最后更新: 2025-10-20 06:18 查看: 58 次纠错评论(0) 课件开VIP

用正交矩阵化实对称矩阵成对角形

## 用正交矩阵化实对称矩阵成对角形
给定 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，我们已知存在 $n$ 阶正交矩阵 $T$ ，使 $T^{-1} A T=T^{\prime} A T=D$ 成对角形。在许多理论和实际问题中，都需要把 $T$ 和 $D$ 具体计算出来．本段的任务，是来阐明 $T$ 和 $D$ 的实际计算方法．

我们把 $A$ 看做 $n$ 维欧氏空间 $V$ 内一对称变换 $\boldsymbol{A}$ 在标准正交基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵。设 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)=|\lambda E-A|$ 的全部互不相同的根（都是实数）是 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ ，它们是 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值．因为 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵可对角化，根据第四章定理4．2，

$$
V=V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k} .
$$

再根据命题2．8，$V_{\lambda_i}$ 与 $V_{\lambda_j}(i \neq j)$ 的向量互相正交，这可简单表为 $\left(V_{\lambda_1}, V_{\lambda_j}\right)=0$ 。因此，只要在每个 $V_{\lambda_i}$ 中取一组标准正交基（全由特征值为 $\lambda_i$ 的特征向量组成），合并后为 $V$ 内 $n$ 个两两正交的单位向量组，即为 $V$ 的一组标准正交基，在此基下 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵成对角形 $D$ ，而 $T$ 即为从 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 到此组基的过渡矩阵，$T$ 的列向量组即为此组基的 $n$ 个向量在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标．

在第四章§4 已指出求每个 $V_{\lambda_i}$ 的一组基的方法，现在 $V_{\lambda_i}$ 为欧氏空间，只要把这组基正交化再单位化，就得 $V_{\lambda_i}$ 的一组标准正交基，而我们需要的，只是这组标准正交基在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标（它们构成 $T$ 的一部分列向量）。

为了从理论上把问题说的更清楚一点，我们考查 $V$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的映射 $\sigma$ ：若 $\alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X$ ，则定义 $\sigma(\alpha)=X$ 。前面已指出 $\sigma$ 是一欧氏空间同构。

在第四章§4又指出，$\alpha \in V_{\lambda_i}$ 的充分必要条件是 $\sigma(\alpha)=X$ 是齐次线性方程组

$$
\left(\lambda_i E-A\right) X=0
$$
的解向量．设上面齐次线性方程组的解空间为 $\mathbb{R}^n$ 的子空间 $M_{\lambda_i}$ ．则 $\sigma$为 $V_{\lambda_i}$ 到 $M_{\lambda_i}$ 的欧氏空间同构，我们只要在 $M_{\lambda_i}$（作为欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 的子空间）中找一组标准正交基，那么 $V$ 中以这组标准正交基为坐标（在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下）的向量组即为 $V_{\lambda_i}$ 的一组标准正交基，故 $M_{\lambda_i}$ 内这组标准正交基即为 $T$ 的列向量组的一部分（对应于特征值 $\lambda_i$ ）。

根据以上的分析，我们把 $T$ 和 $D$ 的具体计算法归纳为以下几个步骤：

1）计算特征多项式 $f(\lambda)=|\lambda E-A|$ ，并求出它的全部根（两两不同者）$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ ；

2）对每个 $\lambda_i$ ，求齐次线性方程组 $\left(\lambda_i E-A\right) X=0$ 的一个基础解系 $X_{i 1}, X_{i 2}, \cdots, X_{i i_i}$ ．它们即为解空间 $M_{\lambda_i}$ 的一组基；

3）在欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 内将 $X_{i 1}, X_{i 2}, \cdots, X_{i t_i}$ 正交化：

$$
\begin{aligned}
& Y_{i 1}=X_{i 1}, \\
& Y_{i 2}=X_{i 2}-\frac{\left(X_{i 2}, Y_{i 1}\right)}{\left(Y_{i 1}, Y_{i 1}\right)} Y_{i 1}, \\
& Y_{i 3}=X_{i 3}-\frac{\left(X_{i 3}, Y_{i 1}\right)}{\left(Y_{i 1}, Y_{i 1}\right)} Y_{i 1}-\frac{\left(X_{i 3}, Y_{i 2}\right)}{\left(Y_{i 2}, Y_{i 2}\right)} Y_{i 2},
\end{aligned}
$$

再把所得的 $Y_{i 1}, Y_{i 2}, \cdots, Y_{i t_i}$ 在 $\mathbb{R}^n$ 内单位化，得 $M_\lambda$ 的一组标准正交基 $Z_{i 1}, Z_{i 2}, \cdots, Z_{i t_i}$ ．此时

$$
\begin{aligned}
& \eta_{i 1}=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) Z_{i 1}, \\
& \eta_{i 2}=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) Z_{i 2}, \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \eta_{i t_i}=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) Z_{i t_i}
\end{aligned}
$$

