最后更新: 2025-10-20 06:03 查看: 49 次纠错评论(0) 课件开VIP

正交补与同构

## 正交补
设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$M$ 是它的一个子空间，易知 $M$ 关于 $V$ 的内积也成一欧氏空间．定义 $V$ 的一个子集

$$
M^{\perp}=\{\alpha \in V \mid \text { 对一切 } \beta \in M \text { 有 }(\alpha, \beta)=0\} \text {, }
$$

称 $M^{\perp}$ 为 $M$ 的**正交补**。显然，$M^{\perp}$ 关于 $V$ 中向量的加法以及数乘运算是封闭的，故 $M^{\perp}$ 也是 $V$ 的子空间。

**命题1．5** 设 $M$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个子空间，则 $V$ 可分解为 $M$ 与 $M^{\perp}$ 的直和

$$
V=M \oplus M^{\perp}
$$

证 设 $\alpha \in M \cap M^{\perp}$ ，由正交补的定义，有 $(\alpha, \alpha)=0$ 。所以 $\alpha=0$ 。这说明 $M \cap M^{\perp}=\{0\}$ ，即 $M+M^{\perp}$ 是直和。取 $M$ 的一组标准正交基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r$ ，先把它扩充为 $V$ 的一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r, \alpha_{r+1}, \cdots, \alpha_n$ ，再运用施密特正交化方法把它正交化再单位化，得出 $V$ 的一组标准正交基，因 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r$ 为两两正交的单位向量，保持不动，故所得 $V$ 的标准正交基为 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r, \varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_n$ ．显然 $\varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_n$ 均与 $M$ 中所有向量正交（因为它们与 $M$ 的一组基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r$ 正交），故 $\varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_n \in M^{\perp}$ 。于是

$$
V=L\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r\right)+L\left(\varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_n\right) \subseteq M+M^{\perp} \subseteq V,
$$

由此得 $V=M+M^{\perp}$ ，亦即 $V=M \oplus M^{\perp}$ 。

**推论** $n$ 维欧氏空间 $V$ 中任一两两正交单位向量组

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_s
$$

都可扩充成 $V$ 的一组标准正交基．
证 命 $M=L\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_s\right)$ ，则 $V=M \oplus M^{\perp}$ 。再在 $M^{\perp}$ 内取一组标准正交基 $\varepsilon_{s+1}, \cdots, \varepsilon_n$ ，则

$$
\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_s, \varepsilon_{s+1}, \cdots, \varepsilon_n
$$

是 $V$ 内一个两两正交的单位向量组，即为 $V$ 的一组标准正交基．

最后，我们简单介绍一下欧氏空间的同构概念．

## 同构
**定义** 设 $V_1, V_2$ 是两个欧氏空间．如果存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个映射 $\sigma$ ，满足如下条件：
（i）$\sigma$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的线性空间同构映射（即 $\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha) +\sigma(\beta), \sigma(k \alpha)=k \sigma(\alpha)$ ，且 $\sigma$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的一一对应）；
（ii）$\sigma$ 保持内积关系，即对任意 $\alpha, \beta \in V_1$ ，有

$$
(\sigma(\alpha), \sigma(\beta))=(\alpha, \beta),
$$

则称 $\sigma$ 为欧氏空间 $V_1$ 到欧氏空间 $V_2$ 的**同构映射**．此时称 $V_1$ 与 $V_2$**同构**。

同构的欧氏空间具有相同的代数性质和度量性质。如果其中一个是有限维的，那么另一个也一定是有限维的，且两者维数相同。对 $V_1$ 中一向量组 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_s, \sigma\left(\varepsilon_1\right), \cdots, \sigma\left(\varepsilon_s\right)$ 为 $V_2$ 中一向量组。因为 $\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=\left(\sigma\left(\varepsilon_i\right), \sigma\left(\varepsilon_j\right)\right)$ ，故若 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_s$ 为 $V_1$ 中两两正交单位向量组，
则 $\left(\sigma\left(\varepsilon_i\right), \sigma\left(\varepsilon_j\right)\right)=\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=\delta_{i j}$ ，即 $\sigma\left(\varepsilon_1\right), \cdots, \sigma\left(\varepsilon_s\right)$ 为 $V_2$ 中两两正交单位向量组．反之，若已知 $\sigma\left(\varepsilon_1\right), \cdots, \sigma\left(\varepsilon_s\right)$ 为 $V_2$ 中两两正交单位向量组，那么，同样推知 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_s$ 为 $V_1$ 中两两正交单位向量组。因此，在 $\sigma$下，$V_1$ 与 $V_2$ 中的标准正交基是一一对应的。

现在设 $V_1, V_2$ 是两个 $n$ 维欧氏空间。在 $V_1$ 内取一组标准正交基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，在 $V_2$ 内取一组标准正交基 $\varepsilon_1^{\prime}, \varepsilon_2^{\prime}, \cdots, \varepsilon_n^{\prime}$ 。定义 $V_1$ 到 $V_2$的映射 $\sigma$ 如下：若

$$
\alpha=a_1 \varepsilon_1+a_2 \varepsilon_2+\cdots+a_n \varepsilon_n,
$$

则令

$$
\sigma(\alpha)=a_1 \varepsilon_1^{\prime}+a_2 \varepsilon_2^{\prime}+\cdots+a_n \varepsilon_n^{\prime} .
$$

容易验证，$\sigma$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的欧氏空间同构映射（具体验证留给读者作为练习）。因此，对于有限维的欧氏空间来说，只要维数相同就彼此同构。

现设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ 为其一组标准正交基。对任意 $\alpha \in V$ ，设 $\alpha=\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\right) X$ ，定义 $\sigma(\alpha)=X$ 。在第四章§3 已知 $\sigma$ 为 $V$到 $\mathbb{R}^n$ 的线性空间同构。按照 $V$ 中内积在标准正交基下的计算公式及 $\mathbb{R}^n$ 中内积的定义，我们有 $(\alpha, \beta)=(\sigma(\alpha), \sigma(\beta))$ ，即 $\sigma$ 为 $V$ 到 $\mathbb{R}^n$的欧氏空间同构．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：施密特（Schmidt）正交化

下一篇：正交变换

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)