最后更新: 2025-10-19 21:06 查看: 23 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

双线性函数与二次型

## 第五章 双线性函数与二次型

> 如果你非数学系专业，建议阅读 [线性代数 二次型](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=500)

上一章我们已经学习了线性空间的基础知识。为了把我们的研讨深入下去，停留在上一章的知识上是远远不够的．我们关于线性空间的理论还需要做进一步的发展。究竟应当怎样发展线性空间的理论呢？这应当从分析现实的感性认识入手，从中得到启示。我们熟悉的三维几何空间，是线性空间的一个重要例子。如果分析一下三维几何空间，我们就会发现它还具有一般线性空间不具备的重要性质：三维几何空间中向量有长度和夹角，这称为三维几何空间的度量性质．这种性质现在一般线性空间还没有．一个自然的问题是：能不能在一般线性空间中也来引进度量性质呢？如果能，又应当怎样来引进这样的性质呢？这又要从分析三维几何空间的度量性质来得到启示．我们知道三维几何空间向量的长度和夹角可由向量的点乘 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 来决定，向量点乘是定义在三维几何空间中的两个变元（以向量为变元）的函数。而且如第三章 § 1中指出的，点乘具有对称性： $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}= \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$ 及双线性，即当固定一个变元时，对另一个变元具有＂线性＂的性质．例如固定 $\boldsymbol{b}$ ，则
$$
\left(k_1 a_1+k_2 a_2\right) \cdot b=k_1 a_1 \cdot b+k_2 a_2 \cdot b
$$

如固定 $\boldsymbol{a}$ ，对第二变元 $\boldsymbol{b}$ 也有相似的性质。这些分析告诉我们，应当在数域 $K$ 上的线性空间中来研究类似的二元函数，在研究清楚这类二元函数之后，就可以它为立足点在一般线性空间中引入度量的有关概念了．这就是本章的中心内容．

##  1 双线性函数

我们的研究，首先就从上面的简单分析入手，来研究定义在数域 $K$ 上线性空间中的一类特殊二元函数．

**1．线性与双线性函数**
**定义** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间。如果对 $V$ 中任一向量 $\alpha$ ，都按某个给定的法则 $f$ 对应于 $K$ 内一个唯一确定的数，记做 $f(\alpha)$ ，而且满足如下条件：
（i）$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta) \quad(\forall \alpha, \beta \in V)$ ；
（ii）$f(k \alpha)=k f(\alpha) \quad(\forall \alpha \in V, k \in K)$ ，则称 $f$ 为 $V$ 内一个**线性函数**．

如果把 $K$ 看做它自身上的线性空间（加法，数乘都是 $K$ 内数的加法和乘法），则 $f$ 就是 $K$ 上线性空间 $V$ 到 $K$ 上线性空间 $K$ 的一个线性映射，即 $f \in \operatorname{Hom}(V, K)$ ．因此，第四章关于线性映射的基本知识对 $V$ 上的线性函数也适用。特别是它具有下面三条基本性质：

1）$f(0)=0$ ；
2）$f(-\alpha)=-f(\alpha)$ ；
3）$f\left(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s\right)=k_1 f\left(\alpha_1\right)+k_2 f\left(\alpha_2\right)+\cdots+k_s f\left(\alpha_s\right)$ ．
$V$ 上线性函数在本教程的最后一章将从更一般的角度来做深入的讨论，这里仅介绍它的定义及最基本的性质。下面我们以线性函数的概念为基础，来引进本章的核心概念．

**定义** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间．如果 $V$ 中任意一对有序向量 $(\alpha, \beta)$ 都按照某一法则 $f$ 对应于 $K$ 内唯一确定的一个数，记做 $f(\alpha, \beta)$ ，且
（i）对任意 $k_1, k_2 \in K, \alpha_1, \alpha_2, \beta \in V$ ，有

$$
f\left(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2, \beta\right)=k_1 f\left(\alpha_1, \beta\right)+k_2 f\left(\alpha_2, \beta\right) ;
$$

（ii）对任意 $l_1, l_2 \in K, \alpha, \beta_1, \beta_2 \in V$ ，有

$$
f\left(\alpha, l_1 \beta_1+l_2 \beta_2\right)=l_1 f\left(\alpha, \beta_1\right)+l_2 f\left(\alpha, \beta_2\right),
$$

则称 $f(\alpha, \beta)$ 是 $V$ 上的一个**双线性函数**．
根据这个定义

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：没有了

下一篇：双线性函数在不同基下的矩阵

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)