即为 $V_{\lambda_i}$ 的一组标准正交基。而所寻求的正交矩阵 $T$ 应为 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$到 $V$ 的如下标准正交基

$$
\eta_{11}, \eta_{12}, \cdots, \eta_{1 t_1}, \eta_{21}, \eta_{22}, \cdots, \eta_{2 t_2}, \cdots, \eta_{k 1}, \eta_{k 2}, \cdots, \eta_{k t_k}
$$

的过渡矩阵，其列向量组应为

$$
Z_{11}, Z_{12}, \cdots, Z_{1 t_1}, Z_{21}, Z_{22}, \cdots, Z_{2 t_2}, \cdots, Z_{k 1}, Z_{k 2}, \cdots, Z_{k t_k} .
$$

只要把上述向量（写成坚列形式）作为列向量依次排列，即得正交矩阵 $T$ ，而此时相应的对角矩阵 $D$ 应为

![图片](/uploads/2025-10/0b55d6.jpg)
 
  
`例` 给定实对称矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{rrrr}
0 & 1 & 1 & -1 \\
1 & 0 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right],
$$

求正交矩阵 $T$ ，使 $T^{\prime} A T$ 成对角形．

解（i）求 $A$ 的全部特征值．

$$
|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{rrrr}
\lambda & -1 & -1 & 1 \\
-1 & \lambda & 1 & -1 \\
-1 & 1 & \lambda & -1 \\
1 & -1 & -1 & \lambda
\end{array}\right|=(\lambda-1)^3(\lambda+3) .
$$

故 $A$ 的互不相同的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=-3$ ．
（ii）求每个特征值对应的线性无关特征向量．
当 $\lambda_1=1$ 时，

$$
\begin{aligned}
\lambda_1 E-A & =\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

$$
\Leftrightarrow x_1-x_2-x_3+x_4=0 .
$$

移项，得

$$
x_1=x_2+x_3-x_4 .
$$

基础解系为（此时向量改写为行的形式，下面作正交化时较为方便）

$$
X_{11}=(1,1,0,0), \quad X_{12}=(1,0,1,0), X_{13}=(-1,0,0,1) .
$$

当 $\lambda_2=-3$ 时，

$$
\begin{aligned}
\lambda_2 E-A & =\left[\begin{array}{rrrr}
-3 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & -3 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & -3 & -1 \\
1 & -1 & -1 & -3
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & -1 & -3 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rr}
& x_1-x_2-x_3-3 x_4=0 \\
& x_2+x_4=0 \\
& x_3+x_4=0,
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

它的基础解系是

$$
X_{21}=(1,-1,-1,1) .
$$

（iii）把 $X_{11}, X_{12}, X_{13}$ 正交化．

$$
\begin{aligned}
& \alpha_1=X_{11}=(1,1,0,0) \\
& \alpha_1=X_{12}-\frac{\left(X_{12}, \alpha_1\right)}{\left(\alpha_1, \alpha_1\right)} \alpha_1=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, 1,0\right) \\
& \alpha_3=X_{13}-\frac{\left(X_{13}, \alpha_1\right)}{\left(\alpha_1, \alpha_1\right)} \alpha_1-\frac{\left(X_{13}, \alpha_2\right)}{\left(\alpha_2, \alpha_2\right)} \alpha_2=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1\right) .
\end{aligned}
$$

再把 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 和 $X_{21}$ 分别单位化：

$$
\begin{aligned}
& \eta_1=\frac{1}{\left|\alpha_1\right|} \alpha_1=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0,0\right), \\
& \eta_2=\frac{1}{\left|\alpha_2\right|} \alpha_2=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, 0\right), \\
& \eta_3=\frac{1}{\left|\alpha_3\right|} \alpha_3=\left(-\frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{3}{\sqrt{12}}\right), \\
& \eta_4=\frac{1}{\left|X_{21}\right|} X_{21}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) .
\end{aligned}
$$

（iv）以 $\eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4$ 为列向量组排成矩阵

$$
T=\left[\begin{array}{cccr}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{12}} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & \frac{3}{\sqrt{12}} & \frac{1}{2}
\end{array}\right],
$$

则有

$$
T^{\prime} A T=D=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array}\right] .
$$

下面，我们讨论如何将上面所得的结果应用于实二次型

$$
f=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right) .
$$

$f$ 的矩阵为 $A=\left(a_{i j}\right)$ ．因 $T^{\prime} A T=D$ 为对角矩阵，故二次型 $f$ 在正交线性变数替换 $X=T Z$ 下化为标准形

$$
\lambda_1 z_1^2+\lambda_2 z_2^2+\cdots+\lambda_n z_n^2
$$

其计算步骤如下：
1）写出二次型矩阵 $A$ ；
2）求出正交矩阵 $T$ ，使 $T^{\prime} A T=D$ 为对角形；
3）做变数替换 $X=T Z$ 后二次型化为标准形。

`例`给定实二次型

$$
f=2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-2 x_1 x_4-2 x_2 x_3+2 x_2 x_4+2 x_3 x_4,
$$

