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酉变换

## 酉变换
**定义** 设 $\boldsymbol{U}$ 是酉空间 $V$ 内的一个线性变换，满足

$$
(\boldsymbol{U} \alpha, \boldsymbol{U} \beta)=(\alpha, \beta) \quad(\text { 对一切 } \alpha, \beta \in V),
$$

则称 $\boldsymbol{U}$ 是一个**酉变换**．
酉变换不改变向量的内积，所以它应当与欧氏空间中的正交变换有类似的性质．我们把这些性质概括为如下的命题．

**命题 3.4** 设 $\boldsymbol{U}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 内的一个线性变换，则下列命题等价：
（i） $\boldsymbol{U}$ 是一个酉变换；
（ii）对任意 $\alpha \in V$ ，有 $|\boldsymbol{U} \alpha|=|\alpha|$ ；
（iii） $\boldsymbol{U}$ 把标准正交基变为标准正交基；
（iv） $\boldsymbol{U}$ 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。
证 采用轮转证法．
（i）$\Longrightarrow$（ii）．显然．
（ii）$\Longrightarrow$（iii）．设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组标准正交基．由假设知 $\left|\boldsymbol{U} \varepsilon_i\right|=\left|\varepsilon_i\right|=1$ ，故只要证 $\left(\boldsymbol{U} \varepsilon_i, \boldsymbol{U} \varepsilon_j\right)=0(i \neq j)$ 。对任意 $\alpha \in V$ ，有

$$
(\boldsymbol{U} \alpha, \boldsymbol{U} \alpha)=|\boldsymbol{U} \alpha|^2=|\alpha|^2=(\alpha, \alpha) .
$$

以 $\alpha=k \varepsilon_i+\varepsilon_j$ 代入上式，展开后消去两边相等的项，得

$$
k\left(\boldsymbol{U} \varepsilon_i, \boldsymbol{U} \varepsilon_j\right)+\bar{k}\left(\boldsymbol{U} \varepsilon_j, \boldsymbol{U} \varepsilon_i\right)=k\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)+\bar{k}\left(\varepsilon_j, \varepsilon_i\right)=0 .
$$

取 $k=1$ 及 i ，得

$$
\left(\boldsymbol{U} \varepsilon_i, \boldsymbol{U} \varepsilon_j\right)+\left(\boldsymbol{U} \varepsilon_j, \boldsymbol{U} \varepsilon_i\right)=0
$$

及

$$
\mathrm{i}\left(\boldsymbol{U} \varepsilon_i, \boldsymbol{U} \varepsilon_j\right)-\mathrm{i}\left(\boldsymbol{U} \varepsilon_j, \boldsymbol{U} \varepsilon_i\right)=0
$$

由此易知 $\left(\boldsymbol{U} \varepsilon_i, \boldsymbol{U} \varepsilon_j\right)=0$ ．
（iii）$\Longrightarrow$（iv）．设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组标准正交基， $\boldsymbol{U}$ 在此组基下的矩阵为 $U$ 。矩阵 $U$ 即是由基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 到基 $U \varepsilon_1, U \varepsilon_2, \cdots, U \varepsilon_n$的过渡矩阵．由假设，$U \varepsilon_1, U \varepsilon_2, \cdots, U \varepsilon_n$ 也是 $V$ 的一组标准正交基．根据命题 3.2 ，即知 $U$ 是酉矩阵。
（iv）$\Longrightarrow$（i）．设 $\boldsymbol{U}$ 在标准正交基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵 $U$ 是酉矩阵。由命题3．2知，$U \varepsilon_1, U \varepsilon_2, \cdots, U \varepsilon_n$ 也是 $V$ 的标准正交基。对任意的 $\alpha, \beta \in V$ ，设

则

$$
\begin{gathered}
\alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n, \\
\beta=y_1 \varepsilon_1+y_2 \varepsilon_2+\cdots+y_n \varepsilon_n . \\
\boldsymbol{U} \alpha=x_1 \boldsymbol{U} \varepsilon_1+x_2 \boldsymbol{U} \varepsilon_2+\cdots+x_n \boldsymbol{U} \varepsilon_n, \\
\boldsymbol{U} \beta=y_1 \boldsymbol{U} \varepsilon_1+y_2 \boldsymbol{U} \varepsilon_2+\cdots+y_n \boldsymbol{U} \varepsilon_n .
\end{gathered}
$$

由内积在标准正交基下的表达式，有
$$
(\boldsymbol{U} \alpha, \boldsymbol{U} \beta)=x_1 \bar{y}_1+x_2 \bar{y}_2+\cdots+x_n \bar{y}_n=(\alpha, \beta),
$$

即 $\boldsymbol{U}$ 是酉变换．
**命题 3.5** 设 $V$ 是一个 $n$ 维酉空间．令 $U(n)$ 表示 $V$ 内全体酉变换所成的集合，则有
（i） $\boldsymbol{E} \in U(n)$ ；
（ii）若 $\boldsymbol{U}_1, \boldsymbol{U}_2 \in U(n)$ ，则 $\boldsymbol{U}_1 \boldsymbol{U}_2 \in U(n)$ ；
（iii）若 $\boldsymbol{U} \in U(n)$ ，则 $\boldsymbol{U}$ 可逆，且 $\boldsymbol{U}^{-1} \in U(n)$ ．
证明留给读者作为练习。

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