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Binet-Cauchy 比内-柯西公式

## Binet-Cauchy 比内-柯西公式
Binet-Cauchy 公式是行列式乘法公式的推广，核心思想是：
> **两个非方阵乘积的行列式，等于它们所有可能的“匹配”子矩阵行列式乘积之和**。

它揭示了行列式与组合选择之间的深刻联系，是线性代数中一个优美而强大的工具。

### 比内-柯西公式
设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是一个 $n \times m$ 矩阵，且 $m \le n$， 则
$$
\boxed{
\det(AB) = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_m \le n} \det(A_{[i_1,\dots,i_m]}) \cdot \det(B_{[i_1,\dots,i_m]})
}
$$
其中：
- $A_{[i_1,\dots,i_m]}$ 表示取 $A$ 的列下标为 $i_1, \dots, i_m$ 所构成的 $m \times m$ 子矩阵。
- $B_{[i_1,\dots,i_m]}$ 表示取 $B$ 的行下标为 $i_1, \dots, i_m$ 所构成的 $m \times m$ 子矩阵。

换句话说，$\det(AB)$ 等于所有从 $A$ 中选 $m$ 列、从 $B$ 中选相同序号的 $m$ 行所构成的 $m\times m$ 子矩阵的行列式乘积之和。

**特殊情况：$m = n$**

如果 $m = n$，那么 $A$ 和 $B$ 都是方阵，并且只能选一组指标 $i_1=1, i_2=2, \dots, i_m=m$（因为必须选全部列/行）。

于是：
$$
\boxed{
\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)
}
$$
这就是我们熟知的**行列式的乘法公式**，它是 Binet-Cauchy 公式在方阵情况下的特例。

## 简单例题
本内容需要用户已经了解了[拉普拉斯公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3424),下面先通过一个例题介绍比内-柯西公式的使用，然后再进行理论证明。

`例` 设
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}_{2\times 3}, \quad
B = \begin{pmatrix}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{pmatrix}_{3\times 2}.
$$
计算 $\det(AB)$。

#### **方法 1：直接算 $AB$**
$$
AB = \begin{pmatrix}
1\cdot 7 + 2\cdot 9 + 3\cdot 11 & 1\cdot 8 + 2\cdot 10 + 3\cdot 12 \\
4\cdot 7 + 5\cdot 9 + 6\cdot 11 & 4\cdot 8 + 5\cdot 10 + 6\cdot 12
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
58 & 64 \\
139 & 154
\end{pmatrix}.
$$
$$
\det(AB) = 58\cdot 154 - 64\cdot 139 = 8932 - 8896 = 36.
$$

#### **方法 2：Binet-Cauchy 公式**

**步骤1：确认 Binet-Cauchy 公式的适用条件**
矩阵 $A$ 是 $2\times3$，矩阵 $B$ 是 $3\times2$，满足 $m=2 \le n=3$，可以直接套用公式：
$$
\det(AB)=\sum_{1\le i_1<i_2\le3}\det\left(A\binom{1,2}{i_1,i_2}\right)\cdot\det\left(B\binom{i_1,i_2}{1,2}\right)
$$
其中 $A\binom{1,2}{i_1,i_2}$ 表示取 $A$ 的第 $i_1,i_2$ 列构成的 2 阶子矩阵，$B\binom{i_1,i_2}{1,2}$ 表示取 $B$ 的第 $i_1,i_2$ 行构成的 2 阶子矩阵。

**步骤2：列出 $A$ 的所有 2 阶子式（列组合 $\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}$）**
1.  取列 $\{1,2\}$：
$$
\det\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}=1\times5 - 2\times4=5-8=-3
$$
2.  取列 $\{1,3\}$：
$$
\det\begin{pmatrix}1&3\\4&6\end{pmatrix}=1\times6 - 3\times4=6-12=-6
$$
3.  取列 $\{2,3\}$：
$$
\det\begin{pmatrix}2&3\\5&6\end{pmatrix}=2\times6 - 3\times5=12-15=-3
$$

**步骤3：列出 $B$ 对应的 2 阶子式（行组合与 $A$ 的列组合一致）**
1.  取行 $\{1,2\}$：
$$
\det\begin{pmatrix}7&8\\9&10\end{pmatrix}=7\times10 - 8\times9=70-72=-2
$$
2.  取行 $\{1,3\}$：
$$
\det\begin{pmatrix}7&8\\11&12\end{pmatrix}=7\times12 - 8\times11=84-88=-4
$$
3.  取行 $\{2,3\}$：
$$
\det\begin{pmatrix}9&10\\11&12\end{pmatrix}=9\times12 - 10\times11=108-110=-2
$$

**步骤4：代入公式求和计算 $\det(AB)$**
$$
\begin{align*}
\det(AB)&=(-3)\times(-2)+(-6)\times(-4)+(-3)\times(-2) \\
&=6 + 24 + 6 \\
&=36
\end{align*}
$$

## 定理
**定理2.7.1（Cauchy－Binet 公式）** 设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)$ 是 $n \times m$ 矩阵。 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{lll}i_1 & \cdots & i_s \\ j_1 & \cdots & j_s\end{array}\right)$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 的一个 $s$ 阶子式，它由 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i_1, \cdots, i_s$行与第 $j_1, \cdots, j_s$ 列交点上的元素按原次序排列组成的行列式．同理可定义 $\boldsymbol{B}$ 的 $s$ 阶子式．
（1）若 $m>n$ ，则必有 $|A B|=0$ ；

（2）若 $m \leq n$ ，则必有

$$
|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|=\sum_{1 \leq j_1<j_2<\cdots<j_m \leq n} \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & m \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_m
\end{array}\right) \boldsymbol{B}\left(\begin{array}{cccc}
j_1 & j_2 & \cdots & j_m \\
1 & 2 & \cdots & m
\end{array}\right) .
$$

证明 令 $\boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{I}_n & \boldsymbol{B}\end{array}\right)$ ．我们将用不同的方法来计算行列式 $|\boldsymbol{C}|$ ．
首先，对 $C$ ．进行第三类分块初等变换得到矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}O & A B \\ -I_n & B\end{array}\right)$ ．事实上， $\boldsymbol{M}$ 可写为

$$
\boldsymbol{M}=\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{I}_m & \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{I}_n
\end{array}\right) \boldsymbol{C}
$$

因此 $|\boldsymbol{M}|=|\boldsymbol{C}|$ ．用 Laplace 定理来计算 $|\boldsymbol{M}|$ ，按前 $m$ 行展开得

$$
|\boldsymbol{M}|=(-1)^{(n+1+n+2+\cdots+n+m)+(1+2+\cdots+m)}\left|-\boldsymbol{I}_n\right||\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|=(-1)^{n(m+1)}|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| .
$$

再来计算 $|\boldsymbol{C}|$ ，用 Laplace 定理按前 $m$ 行展开．这时若 $m>n$ ，则前 $m$ 行中任意一个 $m$ 阶子式都至少有一列全为零，因此行列式值等于零，

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