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酉空间与酉矩阵

## 3 酉空间

在有了欧几里得空间的知识之后，很自然会提出这样的问题：能不能在复数域上的线性空间内设法定义内积，使它具有与欧氏空间相类似的性质呢？回答是肯定的，本节就解决这个问题．

1．酉空间的基本概念
**定义** 设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的线性空间。如果给定一个法则，使 $V$ 内任意两个向量 $\alpha, \beta$ 都按照这个法则对应于 $\mathbb{C}$ 内一个唯一确定的数，记做 $(\alpha, \beta)$ ，且满足：
（i）对任意 $k_1, k_2 \in \mathbb{C}, \alpha_1, \alpha_2, \beta \in V$ ，有

$$
\left(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2, \beta\right)=k_1\left(\alpha_1, \beta\right)+k_2\left(\alpha_2, \beta\right) ;
$$

（ii）$(\alpha, \beta)=\overline{(\beta, \alpha)}$（取复数共轭），因此，对任意 $\alpha \in V,(\alpha, \alpha)$ 都是实数；
（iii）对任意 $\alpha \in V,(\alpha, \alpha) \geqslant 0$ ，且 $(\alpha, \alpha)=0 \Longleftrightarrow \alpha=0$ ，则称二元函数 $(\alpha, \beta)$ 为 $V$ 内向量 $\alpha, \beta$ 的**内积**．定义了这种内积的 $\mathbb{C}$上线性空间称为**酉空间**。

从内积的性质（i）与（ii）可得：对任意 $l_1, l_2 \in \mathbb{C}, \alpha, \beta_1, \beta_2 \in V$ ，有

$$
\begin{aligned}
\left(\alpha, l_1 \beta_1+l_2 \beta_2\right) & =\overline{\left(l_1 \beta_1+l_2 \beta_2, \alpha\right)} \\
& =\overline{l_1\left(\beta_1, \alpha\right)+l_2\left(\beta_2, \alpha\right)} \\
& =\bar{l}_1 \overline{\left(\beta_1, \alpha\right)}+\bar{l}_2 \overline{\left(\beta_2, \alpha\right)} \\
& =\bar{l}_1\left(\alpha, \beta_1\right)+\bar{l}_2\left(\alpha, \beta_2\right)
\end{aligned}
$$
由此可以看出，$(\alpha, \beta)$ 对第二个变元 $\beta$ 不是线性的，所以它不是双线性函数。这是酉空间的内积与欧氏空间内积的一个重要区别。其所以如此，是由于内积的性质（ii）与欧氏空间内积的相应性质有不同，而性质（ii）是保证 $(\alpha, \alpha)$ 为实数的必须条件。

`例` 在复数域上线性空间 $\mathbb{C}^n$ 内定义内积如下：若

$$
\alpha=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), \quad \beta=\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right),
$$

则令 $(\alpha, \beta)=x_1 \bar{y}_1+x_2 \bar{y}_2+\cdots+x_n \bar{y}_n=\alpha \cdot \bar{\beta}^{\prime}$ 。容易验证， $\mathbb{C}^n$ 关于这内积成为酉空间．

我们约定：今后凡是把 $\mathbb{C}^n$ 看做酉空间时，其内积的定义都如上述。

### I．向量的长度
在一个酉空间 $V$ 内，对任意 $\alpha \in V,(\alpha, \alpha)$ 总是一个非负实数，我们定义
$$
|\alpha|=\sqrt{(\alpha, \alpha)},
$$

称为向量 $\alpha$ 的模或长度．$|\alpha|=1$ 时，$\alpha$ 称为单位向量．我们有：对一切 $k \in \mathbb{C}$ ，

$$
|k \alpha|=\sqrt{(k \alpha, k \alpha)}=\sqrt{k \bar{k}(\alpha, \alpha)}=|k| \cdot|\alpha| .
$$

由此即知，对任一非零向量 $\alpha, \frac{1}{|\alpha|} \alpha$ 为一单位向量，我们称之为 $\alpha$ 的单位化．

### II．向量的正交性
在酉空间内两向量的内积 $(\alpha, \beta)$ 一般是一个复数，所以向量间没有夹角的概念，但却可以有正交的概念。

定义 一个酉空间 $V$ 内两个向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 满足 $(\alpha, \beta)=0$ 时称为互相正交，记做 $\alpha \perp \beta$ ．

