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行列式的初步应用

§ 3 行列式的初步应用

在这一节里，我们应用行列式理论来讨论线性方程组和矩阵论中的若干问题

1．齐次线性方程组
首先证明一个重要命题。
命题3．1 设 $A_0$ 是数域 $K$ 上的一个 $n$ 阶方阵，则 $A_0$ 满秩的充分必要条件是其行列式 $\left|A_0\right| \neq 0$ ．

证 必要性 $n=1$ 时显然成立．设 $n \geqslant 2$ ．在 $M_n(K)$ 上定义函数 $f(A) \equiv 0$ ．它显然是反对称列线性函数．若 $\mathrm{r}\left(A_0\right)=n$ ，但 $\operatorname{det}\left(A_0\right)=$ 0 ．则 $\operatorname{det}\left(A_0\right)=f\left(A_0\right)=0$ ．由第二章命题 5.2 的推论 1 知 $A_0$ 可单用初等列变换化为 $E$ ，再由本章命题2．1的推论知 $\operatorname{det}(E)=f(E)=0$ ，矛盾。故det $\left(A_0\right) \neq 0$ 。

充分性 因为 $\operatorname{det}(A)$ 为行列式函数，由定义可知。
现在来讨论 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=0 .
\end{array}\right.
$$

根据第二章定理 3.1 的推论，上面的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵 $A$ 的秩 $\mathrm{r}(A)$ 小于未知量个数 $n$ ．现在 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，由命题3．1， $\mathrm{r}(A)<n$ 的充分必要条件是 $|A|=0$ ．故有如下重要结论。

定理 3.1 数域 $K$ 上的 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的行列式为零。

这个定理告诉我们：如果这样的齐次线性方程组系数矩阵的行列式不为零时，它就只有零解．注意这定理仅限于 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的情况．
2．逆矩阵
首先我们介绍数学中一个常用的记号。命

$$
\delta_{i j}= \begin{cases}1, & \text { 当 } i=j \text { 时, } \\ 0, & \text { 当 } i \neq j \text { 时. }\end{cases}
$$

这个记号称为克朗涅克（Kronecker）记号。利用这个记号，许多数学式子就可以写的比较简洁。例如，单位矩阵 $E$ 可以写成 $\left(\delta_{i j}\right)$ ，即 $E$ 的 $i$ 行 $j$ 列元素为 $\delta_{i j}$ 。

命题3．2 $n$ 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 的行列式 $|A|$ 和它的代数余子式有如下关系：

$$
\begin{aligned}
& a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=\delta_{i j}|A|, \\
& a_{1 i} A_{1 j}+a_{2 i} A_{2 j}+\cdots+a_{n i} A_{n j}=\delta_{i j}|A| .
\end{aligned} \quad(i, j=1,2, \cdots, n)
$$

证 当 $i=j$ 时上面两个等式即为命题 2．7．下面来证 $i \neq j$ 的情况。我们只要证明了第一个关于行的公式，那么，由行列式的性质1，第二个关于列的公式就随之成立。

把 $A$ 的第 $j$ 行元素换成 $a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}$ ，得矩阵 $\bar{A} . \bar{A}$ 的 $i, j$ 两行相同，故 $|\bar{A}|=0$ 。把 $|\bar{A}|$ 对第 $j$ 行展开，就有

$$
a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=|\bar{A}|=0
$$

其中利用了 $\bar{A}$ 与 $A$ 仅是第 $j$ 行不相同，故 $|\bar{A}|$ 第 $j$ 行元素的代数余子式与 $|A|$ 的第 $j$ 行元素的代数余子式相同．

给定数域 $K$ 上一个 $n$ 阶方阵（ $n \geqslant 2$ ）

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]
$$

用 $|A|$ 的代数余子式排成如下一个 $n$ 阶方阵

$$
A^*=\left[\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right]
$$

（即 $A^*$ 的 $i$ 行 $j$ 列处放置代数余子式 $\left.A_{j i}\right), A^*$ 称为 $A$ 的伴随矩阵。根据命题3．2，有

$$
\begin{aligned}
& A A^*=\left(\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{j k}\right)=\left(\delta_{i j}|A|\right)=|A| \cdot E, \\
& A^* A=\left(\sum_{k=1}^n A_{k i} a_{k j}\right)=\left(\delta_{i j}|A|\right)=|A| \cdot E .
\end{aligned}
$$

如果 $|A| \neq 0$ ，则有

$$
\left(\frac{1}{|A|} A^*\right) A=A\left(\frac{1}{|A|} A^*\right)=E .
$$

这表示此时 $A$ 可逆，且

$$
A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*
$$

反之，若 $A$ 可逆，则由第二章命题 5.4 知 $A$ 满秩，再由命题3．1知 $|A| \neq 0$ ，于是 $\frac{1}{|A|} A^*$ 有意义，那么，它就是 $A$ 的逆矩阵。故有

定理 $3.2 n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A| \neq 0$ ．在 $A$ 可逆且 $n \geqslant 2$ 时，有

$$
A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*
$$

例 3.1 给定矩阵

$$
\begin{aligned}
&A=\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 1
\end{array}\right],\\
&\begin{aligned}
|A| & =\left|\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 1
\end{array}\right| \\
& =\left|\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 \\
0 & -3 & 1
\end{array}\right| \\
& =-\left|\begin{array}{rr}
1 & 2 \\
-3 & 1
\end{array}\right|
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

$$
=-7 \neq 0 .
$$

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