最后更新: 2025-10-19 21:06 查看: 83 次纠错评论(0) 课件开VIP

双线性函数与二次型

## 第五章 双线性函数与二次型

> 如果你非数学系专业，建议阅读 [线性代数 二次型](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=500)

上一章我们已经学习了线性空间的基础知识。为了把我们的研讨深入下去，停留在上一章的知识上是远远不够的．我们关于线性空间的理论还需要做进一步的发展。究竟应当怎样发展线性空间的理论呢？这应当从分析现实的感性认识入手，从中得到启示。我们熟悉的三维几何空间，是线性空间的一个重要例子。如果分析一下三维几何空间，我们就会发现它还具有一般线性空间不具备的重要性质：三维几何空间中向量有长度和夹角，这称为三维几何空间的度量性质．这种性质现在一般线性空间还没有．一个自然的问题是：能不能在一般线性空间中也来引进度量性质呢？如果能，又应当怎样来引进这样的性质呢？这又要从分析三维几何空间的度量性质来得到启示．我们知道三维几何空间向量的长度和夹角可由向量的点乘 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 来决定，向量点乘是定义在三维几何空间中的两个变元（以向量为变元）的函数。而且如第三章 § 1中指出的，点乘具有对称性： $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}= \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$ 及双线性，即当固定一个变元时，对另一个变元具有＂线性＂的性质．例如固定 $\boldsymbol{b}$ ，则
$$
\left(k_1 a_1+k_2 a_2\right) \cdot b=k_1 a_1 \cdot b+k_2 a_2 \cdot b
$$

如固定 $\boldsymbol{a}$ ，对第二变元 $\boldsymbol{b}$ 也有相似的性质。这些分析告诉我们，应当在数域 $K$ 上的线性空间中来研究类似的二元函数，在研究清楚这类二元函数之后，就可以它为立足点在一般线性空间中引入度量的有关概念了．这就是本章的中心内容．

##  1 双线性函数

我们的研究，首先就从上面的简单分析入手，来研究定义在数域 $K$ 上线性空间中的一类特殊二元函数．

**1．线性与双线性函数**
**定义** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间。如果对 $V$ 中任一向量 $\alpha$ ，都按某个给定的法则 $f$ 对应于 $K$ 内一个唯一确定的数，记做 $f(\alpha)$ ，而且满足如下条件：
（i）$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta) \quad(\forall \alpha, \beta \in V)$ ；
（ii）$f(k \alpha)=k f(\alpha) \quad(\forall \alpha \in V, k \in K)$ ，则称 $f$ 为 $V$ 内一个**线性函数**．

如果把 $K$ 看做它自身上的线性空间（加法，数乘都是 $K$ 内数的加法和乘法），则 $f$ 就是 $K$ 上线性空间 $V$ 到 $K$ 上线性空间 $K$ 的一个线性映射，即 $f \in \operatorname{Hom}(V, K)$ ．因此，第四章关于线性映射的基本知识对 $V$ 上的线性函数也适用。特别是它具有下面三条基本性质：

1）$f(0)=0$ ；
2）$f(-\alpha)=-f(\alpha)$ ；
3）$f\left(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s\right)=k_1 f\left(\alpha_1\right)+k_2 f\left(\alpha_2\right)+\cdots+k_s f\left(\alpha_s\right)$ ．
$V$ 上线性函数在本教程的最后一章将从更一般的角度来做深入的讨论，这里仅介绍它的定义及最基本的性质。下面我们以线性函数的概念为基础，来引进本章的核心概念．

**定义** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间．如果 $V$ 中任意一对有序向量 $(\alpha, \beta)$ 都按照某一法则 $f$ 对应于 $K$ 内唯一确定的一个数，记做 $f(\alpha, \beta)$ ，且
（i）对任意 $k_1, k_2 \in K, \alpha_1, \alpha_2, \beta \in V$ ，有

$$
f\left(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2, \beta\right)=k_1 f\left(\alpha_1, \beta\right)+k_2 f\left(\alpha_2, \beta\right) ;
$$

（ii）对任意 $l_1, l_2 \in K, \alpha, \beta_1, \beta_2 \in V$ ，有

$$
f\left(\alpha, l_1 \beta_1+l_2 \beta_2\right)=l_1 f\left(\alpha, \beta_1\right)+l_2 f\left(\alpha, \beta_2\right),
$$

则称 $f(\alpha, \beta)$ 是 $V$ 上的一个**双线性函数**．
根据这个定义可知：如令 $\beta$ 保持不动，则 $f(\alpha, \beta)$ 是 $\alpha$ 的线性函数；同样，如令 $\alpha$ 保持不动，则 $f(\alpha, \beta)$ 是 $\beta$ 的线性函数．这就是称它为双线性函数的原因．双线性函数可以看做是以 $V$ 内向量为自变量的二元线性函数．