注意 $(\alpha, \beta)=0$ 时自然有

$$
(\beta, \alpha)=\overline{(\alpha, \beta)}=0 .
$$

另外，显然零向量与任意向量都正交．

### III．内积的存在性
在有了酉空间内积的定义之后，自然会产生这样一个问题：
满足条件（i）～（iii）的二元函数 $(\alpha, \beta)$ 是否存在呢？我们现在对有限维线性空间来回答这一问题。

设 $V$ 是 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，在 $V$ 内任取一组基

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n .
$$

又设

$$
\begin{aligned}
& \alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n \\
& \beta=y_1 \varepsilon_1+y_2 \varepsilon_2+\cdots+y_n \varepsilon_n
\end{aligned}
$$

在 $V$ 内定义二元函数如下：

$$
(\alpha, \beta)=x_1 \bar{y}_1+x_2 \bar{y}_2+\cdots+x_n \bar{y}_n .
$$

不难验证，这个二元函数即满足内积条件（i）～（iii）．显然，这时有

$$
\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=\delta_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n) .
$$

### IV．酉空间的标准正交基
上一段的分析还给了我们这样一个启示，即在酉空间内可以有

类似于欧氏空间中的标准正交基的概念．为了引进这一重要概念，我们先指出一个简单的事实．

**命题3．1** 酉空间 $V$ 内两两正交的非零向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 所组成的向量组线性无关．

这个命题的证明与欧氏空间中的相应命题的证明相同，留给读者作为练习。

**定义** 在 $n$ 维酉空间 $V$ 内 $n$ 个两两正交的单位向量组成的向量组称为 $V$ 的一组**标准正交基**．

根据这个定义，$V$ 内 $n$ 个向量 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是一组标准正交基，等价于

$$
\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=\delta_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n) .
$$

如果 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是一组标准正交基，设

$$
\begin{aligned}
& \alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n \\
& \beta=y_1 \varepsilon_1+y_2 \varepsilon_2+\cdots+y_n \varepsilon_n
\end{aligned}
$$

则

$$
\begin{aligned}
(\alpha, \beta) & =\left(\sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i, \sum_{j=1}^n y_j \varepsilon_j\right) \\
& =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i \bar{y}_j\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)
\end{aligned}
$$

$$
=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \delta_{i j} x_i \bar{y}_j=\sum_{i=1}^n x_i \bar{y}_i .
$$

这就是在标准正交基下内积的表达式。它与欧氏空间中内积在标准正交基下的表达形式相似，只是现在第二个向量 $\beta$ 的坐标要取复共轭。

### V．标准正交基的求法
在酉空间内有与欧氏空间相同的施密特正交化方法．给定酉空间内一个线性无关向量组

$$
\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s .
$$

令

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_1=\alpha_1, \\
& \varepsilon_2=\alpha_2-\frac{\left(\alpha_2, \varepsilon_1\right)}{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)} \varepsilon_1,
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_{i+1}=\alpha_{i+1}-\frac{\left(\alpha_{i+1}, \varepsilon_1\right)}{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)} \varepsilon_1-\frac{\left(\alpha_{i+1}, \varepsilon_2\right)}{\left(\varepsilon_2, \varepsilon_2\right)} \varepsilon_2-\cdots-\frac{\left(\alpha_{i+1}, \varepsilon_i\right)}{\left(\varepsilon_i, \varepsilon_i\right)} \varepsilon_i, \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \varepsilon_s=\alpha_s-\frac{\left(\alpha_s, \varepsilon_1\right)}{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)} \varepsilon_1-\frac{\left(\alpha_s, \varepsilon_2\right)}{\left(\varepsilon_2, \varepsilon_2\right)} \varepsilon_2-\cdots-\frac{\left(\alpha_s, \varepsilon_{s-1}\right)}{\left(\varepsilon_{s-1}, \varepsilon_{s-1}\right)} \varepsilon_{s-1} .
\end{aligned}
$$

那么，同样有如下两条性质：
（i）$L\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_i\right)=L\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_i\right)(i=1,2, \cdots, s)$ ；
（ii）$\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=0 \quad(i \neq j)$ ．
利用施密特正交化方法把一个有限维酉空间的一组基正交化后再单位化，就得到它的一组标准正交基．

