最后更新: 2025-10-19 21:12 查看: 47 次纠错评论(0) 课件开VIP

双线性函数在不同基下的矩阵

## 双线性函数在不同基下的矩阵
我们已经知道，一个线性变换在两组基下的矩阵是相似的。我们现在来指出：一个双线性函数在两组基下的矩阵也有与此相类似的关系。

设 $f(\alpha, \beta)$ 为 $V$ 内一个双线性函数．在 $V$ 内取定两组基

$$
\begin{gathered}
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n ; \\
\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n .
\end{gathered}
$$

设

$$
f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=a_{i j}, \quad f\left(\eta_i, \eta_j\right)=b_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n)
$$

记 $A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right)$ ，则 $A, B$ 分别是 $f(\alpha, \beta)$ 在这两组基下的矩阵．令

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
\alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X, \\
\beta=y_1 \varepsilon_1+y_2 \varepsilon_2+\cdots+y_n \varepsilon_n=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) Y .
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
\alpha=\bar{x}_1 \eta_1+\bar{x}_2 \eta_2+\cdots+\bar{x}_n \eta_n=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right) \bar{X}, \\
\beta=\bar{y}_1 \eta_1+\bar{y}_2 \eta_2+\cdots+\bar{y}_n \eta_n=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right) \bar{Y} .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

又设两组基之间的过渡矩阵为 $T$

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T
$$

于是有坐标变换公式

$$
X=T \bar{X} ; \quad Y=T \bar{Y}
$$

将上面的式子代入 $f(\alpha, \beta)$ 的矩阵表达式中，有

$$
\begin{aligned}
f(\alpha, \beta) & =X^{\prime} A Y=(T \bar{X})^{\prime} A(T \bar{Y}) \\
& =\bar{X}^{\prime}\left(T^{\prime} A T\right) \bar{Y}=\bar{X}^{\prime} B \bar{Y}
\end{aligned}
$$

根据命题1．1的推论，有

$$
B=T^{\prime} A T
$$

这就是同一个双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ 在两组不同的基下的矩阵之间的关系。
**定义** 给定数域 $K$ 上两个 $n$ 阶方阵 $A, B$ ．如果存在 $K$ 上一个可逆的 $n$ 阶方阵 $T$ ，使 $B=T^{\prime} A T$ ，则称 $B$ 与 $A$ 在 $K$ 内**合同**．

**命题1.2** 数域 $K$ 上两个 $n$ 阶方阵 $A, B$ 合同的充分必要条件是它们是 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内一个双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ 在两组基下的矩阵。

证 充分性已在上面阐明．现证必要性．设 $B=T^{\prime} A T,|T| \neq 0$ ． $A$ 可看做 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内的双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ ， $\cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵，令 $\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T$ ，则 $f(\alpha, \beta)$ 在基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 下的矩阵为 $T^{\prime} A T=B$ 。

方阵间的合同关系是矩阵之间的又一重要关系。它与矩阵的相似关系不同，但形式上类似．显然，矩阵之间的合同关系也具有如下几条基本性质

1）反身性：$A=E^{\prime} A E$ ；
$2)$ 对称性：若 $B=T^{\prime} A T$ ，则 $A=\left(T^{-1}\right)^{\prime} B T^{-1}$ ；
3）传递性：若 $A=T_1^{\prime} B T_1, B=T_2^{\prime} C T_2$ ，则
$$
A=T_1^{\prime} B T_1=T_1^{\prime}\left(T_2^{\prime} C T_2\right) T_1=\left(T_2 T_1\right)^{\prime} C\left(T_2 T_1\right) .
$$

因此，矩阵的合同是一个等价关系。在此等价关系下的等价类称做**合同类**。我们自然也会想从每个合同类中挑选出一个最简单的矩阵（最好是对角矩阵）来作为该合同类的代表．使用双线性函数的语言，就是对每一个双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ ，要设法在 $V$ 内找出一组基，使 $f(\alpha, \beta)$ 在这组基下的矩阵具有最简单的形式。

