最后更新: 2025-10-20 06:16 查看: 35 次纠错评论(0) 课件开VIP

对称变换

## 对称变换
现在研究 $n$ 维欧氏空间 $V$ 内另一类重要的线性变换．
**定义** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 内的一个线性变换，如果对 $V$ 中任意向量 $\alpha, \beta$ ，都有

$$
(A \alpha, \beta)=(\alpha, A \beta)
$$

则称 $\boldsymbol{A}$ 为 $V$ 内一个对称变换．
对 $V$ 内任意线性变换 $A$ ，定义

$$
\begin{aligned}
& f(\alpha, \beta)=(A \alpha, \beta) \\
& g(\alpha, \beta)=(\alpha, A \beta)
\end{aligned}
$$

在 $V$ 内取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，设其度量矩阵为 $G$ ，又设

$$
\begin{gathered}
\alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X, \quad \beta=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) Y ; \\
\left(\boldsymbol{A} \varepsilon_1, \boldsymbol{A} \varepsilon_2, \cdots, \boldsymbol{A} \varepsilon_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A .
\end{gathered}
$$

那么，我们有

$$
\begin{gathered}
A \alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A X, \quad A \beta=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A Y ; \\
f(\alpha, \beta)=(A \alpha, \beta)=(A X)^{\prime} G Y=X^{\prime}\left(A^{\prime} G\right) Y, \\
g(\alpha, \beta)=(\alpha, A \beta)=X^{\prime} G(A Y)=X^{\prime}(G A) Y .
\end{gathered}
$$

于是（参看第五章命题1．1的推论）

$\boldsymbol{A}$ 为对称变换 $\Longleftrightarrow f(\alpha, \beta) \equiv g(\alpha, \beta)$

$$
\Longleftrightarrow X^{\prime}\left(A^{\prime} G\right) Y \equiv X^{\prime}(G A) Y \Longleftrightarrow A^{\prime} G=G A .
$$

如果 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 为标准正交基，则其度量矩阵 $G=E$ ，故 $\boldsymbol{A}$ 为对称变换 $\Longleftrightarrow A^{\prime}=A$ ．

**命题2.6** $n$ 维欧氏空间 $V$ 内的线性变换 $\boldsymbol{A}$ 是对称变换的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}$ 在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。

命题2．6说明，当取定 $V$ 的一组标准正交基之后，$V$ 中的全体对称变换所成的集合和 $n$ 阶实对称矩阵所成的集合之间就可以建立起一一对应的关系。因而，在研究对称变换时可以利用实对称矩阵的性质；反之，研究实对称矩阵时也可以利用对称变换的结果，这两者相辅相成。

我们证明：对 $n$ 维欧氏空间 $V$ 内的一个对称变换 $A$ ，我们一定可以找出一组标准正交基，使 $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵成对角形．这就是对称变换的基本定理。

**命题 2.7** 实对称矩阵 $A$ 的特征多项式的根都是实数。

证 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)=|\lambda E-A|$ 在复数域内的任一根设为 $\lambda_0$ 。我们证明 $\lambda_0$ 必为实数。

设 $X$ 为复的 $n$ 维列向量，$X \neq 0$ ，满足

$$
A X=\lambda_0 X . ...(3)
$$

两边取复共轭，再取转置．因为 $\bar{A}=A, A^{\prime}=A$ ，有

$$
\bar{X}^{\prime} A=\bar{\lambda}_0 \bar{X}^{\prime} .
$$

两边以 $X$ 右乘，得

$$
\bar{X}^{\prime} A X=\bar{\lambda}_0 \bar{X}^{\prime} X . ...(4)
$$

再以 $\bar{X}^{\prime}$ 左乘等式（3），得

$$
\bar{X}^{\prime} A X=\lambda_0 \bar{X}^{\prime} X . ...(5)
$$

比较（4）与（5），得

$$
\bar{\lambda}_0 \bar{X}^{\prime} X=\lambda_0 \bar{X}^{\prime} X . ...(6)
$$

因为 $\bar{X}^{\prime} X$ 是 $X$ 分量的模的平方和，即

$$
\bar{X}^{\prime} X=\left|x_1\right|^2+\left|x_2\right|^2+\cdots+\left|x_n\right|^2,
$$

而 $X \neq 0$ ，故 $\bar{X}^{\prime} X \neq 0$ ．由（6）式即得 $\lambda_0=\bar{\lambda}_0$ ，于是，$\lambda_0$ 为实数．

> **推论 欧氏空间 $V$ 内任一对称变换 $\boldsymbol{A}$ 至少有一个特征值**．

证 $\boldsymbol{A}$ 在某一组标准正交基下的矩阵 $A$ 为实对称矩阵，由命题 2.7 知，$A$ 的特征多项式的根全是实数，因而全是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．故 $\boldsymbol{A}$至少有一个特征值．

**命题2．8** 设 $\boldsymbol{A}$ 是欧氏空间 $V$ 内的一个对称变换，则 $\boldsymbol{A}$ 的对应于不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 的特征向量 $\xi_1, \xi_2$ 互相正交．

