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欧几里得空间的定义

第六章 带度量的线性空间

本章的内容，是利用第五章关于对称双线性函数和二次型的理论，在实数域和复数域上的线性空间中引进度量，使线性空间的理论得以发展提高。与之相应地，是深入讨论这类线性空间中与度量性质密切联系的一些特殊类型的线性变换，从而使线性变换理论也得以前进一步。
§ 1 欧几里得空间的定义和基本性质

## 1．欧几里得空间的定义
**定义** 设 $V$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间．如果 $V$ 内任意两个向量 $\alpha, \beta$ 都按某一法则对应于 $\mathbb{R}$ 内一个唯一确定的数，记做 $(\alpha, \beta)$ ，且满足：
（i）对任意 $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$ 和任意 $\alpha_1, \alpha_2, \beta \in V$ ，有

$$
\left(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2, \beta\right),=k_1\left(\alpha_1, \beta\right)+k_2\left(\alpha_2, \beta\right) ;
$$

（ii）对任意 $\alpha, \beta \in V$ ，有
$$
(\alpha, \beta)=(\beta, \alpha)
$$

（iii）对任意 $\alpha \in V$ ，有 $(\alpha, \alpha) \geqslant 0$ ，且 $(\alpha, \alpha)=0$ 的充分必要条件是 $\alpha=0$ ，则称 $(\alpha, \beta)$ 为向量 $\alpha, \beta$ 的内积．定义了这种内积的实数域上线性空间称为**欧几里得空间**，简称**欧氏空间**．

从性质（i）和（ii）可知，对任意 $l_1, l_2 \in \mathbb{R}$ 和任意 $\alpha, \beta_1, \beta_2 \in V$ ，有

$$
\begin{aligned}
\left(\alpha, l_1 \beta_1+l_2 \beta_2\right) & =\left(l_1 \beta_1+l_2 \beta_2, \alpha\right) \\
& =l_1\left(\beta_1, \alpha\right)+l_2\left(\beta_2, \alpha\right) \\
& =l_1\left(\alpha, \beta_1\right)+l_2\left(\alpha, \beta_2\right) .
\end{aligned}
$$

把这性质和（i），（ii）结合起来就可以看出，$(\alpha, \beta)$ 实际上是 $V$ 内一个
对称双线性函数．如果 $V$ 是有限维的线性空间，那么性质（iii）表明 $(\alpha, \alpha)$ 是一个正定二次型函数，即 $(\alpha, \beta)$ 在 $V$ 的任一组基下的矩阵都是正定矩阵．反过来，如果在 $V$ 内给定一个对称双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ ，且 $f(\alpha, \alpha)$ 是一个正定二次型函数，则只要把 $V$ 内两个向量的内积定义为

$$
(\alpha, \beta)=f(\alpha, \beta)
$$

那么，$V$ 关于这个内积成一欧氏空间．由此可知： $\mathbb{R}$ 上有限维欧氏空间的内积概念和正定二次型概念之间有密切的关系．

如果把三维几何空间（是 $\mathbb{R}$ 上三维线性空间）中向量的点乘定义为其内积，即定义 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ，则三维几何空间即是欧氏空间。现在对一般欧氏空间我们可以利用内积来给出向量的长度和夹角的概念，所用的办法与三维几何空间中用向量点乘定义其向量的长度、夹角的办法相同。

### I．向量的长度
对任意 $\alpha \in V$ ，定义

$$
|\alpha|=\sqrt{(\alpha, \alpha)},
$$

称为 $\alpha$ 的长度或模．从内积的性质（iii）可知，$|\alpha|=0$ 的充分必要条件是 $\alpha=0 .|\alpha|=1$ 时，称 $\alpha$ 为**单位向量**．
对任一 $k \in \mathbb{R}$ ，有

$$
|k \alpha|=\sqrt{(k \alpha, k \alpha)}=|k| \cdot|\alpha| .
$$

由此知，当 $\alpha \neq 0$ 时，$\left|\frac{1}{|\alpha|} \alpha\right|=\frac{1}{|\alpha|} \cdot|\alpha|=1$ ，即 $\frac{1}{|\alpha|} \alpha$ 为一单位向量，我们称它为 $\alpha$ 的**单位化**．

### II．向量的夹角
为了定义一般欧氏空间 $V$ 内向量夹角的概念，我们需要如下的命题：

**命题1．1** 对欧氏空间 $V$ 内任意两个向量 $\alpha, \beta$ ，有

等号成立的充分必要条件是：$\alpha, \beta$ 线性相关．
证 当 $\alpha=0$ 时，命题显然正确．现设 $\alpha \neq 0$ ．令 $\gamma=t \alpha+\beta$ ，则

$$
\begin{aligned}
0 \leqslant(\gamma, \gamma) & =(t \alpha+\beta, t \alpha+\beta) \\
& =(\alpha, \alpha) t^2+2(\alpha, \beta) t+(\beta, \beta)
\end{aligned}
$$

上式右端是 $t$ 的二次多项式，其值恒 $\geqslant 0$ ，故它没有相异的实根（否则，因 $t^2$ 项系数 $(\alpha, \alpha)>0$ ，它在两实根之间函数值为负）。因而，其判别式

$$
[2(\alpha, \beta)]^2-4(\alpha, \alpha)(\beta, \beta) \leqslant 0
$$

故

显然等号成立（即判别式等于零）的充分必要条件是：上述二次多项式有实根（二重根）$t=k$ ．这等价于

$$
(k \alpha+\beta, k \alpha+\beta)=0 .
$$

由内积的性质（iii）知，后者等价于 $k \alpha+\beta=0$ ，即 $\alpha, \beta$ 线性相关。
命题1．1称为**柯西－布尼雅可夫斯基**（Cauchy－Буняковский）不等式。

