最后更新: 2025-10-19 21:22 查看: 75 次纠错评论(0) 课件开VIP

二次型标准形的计算方法

## 二次型标准形的计算方法

> 《线性代数》叫 [配方法求标准型](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=502)

我们现在介绍二次型的标准形的计算方法．分两种情况进行讨论．

1）二次型（1）中有某个变量平方项的系数不为零，例如 $a_{11} \neq 0$ ．此时把二次型对 $x_1$ 配方得

$$
\begin{aligned}
f & =a_{11} x_1^2+2 a_{12} x_1 x_2+\cdots+2 a_{1 n} x_1 x_n+\sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n a_{i j} x_i x_j \\
& =a_{11}\left[x_1^2+2 x_1 \cdot \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2+\cdots+2 x_1 \cdot \frac{a_{1 n}}{a_{11}} x_n\right]+\sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n a_{i j} x_i x_j \\
& =a_{11}\left[x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}} x_2+\cdots+\frac{a_{1 n}}{a_{11}} x_n\right]^2+\sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n b_{i j} x_i x_j
\end{aligned}
$$

作变数替换

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_1=x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}} x_2+\cdots+\frac{a_{1 n}}{a_{11}} x_n, \\
y_2=x_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
y_n=x_n
\end{array}\right.
$$

反解为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=y_1-\frac{a_{12}}{a_{11}} y_2-\cdots-\frac{a_{1 n}}{a_{11}} y_n, \\
x_2=y_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
x_n=y_n .
\end{array}\right.
$$

写成矩阵形式

$$
X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
1 & -\frac{a_{12}}{a_{11}} & \cdots & -\frac{a_{1 n}}{a_{11}} \\
& 1 & & 0 \\
& 0 & \ddots & \\
& & & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right] .
$$

不难看出，这实际上相当于定理1．1证明过程中所做的基变换．经过上述变数替换后，二次型化作

$$
a_{11} y_1^2+\sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n b_{i j} y_i y_j \quad\left(b_{i j}=b_{j i}\right) .
$$

然后再对上式右边的 $n-1$ 个变量 $y_2, y_3, \cdots, y_n$ 的二次型继续进行计算．

如果 $a_{11}=0$ ，而某个 $a_{i i} \neq 0$ ，则对 $x_i$ 配方．
$2)$ 所有 $a_{i i}=0(i=1,2, \cdots, n)$ ，而有一个 $a_{i j} \neq 0(i<j)$ ，则做变数替换

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_i=y_i+y_j, \\
x_j=y_i-y_j, \\
x_k=y_k \quad(k \neq i, j) .
\end{array}\right.
$$

这就可以把二次型化为第一种情况。
在做计算时，每一步都要把坐标变换矩阵记录下来，以便求得总的坐标变换矩阵．下面举两个例子．

`例` 化二次型

$$
f=2 x_1 x_2-6 x_1 x_3+2 x_2 x_3+x_3^2
$$

为标准形。
解 因为 $a_{33}=1 \neq 0$ ，对 $x_3$ 配方，得

$$
\begin{aligned}
f & =2 x_1 x_2+\left[2\left(x_2-3 x_1\right) x_3+x_3^2\right] \\
& =2 x_1 x_2-\left(x_2-3 x_1\right)^2+\left[\left(-3 x_1+x_2\right)+x_3\right]^2 \\
& =-9 x_1^2+8 x_1 x_2-x_2^2+\left(-3 x_1+x_2+x_3\right)^2 .
\end{aligned}
$$

做变数替换

反解为

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
y_1=x_1, \\
y_2=\quad x_2, \\
y_3=-3 x_1+x_2+x_3 .
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
x_1=y_1, \\
x_2=\quad y_2, \\
x_3=3 y_1-y_2+y_3 .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

表成矩阵形式

$$
X=\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
3 & -1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{array}\right]=T_1 Y .
$$

于是二次型化作

$$
-9 y_1^2+8 y_1 y_2-y_2^2+y_3^2 .
$$

$y_3$ 已配好，下面把它保持不动．现在 $y_1^2$ 的系数不为零，对 $y_1$ 配方，得

$$
\begin{aligned}
& -9\left[y_1^2-2 y_1 \cdot \frac{4}{9} y_2\right]-y_2^2+y_3^2 \\
& \quad=-9\left[y_1-\frac{4}{9} y_2\right]^2+\frac{7}{9} y_2^2+y_3^2
\end{aligned}
$$