在本书中，我们主要是对一类最常用的双线性函数来讨论这个问题．这就是下面所要讲的对称双线性函数．

## 对称双线性函数
**定义** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$f(\alpha, \beta)$ 是 $V$ 内的一个双线性函数．如果对任意 $\alpha, \beta \in V$ ，有 $f(\alpha, \beta)=f(\beta, \alpha)$ ，则称 $f(\alpha, \beta)$ 是一个**对称双线性函数**．

不难看出，对称双线性函数在 $V$ 的任意一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵 $\left(f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)\right)$ 为 $n$ 阶对称矩阵（由于 $\left.f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=f\left(\varepsilon_j, \varepsilon_i\right)\right)$ 。反之，任给数域 $K$ 上的 $n$ 阶对称矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$（其中 $a_{i j}=a_{j i}$ ），按命题1．1的证明中的办法定义 $V$ 内双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ ，则

$$
f(\alpha, \beta)=X^{\prime} A Y=\left(X^{\prime} A Y\right)^{\prime}=Y^{\prime} A^{\prime} X
$$

$$
=Y^{\prime} A X=f(\beta, \alpha)
$$

（其中 $X, Y$ 为 $\alpha, \beta$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标），即 $f(\alpha, \beta)$ 为 $V$ 内对称双线性函数，而且 $f(\alpha, \beta)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵即为 $A$ 。因而，在 $V$ 内取定一组基之后，就使 $V$ 内全体对称双线性函数所成的集合和 $K$ 上全体 $n$ 阶对称矩阵所成的集合之间建立起一一对应的关系。

现设 $f(\alpha, \beta)$ 是 $V$ 内一个对称双线性函数．我们定义 $Q_f(\alpha)= f(\alpha, \alpha)$ ，称为 $f(\alpha, \beta)$ 决定的**二次型函数**。如在 $V$ 内取定基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots$ ， $\varepsilon_n$ ．又令 $f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=a_{i j}, A=\left(a_{i j}\right)$ ．那么 $f(\alpha, \beta)=X^{\prime} A Y(X, Y$ 为 $\alpha, \beta$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标），于是

$$
Q_f(\alpha)=f(\alpha, \alpha)=X^{\prime} A X=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right) .
$$

上式称为二次型函数在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的**解析表达式**。
若已知对称双线性函数，则其二次型函数 $Q_f(\alpha)$ 被唯一决定．反
之，因为

$$
\begin{aligned}
Q_f(\alpha+\beta) & =f(\alpha+\beta, \alpha+\beta) \\
& =f(\alpha, \alpha)+2 f(\alpha, \beta)+f(\beta, \beta) \\
& =Q_f(\alpha)+2 f(\alpha, \beta)+Q_f(\beta),
\end{aligned}
$$

故有

$$
f(\alpha, \beta)=\frac{1}{2}\left[Q_f(\alpha+\beta)-Q_f(\alpha)-Q_f(\beta)\right] .
$$

这表示反过来二次型函数也唯一决定对称双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ ．就是说，如果另有 $V$ 内对称双线性函数 $g(\alpha, \beta)$ ，使 $Q_g(\alpha) \equiv Q_f(\alpha)$ ，则 $g(\alpha, \beta) \equiv f(\alpha, \beta)$ ．特别地，若 $Q_f(\alpha) \equiv 0$ ，则 $f(\alpha, \beta) \equiv 0$ ．

下面是关于对称双线性函数的基本定理．
**定理1．1** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，$f(\alpha, \beta)$ 是 $V$ 内的一个对称双线性函数，则在 $V$ 内存在一组基，使 $f(\alpha, \beta)$ 在这组基下的矩阵成对角形．

