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有限维的欧氏空间

## 有限维的欧氏空间
设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，而

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n
$$

是它的一组基．令

$$
G=\left[\begin{array}{cccc}
\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right) & \left(\varepsilon_1, \varepsilon_2\right) & \cdots & \left(\varepsilon_1, \varepsilon_n\right) \\
\left(\varepsilon_2, \varepsilon_1\right) & \left(\varepsilon_2, \varepsilon_2\right) & \cdots & \left(\varepsilon_2, \varepsilon_n\right) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\left(\varepsilon_n, \varepsilon_1\right) & \left(\varepsilon_n, \varepsilon_2\right) & \cdots & \left(\varepsilon_n, \varepsilon_n\right)
\end{array}\right] \text {, }
$$

称 $G$ 为内积 $(\alpha, \beta)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的**度量矩阵**，它实际上就是对称双线性函数 $(\alpha, \beta)$ 在这组基下的矩阵．因此，它必定是一个实对称矩阵．而且有
1）根据内积的条件（iii），$(\alpha, \beta)$ 在任一组基下的度量矩阵都是正定矩阵；

2 ）如果（ $\alpha, \beta$ ）在另一组基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 下的度量矩阵为 $\bar{G}= \left(\left(\eta_i, \eta_j\right)\right)$ ，而

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T,
$$

则 $\bar{G}=T^{\prime} G T$ ，即内积在不同基下的度量矩阵互相合同；
3）内积可用其度量矩阵

$$
G=\left(g_{i j}\right), \quad g_{i j}=\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right) \quad(i, j=1,2, \cdots, n)
$$

表达如下：

$$
(\alpha, \beta)=X^{\prime} G Y=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n g_{i j} x_i y_j,
$$

其中

$$
\begin{aligned}
& \alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n, \\
& \beta=y_1 \varepsilon_1+y_2 \varepsilon_2+\cdots+y_n \varepsilon_n .
\end{aligned}
$$

上面三条都是把第五章中关于双线性函数所获得的一般结论应用于内积 $(\alpha, \beta)$ 这一特殊的双线性函数而得到的．

现在我们给出有限维欧氏空间 $V$ 中的类似于三维几何空间中的直角坐标系的一个重要概念．我们先证一个命题．

**命题1．2** 设欧氏空间 $V$ 内 $s$ 个非零向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 两两正交，则它们线性无关。

证 若

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0
$$

两边用 $\alpha_i(i=1,2, \cdots, s)$ 作内积，有

$$
k_1\left(\alpha_1, \alpha_i\right)+k_2\left(\alpha_2, \alpha_i\right)+\cdots+k_s\left(\alpha_s, \alpha_i\right)=k_i\left(\alpha_i, \alpha_i\right)=0 .
$$

因 $\alpha_i \neq 0$ ，故 $\left(\alpha_i, \alpha_i\right) \neq 0$ ，即有 $k_i=0$ ．这表明 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关．

**定义** $n$ 维欧氏空间 $V$ 中 $n$ 个两两正交的单位向量

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n
$$

称为 $V$ 的一组**标准正交基**．

由命题1．2知，标准正交基是 $V$ 的一组基．显然，$V$ 内 $n$ 个向量
$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是一组标准正交基，等价于

$$
\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=\delta_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),
$$

即等价于内积 $(\alpha, \beta)$ 在这组基下的度量矩阵是单位矩阵 $E$ ．
上面例1．1中已给出 $\mathbb{R}^n$ 中的一组标准正交基。

### 有关标准正交基的几个问题

**I．标准正交基的存在性**
设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，在 $V$ 内任取一组基

$$
\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n,
$$

已知内积在这组基下的度量矩阵 $G$ 是一个正定矩阵。由第五章命题 4.1 知，$G$ 合同于单位矩阵，即有实可逆矩阵 $T$ ，使 $T^{\prime} G T=E$ ．令

$$
\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)=\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right) T,
$$

