最后更新: 2026-01-10 09:12 查看: 35 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Laplace 拉普拉斯展开式

##  拉普拉斯 Laplace 展开式

我们已经知道，行列式可以按任一列或任一行展开．现在我们要将这个结论作进一步的推广。首先引进 $k$ 阶子式的概念。

**定义1.7.1**  设 $|\boldsymbol{A}|$ 是一个 $n$ 阶行列式，$k<n$ ．又 $i_1, i_2, \cdots, i_k$ 及 $j_1, j_2, \cdots, j_k$是两组自然数且适合条件：

$$
1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq n ; 1 \leq j_1<j_2<\cdots<j_k \leq n .
$$

取行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 中第 $i_1$ 行，第 $i_2$ 行，$\cdots \cdots$ ，第 $i_k$ 行以及第 $j_1$ 列，第 $j_2$ 列，$\cdots \cdots$ ，第 $j_k$ 列交点上的元素，按原来 $|\boldsymbol{A}|$ 中的相对位置构成一个 $k$ 阶行列式．我们称之为 $|\boldsymbol{A}|$ 的一个 **$k$ 阶子式**，记为

$$
\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_k
\end{array}\right)  ...(1.7.1)
$$

把这个子式写出来就是：

$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \cdots & a_{i_1 j_k} \\
a_{i_2 j_1} & a_{i_2 j_2} & \cdots & a_{i_2 j_k} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i_k j_1} & a_{i_k j_2} & \cdots & a_{i_k j_k}
\end{array}\right| .
$$

在行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 中去掉第 $i_1$ 行，第 $i_2$ 行，$\cdots \cdots$ ，第 $i_k$ 行以及第 $j_1$ 列，第 $j_2$ 列， $\cdots \cdots$ ，第 $j_k$ 列以后剩下的元素按原来的相对位置构成一个 $n-k$ 阶行列式。这个行列式称为子式（1.7.1）的**余子式**，记为

$$
M\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_k
\end{array}\right) ...(1.7.2)
$$

若令 $p=i_1+i_2+\cdots+i_k, q=j_1+j_2+\cdots+j_k$ ，记

$$
\widehat{\boldsymbol{A}}\left(\begin{array}{llll}
i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_k
\end{array}\right)=(-1)^{p+q} M\left(\begin{array}{llll}
i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_k
\end{array}\right), ...(1.7.3)
$$

称之为子式（1.7.1）的**代数余子式**．

### 简单的例子
例如有一个行列式

$$
A=\left[\begin{array}{rrrrr}
-1 & 3 & 0 & 2 & 0 \\
1 & -1 & 2 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
4 & 1 & 2 & 5 & 1 \\
-3 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right],
$$

我们划去$A$的第二行、第四行 和 第三列、第五列，

![图片](/uploads/2026-01/1e71e3.jpg){width=300px}
 
我们把上面操作记作（A后面的2,4,3,5表示第2行，第4行，第3列，第5列），等号右边的2,0,2,1表示 行列交叉形成的行列式)：
$$
A\left(\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
3 & 5
\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ll}
2 & 0 \\
2 & 1
\end{array}\right|   ...(2阶子式)
$$

剩余的$3\times3$阶行列式，称作余子式。记作

$$
M\left(\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
3 & 5
\end{array}\right)=\left|\begin{array}{rrr}
-1 & 3 & 2 \\
3 & 0 & 1 \\
-3 & 0 & 0
\end{array}\right| ...(3阶余子式) 
$$

行号和列数的和是一个数，$-1$的这个数次幂就是代数余子式。
$$
\widehat{\boldsymbol{A}}\left(\begin{array}{llll}
2 & 4 \\
3 &5 
\end{array}\right)=(-1)^{2+4+3+4}

M\left(\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
3 & 5
\end{array}\right) ...(3阶代数余子式) 
$$

所以，把上面稍微化简一下，他的代数余子式其实就是

$$
\widehat{\boldsymbol{A}}\left(\begin{array}{llll}
2 & 4 \\
3 &5 
\end{array}\right)= -\left|\begin{array}{rrr}
-1 & 3 & 2 \\
3 & 0 & 1 \\
-3 & 0 & 0
\end{array}\right|  
$$

> **注意上面只是一个约定的记法。余子式和代数余子式唯一的差别就是多了一个正负号，而这个正负号就是行号和列数的和决定。**

## 拉普拉斯

我们这一节主要证明如下的 Laplace（拉普拉斯）定理．
**定理1.7.1**（Laplace 定理）设 $|\boldsymbol{A}|$ 是 $n$ 阶行列式，在 $|\boldsymbol{A}|$ 中任取 $k$ 行（列），那么含于这 $k$ 行（列）的全部 $k$ 阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积之和等于 $|\boldsymbol{A}|$ ．

即若取定 $k$ 个行： $1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq n$ ，则

$$
|\boldsymbol{A}|=\sum_{1 \leq j_1<j_2<\cdots<j_k \leq n} \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_k
\end{array}\right) \widehat{\boldsymbol{A}}\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_k
\end{array}\right) ...(1.7.4)
$$

同样若取定 $k$ 个列： $1 \leq j_1<j_2<\cdots<j_k \leq n$ ，则

$$
|\boldsymbol{A}|=\sum_{1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq n} \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_k
\end{array}\right) \widehat{\boldsymbol{A}}\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_k
\end{array}\right) ...(1.7.5)
$$

在证明 Laplace 定理之前，我们先举一个例子以弄清子式、代数余子式的含义以及 Laplace 定理的内容．例如，设有下列四阶行列式：

$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -1 & 3 \\
7 & 0 & 5 & 2 \\
-2 & 4 & 6 & 1 \\
2 & 3 & 1 & 4
\end{array}\right| .
$$

若固定其第二、第三行，则共有 $ \mathrm{C}_4^2(=6) $ 个二阶子式

![图片](/uploads/2026-01/136c47.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
& \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right)=\left|\begin{array}{

其他版本
【线性代数】拉普拉斯定理 Laplace

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：矩阵的秩与行列式

下一篇： Binet-Cauchy 比内-柯西公式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)