做变数替换，并表成矩阵形式

$$
Y=\left[\begin{array}{l}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
1 & \frac{4}{9} & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
z_1 \\
z_2 \\
z_3
\end{array}\right]=T_2 Z .
$$

于是二次型化作标准形

$$
-9 z_1^2+\frac{7}{9} z_2^2+z_3^2 .
$$

最后，求出总的变数替换矩阵 $T$ ．因

$$
X=T_1 Y=T_1\left(T_2 Z\right)=\left(T_1 T_2\right) Z=T Z,
$$

故

$$
\begin{aligned}
T & =T_1 T_2=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
3 & -1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
1 & \frac{4}{9} & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{lll}
1 & \frac{4}{9} & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
3 & \frac{1}{3} & 1
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

在变换过程中得到的 $T_1, T_2$ 均可逆，所以，它们的乘积 $T$ 也是可逆的．现在分别把原二次型的矩阵 $A$ 和标准形的矩阵 $D$ 写出来：

$$
A=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & -3 \\
1 & 0 & 1 \\
-3 & 1 & 1
\end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr}
-9 & 0 & 0 \\
0 & \frac{7}{9} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
$$

如果具体计算一下，就可以验证有合同关系：$T^{\prime} A T=D$ ．

`例`化二次型

$$
f=2 x_1 x_2-6 x_2 x_3+2 x_1 x_3
$$

为标准形．
解 现在所有平方项系数都为零，而 $a_{12}=1 \neq 0$ ．做变数替换

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=y_1+y_2, \\
x_2=y_1-y_2, \\
x_3=
\end{array}\right.
$$

写成矩阵形式

$$
X=\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{array}\right]=T_1 Y .
$$

二次型化作

$$
\begin{aligned}
& 2\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)+2\left(y_1+y_2\right) y_3-6\left(y_1-y_2\right) y_3 \\
& \quad=2 y_1^2-2 y_2^2-4 y_1 y_3+8 y_2 y_3
\end{aligned}
$$

$y_1^2$ 的系数不为零，对 $y_1$ 配方，得

$$
2\left(y_1^2-2 y_1 y_3\right)-2 y_2^2+8 y_2 y_3=2\left(y_1-y_3\right)^2-2 y_2^2-2 y_3^2+8 y_2 y_3 .
$$

做变数替换，并写成矩阵形式

$$
Y=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
z_1 \\
z_2 \\
z_3
\end{array}\right]=T_2 Z .
$$

二次型化作

$$
2 z_1^2-2 z_2^2+8 z_2 z_3-2 z_3^2 .
$$

再对 $z_2$ 配方，得

$$
2 z_1^2-2\left(z_2^2-4 z_2 z_3\right)-2 z_3^2=2 z_1^2-2\left(z_2-z_3\right)^2+6 z_3^2 .
$$

做变数替换，并写成矩阵形式

$$
Z=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{array}\right]=T_3 U .
$$

二次型化作标准形

$$
2 u_1^2-2 u_2^2+6 u_3^2 .
$$

最后，求出总的坐标变换矩阵．因

故

$$
\begin{aligned}
X & =T_1 Y=T_1\left(T_2 Z\right)=T_1 T_2\left(T_3 U\right)=\left(T_1 T_2 T_3\right) U, \\
T & =T_1 T_2 T_3=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 3 \\
1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

如果写出原二次型矩阵 $A$ 和标准形矩阵 $D$ ，有
$$
A=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -3 \\
1 & -3 & 0
\end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{array}\right] .
$$

不难验证有合同关系：$T^{\prime} A T=D$ ．
在用变数替换化二次型成标准形时，必须注意所做的线性变数替换一定要是可逆的，即其系数矩阵行列式应当不为零．不难证明，利用上面的办法做变换时，每一步的变换矩阵都是可逆的，所以，最后把它们连乘起来所得的总的变换矩阵 $T$ 也一定是可逆的。

另外还应当注意，一个二次型的标准形并不是唯一的。用不同的办法计算有可能得到不同的标准形．关于这一点，我们在下一节中再做仔细研究．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：二次型的标准形

下一篇：复二次型的分类

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)