最后更新: 2025-10-19 21:16 查看: 13 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二次型

##  二 次 型

在上一节，我们在数域 $K$ 上的线性空间内引进双线性函数的概念，特别是较深入地研究了对称双线性函数和它对应的二次型函数。首先，读者应当注意，这些函数的概念与空间的基的选取无关，因而从理论上讨论问题时较为方便（不受基的不同选取的限制与干扰）。但当我们在有限维线性空间内讨论它们，需要作具体计算时，我们又必须把它们与基的选取联系起来。如果 $f(\alpha, \beta)$ 是 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内一个对称双线性函数，在 $V$ 内取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，则 $f(\alpha, \beta)$ 在此组基下的矩阵为 $K$ 上 $n$ 阶对称矩阵 $A$ ，若 $\alpha, \beta$ 在此组基下的坐标分别为 $X, Y$ ，则（令 $a_{i j}=f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)$ ）

$$
\begin{aligned}
& f(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i y_j=X^{\prime} A Y \\
& Q_f(\alpha)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j=X^{\prime} A X
\end{aligned}
$$

这样，$V$ 上抽象的函数 $f(\alpha, \beta), Q_f(\alpha)$ 就被具体化为解析表达式了．而这依赖于基的选取．

对称双线性函数的理论除了在线性代数本身是重要的之外，它在几何学等其他数学领域以及自然科学、工程技术中也有广泛的应用．这些领域应用的往往是上面指出的具体解析表达式．因此，在这一节中我们将把上述具体解析表达式单独拿出来，从函数论的角度对它们作一些讨论．

**定义** 以数域 $K$ 的元素作系数的 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的二次齐次函数

$$
f=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right)
$$

称为数域 $K$ 上的一个**二次型**，其系数所成的矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]
$$

是数域 $K$ 上的 $n$ 阶对称矩阵，称为此**二次型的矩阵**．$A$ 的秩 $\m

其他版本
【线性代数】二次型的意义

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：双线性函数在不同基下的矩阵

下一篇：二次型的标准形

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)

二 次 型

《高等数学》难点解析

《线性代数》难点解析

《概率论与数理统计》难点解析

二次型