证 根据命题的条件，$\lambda_1 \neq \lambda_2$ ，且

$$
\boldsymbol{A} \xi_1=\lambda_1 \xi_1, \quad \boldsymbol{A} \xi_2=\lambda_2 \xi_2,
$$

于是

$$
\lambda_1\left(\xi_1, \xi_2\right)=\left(\boldsymbol{A} \xi_1, \xi_2\right)=\left(\xi_1, \boldsymbol{A} \xi_2\right)=\lambda_2\left(\xi_1, \xi_2\right) .
$$

移得项，

$$
\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\left(\xi_1, \xi_2\right)=0 .
$$

因 $\lambda_1-\lambda_2 \neq 0$ ，故 $\left(\xi_1, \xi_2\right)=0$ 。

**命题2．9** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 内的对称变换，若 $M$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间，则 $M^{\perp}$ 也是 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间。

证 任给 $\alpha \in M, \beta \in M^{\perp}$ ，因 $\boldsymbol{A} \alpha \in M$ ，我们有

$$
0=(\boldsymbol{A} \alpha, \beta)=(\alpha, \boldsymbol{A} \beta),
$$

上式表明 $\boldsymbol{A} \beta \in M^{\perp}$ ，故 $M^{\perp}$ 也是 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间．

**定理 2.2** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 内的一个对称变换，则在 $V$内存在一组标准正交基，使 $\boldsymbol{A}$ 在此组基下的矩阵成对角形．

证 对 $V$ 的维数 $n$ 作数学归纳法．
当 $n=1$ 时命题是显然的．现设命题对 $n-1$ 维的欧氏空间成立，证明它对 $n$ 维欧氏空间也成立．

从命题 2.7 的推论知： $\boldsymbol{A}$ 在 $V$ 内必有一特征值 $\lambda_1$ ．设对应于 $\lambda_1$的单位特征向量为 $\eta_1$ ，即

$$
\boldsymbol{A} \eta_1=\lambda_1 \eta_1, \quad\left(\eta_1, \eta_1\right)=1 .
$$

现在令 $M=L\left(\eta_1\right) . M$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一维不变子空间。按命题 2．9，$M^{\perp}$ 为 $\boldsymbol{A}$的 $n-1$ 维不变子空间． $\boldsymbol{A}$ 限制在 $M^{\perp}$ 仍为对称变换．按归纳假设，在 $M^{\perp}$ 内存在一组标准正交基 $\eta_2, \cdots, \eta_n$ ，使

$$
\boldsymbol{A} \eta_i=\lambda_i \eta_i \quad(i=2,3, \cdots, n) .
$$

易知 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 为 $V$ 的一组标准正交基，它们满足
$$
\boldsymbol{A} \eta_i=\lambda_i \eta_i \quad(i=1,2, \cdots, n),
$$

故 $\boldsymbol{A}$ 在此组基下的矩阵成对角形．

**推论** 设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，则存在 $n$ 阶正交矩阵 $T$ ，使

$$
T^{-1} A T=T^{\prime} A T=D
$$

为对角矩阵．
证 把 $A$ 看做 $n$ 维欧氏空间 $V$ 内一个对称变换 $\boldsymbol{A}$ 在标准正交基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵。从定理2．2知，在 $V$ 内存在标准正交基 $\eta_1$ ， $\eta_2, \cdots, \eta_n$ ，使 $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵成对角形 $D$ ．令

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T,
$$

则 $T$ 为正交矩阵，且 $T^{-1} A T=T^{\prime} A T=D$ ．

**定理 2.3** 给定 $n$ 个未知量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的实二次型

$$
f=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right)
$$

则存在一个 $n$ 阶正交矩阵 $T$ ，使在线性变数替换 $X=T Z$ 下二次型化为标准形

$$
\lambda_1 z_1^2+\lambda_2 z_2^2+\cdots+\lambda_n z_n^2
$$

且 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 除了可能差一个排列次序外，是被 $f$ 唯一确定的．
证 二次型 $f$ 的矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是一个实对称矩阵，根据定理
2.2 的推论，存在正交矩阵 $T$ ，使

而

$$
\begin{aligned}
& T^{\prime} A T=D=\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right] . \\
& f=X^{\prime} A X \xlongequal{X=T Z}(T Z)^{\prime} A(T Z) \\
& =Z^{\prime}\left(T^{\prime} A T\right) Z=Z^{\prime} D Z \\
& =\lambda_1 z_1^2+\lambda_2 z_2^2+\cdots+\lambda_n z_n^2
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是矩阵 $A$ 的全部特征值，除了排列次序可任意外，是由 $f$ 唯一确定的。

对一个实二次型 $f=X^{\prime} A X$ 作线性变数替换 $X=T Y$ ，如果 $T$ 是一个正交矩阵，则称为正交线性变数替换．上面定理的意思是：每个实二次型都可经正交线性变数替换化为标准形，而且这样的标准形在不计排列次序的情况下是唯一的。

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