现在可以给出欧氏空间 $V$ 内向量夹角的定义．对 $V$ 内任意两个非零向量 $\alpha, \beta$ ，由命题1．1，$\left|\frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha| \cdot|\beta|}\right| \leqslant 1$ ，所以可以定义

$$
\langle\alpha, \beta\rangle=\arccos \frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha| \cdot|\beta|},
$$
称之为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的**夹角**．注意这样定义的两向量的夹角总介于 0 与 $\pi$之间．零向量与其他向量的夹角认为是不确定的．

如果 $(\alpha, \beta)=0$ ，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ **正交**，记做 $\alpha \perp \beta$ 。当 $\alpha \neq 0, \beta \neq 0$ 时，这与 $\langle\alpha, \beta\rangle=\frac{\pi}{2}$ 等价．显然，**零向量与任意向量正交**．

下面举几个例子。

`例`考虑实数域上 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ ，对

$$
\alpha=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right), \quad \beta=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right),
$$

定义

$$
(\alpha, \beta)=a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n .
$$

显然，二元函数 $(\alpha, \beta)$ 满足内积定义中的条件（i）$\sim$（iii），于是 $\mathbb{R}^n$ 关于这个内积成一欧氏空间。我们约定：今后凡称 $\mathbb{R}^n$ 为欧氏空间时，其内积都是按上述法则定义的（除了有特别声明的情况而外）．

我们知道 $\mathbb{R}^n$ 有一组基

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_1=(1,0, \cdots, 0), \\
& \varepsilon_2=(0,1, \cdots, 0), \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \varepsilon_n=(0,0, \cdots, 1) .
\end{aligned}
$$

显然有 $\left|\varepsilon_i\right|=1(i=1,2, \cdots, n)$ ，即 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 都是单位向量。另一方面，不难算出 $\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=0(i \neq j)$ ．故这 $n$ 个向量两两正交．上面两条性质可简记为

$$
\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=\delta_{i j}
$$

在欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 内，向量的长度和夹角可分别用公式表示如下：

$$
\begin{gathered}
|\alpha|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2} \\
\langle\alpha, \beta\rangle=\arccos \frac{a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2}}
\end{gathered}
$$

而柯西－布尼雅可夫斯基不等式可具体写成

$$
\begin{aligned}
& \left|a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n\right| \\
& \quad \leqslant \sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2}
\end{aligned}
$$

`例`考虑闭区间 $[a, b]$ 上全体实连续函数所组成的实数域上线性空间 $C[a, b]$ ．对任意 $f, g \in C[a, b]$ ，定义

$$
(f, g)=\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x .
$$

二元函数 $(f, g)$ 显然满足内积定义中的条件（i）与（ii）．另一方面，显然有 $(f, f) \geqslant 0$ ．而当

$$
(f, f)=\int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x=0
$$

时，由定积分的知识知，在 $[a, b]$ 内 $f(x) \equiv 0$ ．即 $f(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上的零函数，从而是 $C[a, b]$ 中的零向量．因而内积的三个条件均满足．于是 $C[a, b]$ 关于这个内积成一欧氏空间．在这欧氏空间内，柯西－布尼雅可夫斯基不等式可具体写成

$$
\left|\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \sqrt{\int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x} \cdot \sqrt{\int_a^b g^2(x) \mathrm{d} x} .
$$

`例` 考查 $\mathbb{R}[x]_n$ ．用两种方式在这个线性空间内定义内积：
（i）对任意 $f, g \in \mathbb{R}[x]_n$ ，定义

$$
(f, g)=\int_0^1 f(t) g(t) \mathrm{d} t
$$

内积条件（i），（ii）显然满足，且 $(f, f) \geqslant 0$ ．当

$$
(f, f)=\int_0^1 f^2(t) \mathrm{d} t=0
$$

时，在 $[0,1]$ 内 $f(x) \equiv 0 . f(x)$ 不恒等于零时其次数 $<n$ ，最多有 $n-1$个根，故必定在 $(-\infty, \infty)$ 内 $f(x) \equiv 0$ 。于是 $\mathbb{R}[x]_n$ 关于上述内积成一欧氏空间。
（ii）对任意 $f, g \in \mathbb{R}[x]_n$ ，定义

$$
(f, g)=\sum_{k=1}^n f(k) g(k) \text {. }
$$

二元函数 $(f, g)$ 显然满足内积条件（i）与（ii），且 $(f, f) \geqslant 0$ ．而当

$$
(f, f)=\sum_{k=1}^n f^2(k)=0
$$

时，有 $f(1)=f(2)=\cdots=f(n)=0$ ．即 $f(x)$ 有 $n$ 个不同实根，而 $f(x)$不为零多项式时，其次数 $\leqslant n-1$ ，矛盾。故 $f(x) \equiv 0$ 。于是 $\mathbb{R}[x]_n$ 关于这个新内积也成为一个欧氏空间。

**对于实数域上的同一个线性空间 $V$ ，当我们用不同的方法来定义它的内积时，所得的欧氏空间认为是互不相同的．**

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