现设 $V$ 是 $n$ 维线性空间．在 $V$ 内取定一组基

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n .
$$

又设

$$
\begin{aligned}
& \alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n ; \\
& \beta=y_1 \varepsilon_1+y_2 \varepsilon_2+\cdots+y_n \varepsilon_n .
\end{aligned}
$$

那么，按定义，有

$$
\begin{aligned}
f(\alpha, \beta) & =f\left(\sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i, \sum_{j=1}^n y_j \varepsilon_j\right) \\
& =\sum_{i=1}^n x_i f\left(\varepsilon_i, \sum_{j=1}^n y_j \varepsilon_j\right) \\
& =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i y_j f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)
\end{aligned}
$$

由此可见，$f(\alpha, \beta)$ 由它在一组基处的函数值唯一确定．显然，现在有类似于线性变换的两条结论。

**命题1．1** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间．在 $V$ 内取定一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ．则有
（i）$V$ 上一个双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ 由它在此组基处的函数值 $f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)(i, j=1,2, \cdots, n)$ 唯一确定．换句话说，如果有一个双线性函数 $g(\alpha, \beta)$ 满足 $g\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)$ ，则 $g(\alpha, \beta) \equiv f(\alpha, \beta)$ 。
（ii）任给数域 $K$ 上一个 $n$ 阶方阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]\left(a_{i j} \in K\right),
$$

必存在 $V$ 上唯一的一个双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ ，使

$$
f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=a_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n) .
$$

证（i）已在前面证明．现证结论（ii）．在 $V$ 内定义二元函数如下：若

$$
\begin{aligned}
& \alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X, \\
& \beta=y_1 \varepsilon_1+y_2 \varepsilon_2+\cdots+y_n \varepsilon_n=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) Y,
\end{aligned}
$$

则令

$$
f(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i y_j=X^{\prime} A Y .
$$

若

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2=k_1\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X_1+k_2\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X_2
$$

$$
=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left(k_1 X_1+k_2 X_2\right),
$$

则

$$
\begin{gathered}
f\left(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2, \beta\right)=\left(k_1 X_1+k_2 X_2\right)^{\prime} A Y \\
=k_1 X_1^{\prime} A Y+k_2 X_2^{\prime} A Y \\
=k_1 f\left(\alpha_1, \beta\right)+k_2 f\left(\alpha_2, \beta\right)
\end{gathered}
$$

类似地，有

$$
f\left(\alpha, l_1 \beta_1+l_2 \beta_2\right)=l_1 f\left(\alpha, \beta_1\right)+l_2 f\left(\alpha, \beta_2\right) .
$$

故 $f(\alpha, \beta)$ 为 $V$ 内双线性函数．又因

$$
\varepsilon_i=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right] i, \quad \varepsilon_j=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right] j,
$$

代入 $f(\alpha, \beta)$ 的定义式，立知

$$
f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=a_{i j} .
$$

我们称

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right) & f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2\right) & \cdots & f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_n\right) \\
f\left(\varepsilon_2, \varepsilon_1\right) & f\left(\varepsilon_2, \varepsilon_2\right) & \cdots & f\left(\varepsilon_2, \varepsilon_n\right) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
f\left(\varepsilon_n, \varepsilon_1\right) & f\left(\varepsilon_n, \varepsilon_2\right) & \cdots & f\left(\varepsilon_n, \varepsilon_n\right)
\end{array}\right]
$$

为双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的**矩阵**．这样，$V$ 上每个双线性函数对应于数域 $K$ 上的一个 $n$ 阶方阵。根据命题1．1中（i）与 （ii），这个对应是 $V$ 上全体双线性函数所成的集合和 $M_n(K)$ 之间的一个一一对应．

设 $f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=a_{i j}$ ，于是 $f(\alpha, \beta)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵 $A= \left(a_{i j}\right)$ ．利用矩阵乘法，双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ 可表作

$$
f(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right) x_i y_j=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i y_j
$$

$$
=\left(\begin{array}{llll}
x_1 & x_2 & \cdots & x_n
\end{array}\right) A\left[\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right] \text {. }
$$

如令

$$
X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right], \quad Y=\left[\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right],
$$

则

$$
f(\alpha, \beta)=X^{\prime} A Y
$$

反过来，如果一个双线性函数被表示成上述矩阵乘积的形式，那么，只要计算一下 $f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)$ 就可以知道 $A$ 就是 $f(\alpha, \beta)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots$ ， $\varepsilon_n$ 下的矩阵．

**推论** 设 $A, B$ 是数域 $K$ 上的两个 $n$ 阶方阵。如果对 $K$ 上任意 $n \times 1$ 矩阵 $X, Y$ ，都有 $X^{\prime} A Y=X^{\prime} B Y$ ，则有 $A=B$ 。

证 按命题1．1中（ii）的证明可知：有 $V$ 内双线性函数 $f(\alpha, \beta) =X^{\prime} A Y$ 及 $g(\alpha, \beta)=X^{\prime} B Y$ ．现在 $f(\alpha, \beta) \equiv g(\alpha, \beta)$ ，而 $A, B$ 分别为 $f, g$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵，故 $A=B$ ．

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