdot i, j)$ ，则 $|P|=1$ ．而 $P B$ 是把 $B$ 的第 $j$ 行加上第 $i$ 行的 $k$ 倍，由行列式性质 $5,|P B|=|B|=|P| \cdot|B|$ ．

推论 设 $P_1, P_2, \cdots, P_s$ 是 $n$ 阶初等矩阵，$B$ 是任一 $n$ 阶方阵，则有

证 反复利用命题3．3，有

$$
\begin{aligned}
\left|P_1 P_2 \cdots P_s B\right| & =\left|P_1\right| \cdot\left|P_2 \cdots P_s B\right|=\cdots \\
& =\left|P_1\right| \cdot\left|P_2\right| \cdots\left|P_s\right| \cdot|B| .
\end{aligned}
$$

定理 3.4 对数域 $K$ 上任意两个 $n$ 阶方阵 $A, B$ 有

$$
|A B|=|A| \cdot|B| .
$$

证 分两种情况讨论．

（i）若 $|A|=0$ ，则 $\mathrm{r}(A)<n$ ．由第二章命题 4.5 ，有

$$
\mathrm{r}(A B) \leqslant \min \{\mathrm{r}(A), \mathrm{r}(B)\} < n .
$$

故 $|A B|=0=|A| \cdot|B|$ ．
（ii）若 $|A| \neq 0$ ，则由命题 $3.1, \mathrm{r}(A)=n$ ．再由第二章命题 $5.2, A$可表为初等矩阵的乘积：

$$
A=P_1 P_2 \cdots P_s .
$$

于是由命题 3.3 的推论，有

$$
\begin{gathered}
|A|=\left|P_1\right| \cdot\left|P_2\right| \cdots\left|P_s\right|, \\
|A B|=\left|P_1 P_2 \cdots P_s B\right|=\left|P_1\right| \cdot\left|P_2\right| \cdots\left|P_s\right| \cdot|B| \\
=|A| \cdot|B| .
\end{gathered}
$$

定理3．4是一个有用的工具，下面举一个应用实例。
例 3.3 给定数域 $K$ 上的 $n$ 阶循环矩阵
 
 $$
A=\left[\begin{array}{ccccc}
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1
\end{array}\right]
$$

试计算 $A$ 的行列式．
解 令 $\varepsilon_k=\mathrm{e}^{\frac{2 k \pi}{n}}(k=1,2, \cdots, n)$ 为 1 的 $n$ 个 $n$ 次根，即方程 $x^n=1$在 $\mathbb{C}$ 内的 $n$ 个根。构造 $\mathbb{C}$ 上 $n$ 阶方阵

$$
B=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\varepsilon_1 & \varepsilon_2 & \cdots & \varepsilon_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\varepsilon_1^{n-1} & \varepsilon_2^{n-1} & \cdots & \varepsilon_n^{n-1}
\end{array}\right] .
$$

因为 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 两两不同，从 $\S 2$ 例 2.6 知 $|B| \neq 0$ ．
令 $f(x)=a_1+a_2 x+\cdots+a_n x^{n-1}$ 为 $K$ 上多项式．我们有

$$
\begin{aligned}
& f\left(\varepsilon_k\right)=a_1+a_2 \varepsilon_k+\cdots+a_n \varepsilon_k^{n-1} \\
& \varepsilon_k f\left(\varepsilon_k\right)=a_n+a_1 \varepsilon_k+\cdots+a_{n-1} \varepsilon_k^{n-1} \\
& \varepsilon_k^2 f\left(\varepsilon_k\right)=a_{n-1}+a_n \varepsilon_k+\cdots+a_{n-2} \varepsilon_k^{n-1}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\varepsilon_k^{n-1} f\left(\varepsilon_k\right)=a_2+a_3 \varepsilon_k+\cdots+a_1 \varepsilon_k^{n-1}\\
&\text { 于是 }\\
&\begin{aligned}
A B & =\left[\begin{array}{cccc}
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
a_n & a_1 & \cdots & a_{n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_2 & a_3 & \cdots & a_1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\varepsilon_1 & \varepsilon_2 & \cdots & \varepsilon_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\varepsilon_1^{n-1} & \varepsilon_2^{n-1} & \cdots & \varepsilon_n^{n-1}
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{cccc}
f\left(\varepsilon_1\right) & f\left(\varepsilon_2\right) & \cdots & f\left(\varepsilon_n\right) \\
\varepsilon_1 f\left(\varepsilon_1\right) & \varepsilon_2 f\left(\varepsilon_2\right) & \cdots & \varepsilon_n f\left(\varepsilon_n\right) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\varepsilon_1^{n-1} f\left(\varepsilon_1\right) & \varepsilon_2^{n-1} f\left(\varepsilon_2\right) & \cdots & \varepsilon_n^{n-1} f\left(\varepsilon_n\right)
\end{array}\right]
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

现在利用定理 3.4 来计算上述式子．注意到右边矩阵第 $k$ 列有公因子 $f\left(\varepsilon_k\right)$ ，两边取行列式，有

$$
|A| \cdot|B|=|A B|=f\left(\varepsilon_1\right) f\left(\varepsilon_2\right) \cdots f\left(\varepsilon_n\right)|B| .
$$

因 $|B| \neq 0$ ，故有

$$
|A|=f\left(\varepsilon_1\right) f\left(\varepsilon_2\right) \cdots f\left(\varepsilon_n\right)
$$

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