用正交线性变数替换将它化为标准形．
解（i）写出二次型矩阵
$$
A=\left[\begin{array}{rrrr}
0 & 1 & 1 & -1 \\
1 & 0 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right]
$$

（ii）求正交矩阵 $T$ ，使 $T^{\prime} A T=D$ 为对角形．这已在例2．1中算出：

![图片](/uploads/2025-10/1e2623.jpg)
 
 
二次型化为标准形

$$
z_1^2+z_2^2+z_3^2-3 z_4^2
$$

`例` 用正交线性变数替换将下面实二次型

$$
f=n \sum_{i=1}^n x_i^2-\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2
$$

化为标准形。
解 在欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 内选取标准正交基
$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_1=(1,0,0, \cdots, 0) \\
& \varepsilon_2=(0,1,0, \cdots, 0) \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \varepsilon_n=(0, \cdots, 0,1)
\end{aligned}
$$

又设

$$
\begin{aligned}
& F=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\cdots+\varepsilon_n=(1,1, \cdots, 1) \\
& X=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)
\end{aligned}
$$

定义 $\mathbb{R}^n$ 内二次型函数 $Q_f(X)$ ，使它在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下具有解析表达式

$$
Q_f(X)=n \sum_{i=1}^n x_i^2-\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2=n(X, X)-(X, F)^2 .
$$

那么，$Q_f(X)$ 对应的 $\mathbb{R}^n$ 内对称双线性函数为

$$
\begin{aligned}
f(X, Y)= & \frac{1}{2}\left[Q_f(X+Y)-Q_f(X)-Q_f(Y)\right] \\
= & \frac{1}{2}\left[n(X+Y, X+Y)-(X+Y, F)^2-n(X, X)\right. \\
& \left.+(X, F)^2-n(Y, Y)+(Y, F)^2\right] \\
= & n(X, Y)-(X, F)(Y, F) .
\end{aligned}
$$
现在只要找出 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ ，使 $f(X, Y)$ 在此组基下的矩阵成对角形 $D$ ，令

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T,
$$

则二次型 $f$ 在正交线性变数替换 $X=T Y$ 下变为标准形．
我们有

$$
f(F, F)=n(F, F)-(F, F)(F, F)=n^2-n^2=0 .
$$

令 $M=L(F)$ ，则 $M^{\perp}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的 $n-1$ 维子空间．当 $X \in M^{\perp}$ 时，$f(X, F) =n(X, F)-(X, F)(F, F)=n(X, F)-n(X, F)=0$ ．故只要在 $M^{\perp}$内找出 $\mathbb{R}^n$ 的 $n-1$ 个两两正交单位向量，使 $f(X, Y)$ 在 $M^{\perp}$ 的这组标准正交基下矩阵成对角形就可以了。

当 $X, Y \in M^{\perp}$ 时，$(X, F)=(Y, F)=0$ ．此时

$$
f(X, Y)=n(X, Y) .
$$

故只要 $M^{\perp}$ 内任意 $n-1$ 个两两正交单位向量即可使 $f(X, Y)$ 的矩阵成对角形．

因为

$$
M^{\perp}=\left\{X \in \mathbb{R}^n \mid(X, F)=0\right\}
$$

它显然有一组基

$$
\begin{aligned}
& \alpha_1=(1,-1,0,0, \cdots, 0) \\
& \alpha_2=(1,0,-1,0, \cdots, 0) \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \alpha_{n-1}=(1,0, \cdots, 0,-1)
\end{aligned}
$$

把它们按施密特正交化方法正交化得

![图片](/uploads/2025-10/2c1b91.jpg)
 
 再单位化，得

$$
\begin{gathered}
\eta_i=\left(\frac{1}{\sqrt{i(i+1)}}, \cdots, \frac{1}{\sqrt{i(i+1)}},-\frac{i}{\sqrt{i(i+1)}}, 0, \cdots, 0\right) \\
(i=1,2, \cdots, n-1)
\end{gathered}
$$

其中每个 $\eta_i$ 前 $i+1$ 个坐标非零。令

$$
\eta_n=\frac{1}{|F|} F=\left(\frac{1}{\sqrt{n}}, \frac{1}{\sqrt{n}}, \cdots, \frac{1}{\sqrt{n}}\right),
$$

则 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基，且

$$
\begin{gathered}
f\left(\eta_i, \eta_j\right)=n \delta_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n-1) \\
f\left(\eta_i, \eta_n\right)=f\left(\eta_n, \eta_i\right)=0 \quad(i=1,2, \cdots, n)
\end{gathered}
$$

即 $f(X, Y)$ 在此基下矩阵为对角形 $D, D$ 的主对角线上前 $n-1$ 个元素都是 $n$ ，最后一元素为 0 。从标准正交基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 到标准正交基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 的过渡矩阵为

![图片](/uploads/2025-10/59c31b.jpg)
 
 在 $X=T Y$ 下，$f$ 化为如下标准形

$$
n y_1^2+n y_2^2+\cdots+n y_{n-1}^2 .
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：对称变换

下一篇：酉空间与酉矩阵

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)