最后更新: 2025-10-19 21:16 查看: 26 次纠错评论(0) 课件开VIP

二次型

##  二 次 型

在上一节，我们在数域 $K$ 上的线性空间内引进双线性函数的概念，特别是较深入地研究了对称双线性函数和它对应的二次型函数。首先，读者应当注意，这些函数的概念与空间的基的选取无关，因而从理论上讨论问题时较为方便（不受基的不同选取的限制与干扰）。但当我们在有限维线性空间内讨论它们，需要作具体计算时，我们又必须把它们与基的选取联系起来。如果 $f(\alpha, \beta)$ 是 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内一个对称双线性函数，在 $V$ 内取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，则 $f(\alpha, \beta)$ 在此组基下的矩阵为 $K$ 上 $n$ 阶对称矩阵 $A$ ，若 $\alpha, \beta$ 在此组基下的坐标分别为 $X, Y$ ，则（令 $a_{i j}=f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)$ ）

$$
\begin{aligned}
& f(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i y_j=X^{\prime} A Y \\
& Q_f(\alpha)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j=X^{\prime} A X
\end{aligned}
$$

这样，$V$ 上抽象的函数 $f(\alpha, \beta), Q_f(\alpha)$ 就被具体化为解析表达式了．而这依赖于基的选取．

对称双线性函数的理论除了在线性代数本身是重要的之外，它在几何学等其他数学领域以及自然科学、工程技术中也有广泛的应用．这些领域应用的往往是上面指出的具体解析表达式．因此，在这一节中我们将把上述具体解析表达式单独拿出来，从函数论的角度对它们作一些讨论．

**定义** 以数域 $K$ 的元素作系数的 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的二次齐次函数

$$
f=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right)
$$

称为数域 $K$ 上的一个**二次型**，其系数所成的矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]
$$

是数域 $K$ 上的 $n$ 阶对称矩阵，称为此**二次型的矩阵**．$A$ 的秩 $\mathrm{r}(A)$ 称为此**二次型的秩**。

令

$$
X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right] \text {, }
$$

二次型（1）可以表成矩阵乘积的形式

$$
f=X^{\prime} A X .
$$

显然，数域 $K$ 上一个二次型 $f$ 就是 $V$ 内一个二次型函数 $Q_f(\alpha)$在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的解析表达式．这样，上一节关于对称双线性函数所得的结果可以直接用到二次型 $f$ 上来．

在实际工作中碰到的二次型，其表达式中 $x_i x_j$ 与 $x_j x_i$ 两项可能是合并在一起的，为了使用上一节所得到的结果，我们必须把 $f$ 与 $V$内对应的二次型函数 $Q_f(\alpha)$ 或对应的对称双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ 联系起来，这样就应当把该项系数平分为二，得出两项 $a_{i j} x_i x_j$ 及 $a_{j i} x_j x_i$ ，且 $a_{j i}=a_{i j}$ ．然后再写出此二次型的矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ ．

> 提示：如果此处看不懂，可以参考 线性代数里 [二次型](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1474)

`例` 给定二次型

$$
f=x_1^2-2 x_1 x_2+3 x_1 x_3-x_2 x_3+4 x_3^2 .
$$

为了写出它的矩阵，我们把它写成

$$
\begin{aligned}
f= & x_1^2-x_1 x_2+\frac{3}{2} x_1 x_3 \\
& -x_2 x_1+0 \cdot x_2^2-\frac{1}{2} x_2 x_3 \\
& +\frac{3}{2} x_3 x_1-\frac{1}{2} x_3 x_2+4 x_3^2
\end{aligned}
$$

那么，$f$ 的矩阵就是

$$
A=\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & \frac{3}{2} \\
-1 & 0 & -\frac{1}{2} \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 4
\end{array}\right] .
$$

这是一个对称矩阵．此时 $f$ 可表作

$$
f=\left(\begin{array}{lll}
x_1 & x_2 & x_3
\end{array}\right)\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & \frac{3}{2} \\
-1 & 0 & -\frac{1}{2} \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 4
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=X^{\prime} A X .
$$

`例` 给定二次型

$$
f=x_1 x_3+x_2 x_4 .
$$

按上述办法写出它的矩阵为
$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0
\end{array}\right] .
$$

于是 $f$ 可表作 $f=X^{\prime} A X$ ．
对于一个具体二次型，读者应该熟练地写出它的矩阵。
如果给定数域 $K$ 上一个 $n$ 阶对称矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ ，那么，反过来以 $a_{i j}$ 为系数即得一个二次型．我们来证明：不同的对称矩阵对应于不同的二次型，也就是说，定义中给定的二次型的解析表达式是唯一的．

**命题 2.1** 给定数域 $K$ 上两个二次型

$$
\begin{aligned}
& f=X^{\prime} A X=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right), \\
& g=X^{\prime} B X=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{i j} x_i x_j \quad\left(b_{i j}=b_{j i}\right) .
\end{aligned}
$$
如果 $f \equiv g$（即 $f, g$ 作为变元 $x_1, \cdots, x_n$ 的函数恒等），则 $A=B$ ．
证 设 $V$ 内对称双线性函数 $f(\alpha, \beta), g(\alpha, \beta)$ 在基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵分别为 $A, B$ ，则二次型函数 $Q_f(\alpha), Q_g(\alpha)$ 在此组基下的解析表达式分别为二次型 $f, g$ ，故由 $f \equiv g$ 推知 $Q_f(\alpha) \equiv Q_g(\alpha)$ ，这又推出 $f(\alpha, \beta) \equiv g(\alpha, \beta)$ ，于是 $A=B$ 。

根据以上的分析，数域 $K$ 上全体 $n$ 元二次型所成的集合与 $K$ 上全体 $n$ 阶对称矩阵所成的集合之间存在一一对应。在§ 1 又指出，在 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内取定一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 后，$K$ 上全体 $n$ 阶对称矩阵所成的集合与 $V$ 内全体对称双线性函数所成的集合之间也存在一一对应，而对称双线性函数又与二次型函数一一对应。所以，现在我们所研讨的理论有如下四种等价的语言表达法：1）二次型的语言；2）对称矩阵的语言；3）对称双线性函数的语言；4）二次型函数的语言．在下面的讨论中，将视所研讨的问题的需要，在上述四种等价语言中自由地来回转换，而不再每次都作重复的说明，希望读者注意。

应当指出，从函数论的观点来看，一个函数的自变量使用什么字母来表示是无关紧要的，例如 $\sin x$ 与 $\sin y$ 在函数论中代表同一个函数．因而下面两式

$$
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j, \quad \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} y_i y_j
$$

代表的是同一个二次型．

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【线性代数】二次型的意义

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