最后更新: 2025-10-19 21:20 查看: 26 次纠错评论(0) 课件开VIP

二次型的标准形

## 二次型的标准形
我们可以把 $K$ 上的二次型 $f=X^{\prime} A X\left(A^{\prime}=A\right)$ 看做 $V$ 内二次型函数 $Q_f(\alpha)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的解析表达式。现在，在 $V$ 内作基变换 $\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T$ ，若 $\alpha$ 在 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 下的坐标为 $Y$ ，那么 $Q_f(\alpha)$ 在 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 下的解析表达式为 $Y^{\prime} B Y\left(B^{\prime}=B\right)$ 。现在 $A, B$ 分别为 $V$ 内对称双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 和 $\eta_1, \eta_2$ ， $\cdots, \eta_n$ 下的矩阵，根据§ $1, B=T^{\prime} A T$ ．而且由坐标变换公式知 $X= T Y$ ．即

$$
Q_f(\alpha)=X^{\prime} A X \xlongequal{X=T Y}(T Y)^{\prime} A(T Y)
$$

$$
=Y^{\prime}\left(T^{\prime} A T\right) Y=Y^{\prime} B Y .
$$

下面把上述讨论改用函数论的语言说出来．首先引进一个概念．
**定义** 考查系数属于数域 $K$ 的如下的 $n$ 个变量的线性变数替换

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=t_{11} y_1+t_{12} y_2+\cdots+t_{1 n} y_n, \\
x_2=t_{21} y_1+t_{22} y_2+\cdots+t_{2 n} y_n, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
x_n=t_{n 1} y_1+t_{n 2} y_2+\cdots+t_{n n} y_n .
\end{array}\right. ...(2)
$$

如果其系数矩阵

$$
T=\left[\begin{array}{cccc}
t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1 n} \\
t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_{n 1} & t_{n 2} & \cdots & t_{n n}
\end{array}\right] \quad\left(t_{i j} \in K\right)
$$

可逆，则（2）式称为数域 $K$ 上的**可逆线性变数替换**．
注意，数域 $K$ 上的二次型 $f$ 只能用 $K$ 上可逆方阵 $T$ 来作线性变数替换．

令
$$
X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right], \quad Y=\left[\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right]
$$

则（2）式可表示成矩阵形式

$$
X=T Y
$$

设 $S=\left(s_{i j}\right)=T^{-1}$ ，则有 $Y=S X$ ．具体写出就是

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_1=s_{11} x_1+s_{12} x_2+\cdots+s_{1 n} x_n \\
y_2=s_{21} x_1+s_{22} x_2+\cdots+s_{2 n} x_n \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
y_n=s_{n 1} x_1+s_{n 2} x_2+\cdots+s_{n n} x_n
\end{array}\right. ...(3)
$$

（3）式称为（2）式的逆变换．
如果对二次型（1）做上述可逆线性变数替换，我们有
$$
f=X^{\prime} A X \xlongequal{X=T Y}(T Y)^{\prime} A(T Y)=Y^{\prime}\left(T^{\prime} A T\right) Y=g .
$$

现在因 $\left(T^{\prime} A T\right)^{\prime}=T^{\prime} A^{\prime} T=T^{\prime} A T$ ，即 $T^{\prime} A T$ 仍为 $K$ 上对称矩阵，故上式的 $g$ 为变量 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 的二次型，其矩阵为 $T^{\prime} A T$ 。我们有如下一个基本事实：

**命题 2.2** 给定 $K$ 上两个二次型

$$
\begin{aligned}
& f=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right) \\
& g=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{i j} y_i y_j \quad\left(b_{i j}=b_{j i}\right)
\end{aligned}
$$

它们的矩阵分别为 $A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right)$ 。则存在 $K$ 上可逆线性变数替换 $X=T Y$ ，使 $f$ 变成 $g$ 的充分必要条件是 $B$ 与 $A$ 在 $K$ 内合同，即

$$
B=T^{\prime} A T
$$

证 若 $f$ 经变换 $X=T Y$ 化为 $g$ ，即

$$
f=X^{\prime} A X \xlongequal{X=T Y} Y^{\prime}\left(T^{\prime} A T\right) Y=g=Y^{\prime} B Y,
$$

那么，按命题2．1，有

$$
B=T^{\prime} A T
$$

反之，若 $B=T^{\prime} A T$ 且 $|T| \neq 0$ ，作变数替换 $X=T Y$ ，有
$$
f=X^{\prime} A X \xlongequal{X=T Y} Y^{\prime}\left(T^{\prime} A T\right) Y=Y^{\prime} B Y=g .
$$

**推论** 如果 $K$ 上二次型 $f=X^{\prime} A X$ 在 $K$ 上的可逆线性变数替换 $X=T Y$ 下变为 $g=Y^{\prime} B Y$ ，则 $f, g$ 为 $V$ 内同一个二次型函数 $Q_f(\alpha)$ 在两组基下的解析表达式。

证 现在 $B$ 与 $A$ 合同．按命题 1.2 ，它们是 $V$ 内对称双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ 在两组基下的矩阵，在此两组基下 $Q_f(\alpha)$ 解析表达式分别为 $X^{\prime} A X, Y^{\prime} B Y$ 。

给定数域 $K$ 上两个二次型 $f, g$ ，若 $f$ 可经 $K$ 上可逆线性变数替换化为 $g$ ，则称 $f$ 与 $g$ **等价**，记做 $f \sim g$ 。命题 2.2 说明，$f$ 与 $g$ 等价的充分必要条件是它们的矩阵合同。合同关系是数域 $K$ 上 $n$ 阶对称矩阵集合中的一个等价关系。因此，二次型的合同关系也是数域 $K$上全体二次型所成的集合内的一个等价关系，于是二次型按此关系
划分为互不相交的等价类．二次型理论的一个基本问题，就是要从每个等价类中挑选出一个最简单的二次型来作为该等价类的代表．

形如

$$
d_1 z_1^2+d_2 z_2^2+\cdots+d_n z_n^2=Z^{\prime} D Z
$$

的二次型称为**标准形**，其矩阵为对角形

$$
D=\left[\begin{array}{llll}
d_1 & & & \\
& d_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & d_n
\end{array}\right] .
$$

显然，这种二次型是较简单的。
根据§1中的定理1．1的推论，任意一个对称方阵都合同于一个对角矩阵。从命题 2.2 可知，定理1．1可用二次型的语言叙述如下：

**定理 2.1** 给定数域 $K$ 上的一个二次型

$$
f=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right),
$$

则存在 $K$ 上一个可逆方阵 $T$ ，使在线性变数替换 $X=T Z$ 下此二次型变为如下标准形

$$
d_1 z_1^2+d_2 z_2^2+\cdots+d_n z_n^2
$$

综合§1和本节中的论述，我们可以把所得到的基本结果用三种不同的语言叙述出来．

1）用双线性函数的语言：数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内任一对称双线性函数的矩阵都可对角化（即 $V$ 内存在一组基，使该对称双线性函数在此组基下的矩阵成对角形）．

2）用矩阵论的语言：数域 $K$ 上任一对称的 $n$ 阶方阵都合同于一个对角矩阵．

3）用二次型的语言：数域 $K$ 上任一二次型都可经一个可逆线性变数替换化为标准形．
上述三种说法互相等价，只要证明其中之一，另两个就自动成立．

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