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施密特（Schmidt）正交化

## 标准正交基的求法

> **本文是《高等代数》版，建议查看《线性代数》版 [《施密特正交化》](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=493)**

下面我们介绍具体寻求欧氏空间 $V$ 的标准正交基的办法，这个方法通常称为施密特（Schmidt）正交化方法。

我们把问题提的更一般一些：给定 $V$ 中一个线性无关的向量组

$$
\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s .
$$

要求作出一个新向量组

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_s,
$$

满足如下两个条件：
（i）$L\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_i\right)=L\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_i\right)(i=1,2, \cdots, s)$ ；
（ii）$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_s$ 两两正交．
向量组（II）可用如下办法给出

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_1=\alpha_1, \\
& \varepsilon_2=\alpha_2-\frac{\left(\alpha_2, \varepsilon_1\right)}{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)} \varepsilon_1 \\
& \varepsilon_3=\alpha_3-\frac{\left(\alpha_3, \varepsilon_1\right)}{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)} \varepsilon_1-\frac{\left(\alpha_3, \varepsilon_2\right)}{\left(\varepsilon_2, \varepsilon_2\right)} \varepsilon_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& \varepsilon_{i+1}=\alpha_{i+1}-\frac{\left(\alpha_{i+1}, \varepsilon_1\right)}{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)} \varepsilon_1-\frac{\left(\alpha_{i+1}, \varepsilon_2\right)}{\left(\varepsilon_2, \varepsilon_2\right)} \varepsilon_2-\ldots-\frac{\left(\alpha_{i+1}, \varepsilon_i\right)}{\left(\varepsilon_i, \varepsilon_i\right)} \varepsilon_i \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& \varepsilon_s=\alpha_s-\frac{\left(\alpha_s, \varepsilon_1\right)}{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)} \varepsilon_1-\frac{\left(\alpha_s, \varepsilon_2\right)}{\left(\varepsilon_2, \varepsilon_2\right)} \varepsilon_2-\ldots-\frac{\left(\alpha_s, \varepsilon_{s-1}\right)}{\left(\varepsilon_{s-1}, \varepsilon_{s-1}\right)} \varepsilon_{s-1} .
\end{aligned}
$$

不难看出，上面构造出来的向量组 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_s$ 具有所要求的条件：
（i）把上述等式右方带负号的项移到左端，即可看出向量组（I）的前 $i$ 个向量 $\alpha_1, \cdots, \alpha_i$ 可由向量组（II）的前 $i$ 个向量 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_i$ 线性表示．反过来，因为 $\varepsilon_1=\alpha_1$ ，而

$$
\varepsilon_2=\alpha_2-\frac{\left(\alpha_2, \varepsilon_1\right)}{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)} \varepsilon_1=\alpha_2-\frac{\left(\alpha_2, \varepsilon_1\right)}{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)} \alpha_1,
$$

由此递推不难看出 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_i$ 可由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_i$ 线性表示，于是两个向量组等价，即

$$
L\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_i\right)=L\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_i\right) \quad(i=1,2, \cdots, s) .
$$

因为 $\alpha_1, \cdots, \alpha_i$ 线性无关，从上式可知，$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_i$ 也线性无关，因而其中不会出现零向量，故 $\left(\varepsilon_i, \varepsilon_i\right) \neq 0$ ．在上面的各公式中用 $\left(\varepsilon_i, \varepsilon_i\right)$ 作分母是有意义的．
（ii）显然有

$$
\left(\varepsilon_2, \varepsilon_1\right)=\left(\alpha_2, \varepsilon_1\right)-\frac{\left(\alpha_2, \varepsilon_1\right)}{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)}\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)=0
$$

假设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_i$ 两两正交，则对 $1 \leqslant k \leqslant i$ ，有

$$
\left(\varepsilon_{i+1}, \varepsilon_k\right)=\left(\alpha_{i+1}, \varepsilon_k\right)-\frac{\left(\alpha_{i+1}, \varepsilon_k\right)}{\left(\varepsilon_k, \varepsilon_k\right)}\left(\varepsilon_k, \varepsilon_k\right)=0,
$$

故 $\varepsilon_{i+1}$ 与每个 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_i$ 正交，从而 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_s$ 两两正交．
如果在 $V$ 中任取一组基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，利用施密特正交化方法求得与之等价的向量组 $\varepsilon_1^{\prime}, \varepsilon_2^{\prime}, \cdots, \varepsilon_n^{\prime}$ ，这是 $V$ 的一组基，两两正交．只要把每个向量 $\varepsilon_i^{\prime}$ 单位化之后，即得 $V$ 的一组标准正交基．

`例` 在欧氏空间 $\mathbb{R}^4$ 中取定一组基

$$
\begin{array}{ll}
\alpha_1=(1,1,0,0) ; & \alpha_2=(1,0,1,0) ; \\
\alpha_3=(-1,0,0,1) ; & \alpha_4=(1,-1,-1,1) .
\end{array}
$$