VI．标准正交基间的过渡矩阵
给定复数域上的一个 $n$ 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ ，我们前面使用记号

$$
\bar{A}=\left[\begin{array}{cccc}
\bar{a}_{11} & \bar{a}_{12} & \cdots & \bar{a}_{1 n} \\
\bar{a}_{21} & \bar{a}_{22} & \cdots & \bar{a}_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\bar{a}_{n 1} & \bar{a}_{n 2} & \cdots & \bar{a}_{n n}
\end{array}\right]
$$

表示对 $A$ 的每个元素取复共轭．
## 酉矩阵
**定义** 设 $U$ 是一个 $n$ 阶可逆复矩阵．如果 $\bar{U}^{\prime}=U^{-1}$ ，则称 $U$ 是一个**酉矩阵**。

如果把实数矩阵也看成一个复矩阵，它的每个元素取复共轭后没有变化。由此可知，正交矩阵当作复矩阵看时就是酉矩阵。所以，酉矩阵是正交矩阵的推广。在欧氏空间中两组标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵，对于酉空间，我们有类似的结果．

**命题3．2** 设 $V$ 是一个 $n$ 维西空间，$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组标准正交基，$U$ 是一个 $n$ 阶复方阵。令

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) U,
$$

则 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是标准正交基的充分必要条件是：$U$ 是一个酉矩阵。
证 必要性 若 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是标准正交基，则

$$
\left(\eta_i, \eta_j\right)=\delta_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n) .
$$

设 $U=\left(u_{i j}\right), U$ 的第 $j$ 个列向量为 $\eta_j$ 在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标，而 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 为标准正交基，故
$$
\left(\eta_i, \eta_j\right)=u_{1 i} \bar{u}_{1 j}+u_{2 i} \bar{u}_{2 j}+\cdots+u_{n i} \bar{u}_{n j}=\delta_{i j} .
$$

这表示 $U^{\prime} \bar{U}=E$ ，两边取复共轭，得 $\bar{U}^{\prime} U=E$ ，即 $\bar{U}^{\prime}=U^{-1}$ ，故 $U$ 为酉矩阵。

充分性 若 $U$ 为酉矩阵，则 $\bar{U}^{\prime} U=E$ ，亦即 $U^{\prime} \bar{U}=E$ ．于是有

$$
\left(\eta_i, \eta_j\right)=u_{1 i} \bar{u}_{1 j}+u_{2 i} \bar{u}_{2 j}+\cdots+u_{n i} \bar{u}_{n j}=\delta_{i j} .
$$

故 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 为 $V$ 的一组标准正交基。
下面，我们介绍酉空间中一个子空间的正交补的概念。
首先，容易看出：酉空间 $V$ 的任意子空间 $M$ 关于 $V$ 的内积仍为酉空间。

**定义** 设 $V$ 是一个 $n$ 维酉空间，$M$ 是 $V$ 的子空间。令

$$
M^{\perp}=\{\alpha \in V \mid(\alpha, m)=0 \text {, 对一切 } m \in M\} \text {, }
$$

称 $M^{\perp}$ 为 $M$ 的**正交补**。
容易验证：$M^{\perp}$ 是 $V$ 的子空间．我们有
**命题 $3.3** \quad V=M \oplus M^{\perp}$ 。
证 在酉空间内，$(\alpha, \alpha)=0$ 等价于 $\alpha=0$ ．因此，$M \cap M^{\perp}=\{0\}$ ，即 $M+M^{\perp}$ 是直和．如果在 $M$ 中取一组标准正交基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$ ，扩充成 $V$ 的一组标准正交基（根据施密特正交化方法，这总是可以办到的）
$$
\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_r, \varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_n .
$$

任给 $\alpha \in V$ ，有

$$
\alpha=\left(k_1 \varepsilon_1+\cdots+k_r \varepsilon_r\right)+\left(k_{r+1} \varepsilon_{r+1}+\cdots+k_n \varepsilon_n\right),
$$

其中

$$
k_1 \varepsilon_1+\cdots+k_r \varepsilon_r \in M ; \quad k_{r+1} \varepsilon_{r+1}+\cdots+k_n \varepsilon_n \in M^{\perp} .
$$

故 $M+M^{\perp}=V$ ，即 $V=M \oplus M^{\perp}$ 。

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