则 $(\alpha, \beta)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的度量矩阵为 $E$ ，从而 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是 $V$的一组标准正交基。这证明任一有限维欧氏空间都存在标准正交基。

**II．两组标准正交基间的过渡矩阵**
**定义** 设 $\mathbb{R}$ 上一个 $n$ 阶方阵 $T$ 满足

$$
T^{\prime} T=E,
$$

亦即 $T^{\prime}=T^{-1}$ ，则称 $T$ 为**正交矩阵**．

显然，定义中的 $T^{\prime} T=E$ 也可换成 $T T^{\prime}=E$ ．
例如二维几何平面上两个直角坐标系的坐标变换矩阵

$$
T=\left[\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]
$$

就满足 $T^{\prime} T=E$ ，所以这是一个二阶正交矩阵。对一般有限维欧氏空间，我们有与此相应的结论。

**命题1．3** 在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 内给定一组标准正交基

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n,
$$

令

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T
$$

则 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是一组标准正交基的充分必要条件是：$T$ 是一个正交矩阵。

证 必要性 若 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 与 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 都是标准正交基，则

$(\alpha, \beta)$ 在这两组基下的度量矩阵都是 $E$ ，而且它们合同：$T^{\prime} E T=E$ ，即 $T^{\prime} T=E$ ，于是 $T^{\prime}=T^{-1}$ ，即 $T$ 为正交矩阵。

充分性 若 $T$ 是正交矩阵，则 $T$ 可逆，于是 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 也是 $V$的一组基。 $(\alpha, \beta)$ 在这组基下的矩阵 $G$ 与它在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的度量矩阵 $E$ 合同：$G=T^{\prime} E T=T^{\prime} T=E$ 。故 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是 $V$ 的一组标准正交基。

命题1．3给出了正交矩阵的一个等价定义：正交矩阵就是标准正交基之间的过渡矩阵．下面再给出一个等价表述．设

$$
T=\left[\begin{array}{cccc}
t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1 n} \\
t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_{n 1} & t_{n 2} & \cdots & t_{n n}
\end{array}\right] \text {, }
$$

把 $T$ 的行向量组

$$
\alpha_i=\left(t_{i 1}, t_{i 2}, \cdots, t_{i n}\right) \quad(i=1,2, \cdots, n)
$$

看做欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的向量组，按 $\mathbb{R}^n$ 中内积的定义（对应坐标相乘后连加），$T T^{\prime}=E$ 用矩阵 $T$ 的元素具体写出来是

$$
t_{i 1} t_{j 1}+t_{i 2} t_{j 2}+\cdots+t_{i n} t_{j n}=\delta_{i j},
$$
它等价于 $\left(\alpha_i, \alpha_j\right)=\delta_{i j}$ ，于是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 内一组标准正交基．如把 $T$ 的列向量组写出：

$$
\beta_i=\left[\begin{array}{c}
t_{1 i} \\
t_{2 i} \\
\vdots \\
t_{n i}
\end{array}\right] \quad(i=1,2, \cdots, n)
$$

把它们也看做 $\mathbb{R}^n$ 中向量组，则 $T^{\prime} T=E$ 等价于

$$
\left(\beta_i, \beta_j\right)=t_{1 i} t_{1 j}+t_{2 i} t_{2 j}+\cdots+t_{n i} t_{n j}=\delta_{i j},
$$

即 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 也是 $\mathbb{R}^n$ 中的一组标准正交基．把上面的讨论综合起来，得如下命题：

**命题1．4** 实数域上的 $n$ 阶方阵 $T$ 是正交矩阵的充分必要条件是下面各条件之一成立：（i）$T^{\prime}=T^{-1}$ ；（ii）$T^{\prime} T=E$ ；（iii）$T T^{\prime}=E$ ；
（iv）$T$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 内两组标准正交基间的过渡矩阵；（v）$T$的行向量组为欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基；（vi）$T$ 的列向量组为欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基。

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