证 对 $V$ 的维数 $n$ 作数学归纳法．
当 $n=1$ 时定理是显然的．设对 $n-1$ 维线性空间定理成立，证明对 $n$ 维线性空间定理也成立．

首先，若 $f(\alpha, \beta) \equiv 0$ ，定理自然成立．如果不是这种情况，则

$$
Q_f(\alpha)=f(\alpha, \alpha) \not \equiv 0 .
$$

于是，可在 $V$ 内取定 $\varepsilon_1$ ，使 $f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)=d_1 \neq 0$ ．把 $\varepsilon_1$ 扩充成 $V$ 的一组基

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n .
$$

令

$$
\left\{\begin{array}{l}
\eta_1=\varepsilon_1 \\
\eta_i^{\prime}=\frac{f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_i\right)}{d_1} \varepsilon_1-\varepsilon_i \quad(i=2,3, \cdots, n)
\end{array}\right.
$$

显然，$\eta_1, \eta_2^{\prime}, \cdots, \eta_n^{\prime}$ 是 $V$ 的一组基，且

$$
\begin{aligned}
f\left(\eta_1, \eta_i^{\prime}\right)= & f\left(\eta_1, \frac{f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_i\right)}{d_1} \varepsilon_1-\varepsilon_i\right) \\
= & \frac{f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_i\right)}{d_1} f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)-f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_i\right)=0 \\
& (i=2,3, \cdots, n)
\end{aligned}
$$

命 $M=L\left(\eta_2^{\prime}, \cdots, \eta_n^{\prime}\right)$ ．这是一个 $n-1$ 维线性空间，$f(\alpha, \beta)$ 可以看做 $M$ 内的对称双线性函数．对任意 $\alpha \in M$ ，有 $\alpha=k_2 \eta_2^{\prime}+\cdots+k_n \eta_n^{\prime}$ ，于是

$$
f\left(\alpha, \eta_1\right)=f\left(\eta_1, \alpha\right)=k_2 f\left(\eta_1, \eta_2^{\prime}\right)+\cdots+k_n f\left(\eta_1, \eta_n^{\prime}\right)=0
$$

按归纳假设，在 $M$ 内存在一组基 $\eta_2, \cdots, \eta_n$ ，使 $f(\alpha, \beta)$ 在这组基下的矩阵成对角形，即有

$$
f\left(\eta_i, \eta_j\right)=d_i \delta_{i j} \quad(i, j=2,3, \cdots, n)
$$

因为 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 与 $\eta_1, \eta_2^{\prime}, \cdots, \eta_n^{\prime}$ 等价，故它也是 $V$ 的一组基，且

$$
f\left(\eta_i, \eta_j\right)=d_i \delta_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n)
$$

于是 $f(\alpha, \beta)$ 在这组基下的矩阵成对角形．

**推论** 设 $A$ 是数域 $K$ 上的一个 $n$ 阶对称方阵，则存在 $K$ 上的一个可逆方阵 $T$ ，使 $T^{\prime} A T=D$ 为对角形。

证 把 $A$ 看做 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内对称双线性函数 $f(\alpha, \beta)$在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵。由定理1．1，在 $V$ 内存在一组基 $\eta_1, \eta_2$ ， $\cdots, \eta_n$ ，使 $f(\alpha, \beta)$ 在这组基下的矩阵成对角形 $D$ ．设

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T,
$$

则 $T^{\prime} A T=D$ ．

最后，我们介绍双线性函数的秩的概念．我们已经知道，同一个双线性函数在不同基下的矩阵是互相合同的，而互相合同的矩阵秩相同（这是因为：根据第二章命题 5.2 的推论 2 ，一个矩阵左乘或右乘一个满秩方阵后，其秩不变）。因此，可以有如下的定义：

**定义** 设 $f(\alpha, \beta)$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 内的一个双线性函数，它在某一组基下的矩阵 $A$ 的秩 $\mathrm{r}(A)$ 称为 $f(\alpha, \beta)$ 的秩．如果 $A$ 是满秩的，即 $\mathrm{r}(A)=n$ ，则称 $f(\alpha, \beta)$ 是**满秩双线性函数**（或称**非退化双线性函数**）．

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