把它们正交化：

$$
\begin{aligned}
\varepsilon_1^{\prime} & =\alpha_1=(1,1,0,0) \\
\varepsilon_2^{\prime} & =\alpha_2-\frac{\left(\alpha_2, \varepsilon_1^{\prime}\right)}{\left(\varepsilon_1^{\prime}, \varepsilon_1^{\prime}\right)} \varepsilon_1^{\prime}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, 1,0\right) \\
\varepsilon_3^{\prime} & =\alpha_3-\frac{\left(\alpha_3, \varepsilon_1^{\prime}\right)}{\left(\varepsilon_1^{\prime}, \varepsilon_1^{\prime}\right)} \varepsilon_1^{\prime}-\frac{\left(\alpha_3, \varepsilon_2^{\prime}\right)}{\left(\varepsilon_2^{\prime}, \varepsilon_2^{\prime}\right)} \varepsilon_2^{\prime}=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1\right), \\
\varepsilon_4^{\prime} & =\alpha_4-\frac{\left(\alpha_4, \varepsilon_1^{\prime}\right)}{\left(\varepsilon_1^{\prime}, \varepsilon_1^{\prime}\right)} \varepsilon_1^{\prime}-\frac{\left(\alpha_4, \varepsilon_2^{\prime}\right)}{\left(\varepsilon_2^{\prime}, \varepsilon_2^{\prime}\right)} \varepsilon_2^{\prime}-\frac{\left(\alpha_4, \varepsilon_3^{\prime}\right)}{\left(\varepsilon_3^{\prime}, \varepsilon_3^{\prime}\right)} \varepsilon_3^{\prime} \\
& =(1,-1,-1,1) .
\end{aligned}
$$

再把每个向量单位化，得

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_1=\frac{1}{\left|\varepsilon_1^{\prime}\right|} \varepsilon_1^{\prime}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0,0\right), \\
& \varepsilon_2=\frac{1}{\left|\varepsilon_2^{\prime}\right|} \varepsilon_2^{\prime}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, 0\right), \\
& \varepsilon_3=\frac{1}{\left|\varepsilon_3^{\prime}\right|} \varepsilon_3^{\prime}=\left(-\frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{3}{\sqrt{12}}\right), \\
& \varepsilon_4=\frac{1}{\left|\varepsilon_4^{\prime}\right|} \varepsilon_4^{\prime}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) .
\end{aligned}
$$

这就得到 $\mathbb{R}^4$ 内的一组标准正交基．如以它们为列向量（或行向量）排成一个四阶方阵

$$
T=\left[\begin{array}{cccr}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{12}} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & \frac{3}{\sqrt{12}} & \frac{1}{2}
\end{array}\right]
$$

那么，按命题1．4，这是一个正交矩阵，$T^{\prime} T=T T^{\prime}=E$ ．

`例` 在 $\mathbb{R}[x]_4$ 内定义内积

$$
(f, g)=\int_0^1 f(t) g(t) \mathrm{d} t,
$$

使之成一欧氏空间．给定线性无关向量组

$$
1, x, x^2,
$$

把它正交化：

$$
\begin{aligned}
\varepsilon_1^{\prime} & =1 \\
\varepsilon_2^{\prime} & =x-\frac{\left(x, \varepsilon_1^{\prime}\right)}{\left(\varepsilon_1^{\prime}, \varepsilon_1^{\prime}\right)} \varepsilon_1^{\prime}=x-\frac{1}{2} \\
\varepsilon_3^{\prime} & =x^2-\frac{\left(x^2, \varepsilon_1^{\prime}\right)}{\left(\varepsilon_1^{\prime}, \varepsilon_1^{\prime}\right)} \varepsilon_1^{\prime}-\frac{\left(x^2, \varepsilon_2^{\prime}\right)}{\left(\varepsilon_2^{\prime}, \varepsilon_2^{\prime}\right)} \varepsilon_2^{\prime} \\
& =x^2-x+\frac{1}{6}
\end{aligned}
$$

于是得到 $\mathbb{R}[x]_4$ 中与之等价的两两正交向量组
$$
1, x-\frac{1}{2}, x^2-x+\frac{1}{6} .
$$

应当指出，如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 已经两两正交，那么按上述正交化方法把它正交化的结果是得到同一个向量组，因为

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_1=\alpha_1 \\
& \varepsilon_2=\alpha_2-\frac{\left(\alpha_2, \varepsilon_1\right)}{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)} \varepsilon_1=\alpha_2
\end{aligned}
$$

**IV．在标准正交基下内积的计算公式**
设 $V$ 中取定一组标准正交基

$$
\begin{gathered}
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \\
\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=\delta_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n) .
\end{gathered}
$$

命

$$
\begin{aligned}
& \alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n \\
& \beta=y_1 \varepsilon_1+y_2 \varepsilon_2+\cdots+y_n \varepsilon_n
\end{aligned}
$$

则有

$$
(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right) x_i y_j=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \delta_{i j} x_i y_j
$$

$$
=x_1 y_1+x_2 y_2+\cdots+x_n y_n .
$$

因此，在标准正交基下内积恰好等于两个向量的对应坐标相乘再相加。这与三维几何空间中向量内积（点乘）在直角坐标系下的计算公式相符。

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