最后更新: 2025-10-02 16:54 查看: 85 次纠错评论(0) 课件开VIP

矩阵的秩与行列式

4．矩阵的秩与行列式
给定数域 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right] .
$$

取 $2 r$ 个正整数 $i_1, i_2, \cdots, i_r, j_1, j_2, \cdots, j_r$ ，其中可有相同者且 $i_1, i_2, \cdots$ ， $i_r$ 属集合 $\{1,2, \cdots, m\}, j_1, j_2, \cdots, j_r$ 属集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 。定义

$$
A\left\{\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_r
\end{array}\right\}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \cdots & a_{i_1 j_r} \\
a_{i_2 j_1} & a_{i_2 j_2} & \cdots & a_{i_2 j_r} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i_r j_1} & a_{i_r j_2} & \cdots & a_{i_r j_r}
\end{array}\right|,
$$

即取 $A$ 的 $i_1, i_2, \cdots, i_r$ 行，$j_1, j_2, \cdots, j_r$ 列交叉点处的 $r^2$ 个元素组成一 $r$ 阶行列式，称之为 $A$ 的一个 $\boldsymbol{r}$ 阶子式．

命题3．4 数域 $K$ 上一个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩为 $m$ 的充分必要条件是它有一 $m$ 阶子式不为 0 ．

证 必要性 设 $\mathrm{r}(A)=m$ ．则 $A$ 有 $m$ 个列向量 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_m}$ 线性无关，以它们为列向量的 $m$ 阶方阵的行列式即为 $A$ 的一个 $m$ 阶子式，根据命题 3.1 ，此 $m$ 阶子式不为 0 。

充分性 设 $A$ 有 $m$ 阶子式

$$
A\left\{\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_m \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_m
\end{array}\right\} \neq 0,
$$

则 $i_1, i_2, \cdots, i_m$ 无相同者，故必为 $1,2, \cdots, m$ 的一个排列，即
$$
A\left\{\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_m \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_m
\end{array}\right\}= \pm A\left\{\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & m \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_m
\end{array}\right\} \neq 0 .
$$

这表明 $A$ 的第 $j_1, j_2, \cdots, j_m$ 列向量线性无关（根据命题3．1），这 $m$ 个列向量可由 $A$ 的列向量组的任一极大线性无关部分组线性表示，由第二章命题1．4推知 $m \leqslant \mathrm{r}(A) \leqslant m$ ，即 $\mathrm{r}(A)=m$ 。

命题3．5 设 $A$ 是数域 $K$ 上一个 $m \times n$ 矩阵。则 $\mathrm{r}(A)=r$ 的充分必要条件是 $A$ 有一 $r$ 阶子式不为 0 ，而所有 $r+1$ 阶子式都为 0 ．

证 必要性 设 $A$ 的行向量组为 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m, \mathrm{r}(A)=r$ ，设行向量组的一极大线性无关部分组为 $\beta_{i_1}, \beta_{i_2}, \cdots, \beta_{i_r}$ ．以它们为行向量组成 $r \times n$ 矩阵 $B, \mathrm{r}(B)=r$ ，按命题3．4，$B$ 有一 $r$ 阶子式不为 0 ，它即为 $A$ 的不为 0 的 $r$ 阶子式。

若 $A$ 有一 $r+1$ 阶子式

$$
A\left\{\begin{array}{cccc}
k_1 & k_2 & \cdots & k_{r+1} \\
l_1 & l_2 & \cdots & l_{r+1}
\end{array}\right\} \neq 0 .
$$

则由命题3．4，以 $\beta_{k_1}, \beta_{k_2}, \cdots, \beta_{k_{r+1}}$ 为行向量的 $(r+1) \times n$ 矩阵 $B$ 的秩为 $r+1$ ，即其行向量组线性无关。但 $\beta_{k_1}, \beta_{k_2}, \cdots, \beta_{k_{r+1}}$ 可被 $\beta_{i_1}, \beta_{i_2}, \cdots$ ， $\beta_{i_r}$ 线性表示，其向量个数 $r+1>r$ ．按第二章命题 1.4 ，它们又线性相关，矛盾．故 $A$ 的所有 $r+1$ 阶子式都为 0 ．
充分性 设 $A$ 有 $r$ 阶子式

$$
A\left\{\begin{array}{llll}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_r
\end{array}\right\} \neq 0
$$

以 $A$ 的第 $i_1, i_2, \cdots, i_r$ 行向量 $\beta_{i_1}, \beta_{i_2}, \cdots, \beta_{i_r}$ 为行向量组成 $r \times n$ 矩阵 $B$ ，由命题3．4， $\mathrm{r}(B)=r$ ，即 $\beta_{i_1}, \beta_{i_2}, \cdots, \beta_{i_r}$ 线性无关。易知 $\mathrm{r}(A) \geqslant r$ 。如果 $\mathrm{r}(A)>r$ ，则 $A$ 必有 $r+1$ 个行向量 $\beta_{k_1}, \cdots, \beta_{k_{r+1}}$ 线性无关（其行向量组的一极大线性无关部分组含 $\mathrm{r}(A)$ 个向量，从中任取 $r+1$ 个即可）。以它们为行向量组成 $(r+1) \times n$ 矩阵 $B$ 。此时 $\mathrm{r}(B)=r+1$ 。由命题 3.4 知 $B$ 有 $r+1$ 阶子式不为 0 ，即 $A$ 有 $r+1$ 阶子式不为 0 ，与假设矛盾．故 $\mathrm{r}(A)=r$ ．

这两个命题说明可以借助矩阵 $A$ 的子式来研究矩阵 $A$ 的秩，它对理论上研讨问题是有用的．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：行列式的初步应用

下一篇： Laplace 拉普拉斯展开式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)