最后更新: 2025-10-20 06:31 查看: 41 次纠错评论(0) 课件开VIP

正规变换与厄米特变换

## 正规变换与厄米特变换
上一段我们已经把欧氏空间中的正交变换推广为酉空间中的酉变换，现在再把欧氏空间中的对称变换也推广到酉空间中来。但在这里我们将从更一般的角度来讨论问题。

**定义** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 内的一个线性变换．如果 $V$ 内一个线性变换 $\boldsymbol{A}^*$ 满足如下条件：对一切 $\alpha, \beta \in V$ ，有

$$
(A \alpha, \beta)=\left(\alpha, A^* \beta\right)
$$

则称 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的**共轭变换**．

现在在 $V$ 内取一组标准正交基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，设 $A, A^*$ 在此组基下的矩阵分别为 $A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right) .(\boldsymbol{A} \alpha, \beta)=\left(\alpha, \boldsymbol{A}^* \beta\right)$ 显然等价于

$$
\left(\boldsymbol{A} \varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=\left(\varepsilon_i, \boldsymbol{A}^* \varepsilon_j\right) \quad(i, j=1,2, \cdots, n) .
$$

因为

$$
\begin{aligned}
& \left(\boldsymbol{A} \varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=\left(\sum_{k=1}^n a_{k i} \varepsilon_k, \varepsilon_j\right)=\sum_{k=1}^n a_{k i}\left(\varepsilon_k, \varepsilon_j\right)=a_{j i} \\
& \left(\varepsilon_i, \boldsymbol{A}^* \varepsilon_j\right)=\left(\varepsilon_i, \sum_{k=1}^n b_{k j} \varepsilon_k\right)=\sum_{k=1}^n \bar{b}_{k j}\left(\varepsilon_i, \varepsilon_k\right)=\bar{b}_{i j}
\end{aligned}
$$

于是

$$
\left(\boldsymbol{A} \varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=\left(\varepsilon_i, \boldsymbol{A}^* \varepsilon_j\right) \Longleftrightarrow a_{j i}=\bar{b}_{i j} \Longleftrightarrow A^{\prime}=\bar{B} \Longleftrightarrow B=\bar{A}^{\prime} .
$$

这就是说 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的共轭变换的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}^*$ 在此组基下的矩阵 $B$ 为 $\boldsymbol{A}$ 在此基下的矩阵 $A$ 的共轭转置。由此可知：$V$ 内任一线性变换的共轭变换都存在而且唯一。因此，一个酉变换 $\boldsymbol{U}$ 的共轭变换即为其逆变换： $\boldsymbol{U}^*=\boldsymbol{U}^{-1}$（因为 $\boldsymbol{U}$ 在标准正交基下的矩阵为酉矩阵，

取了复共轭再转置时恰为其逆矩阵）．由此可知，对于酉变换，有

$$
\boldsymbol{U} \boldsymbol{U}^*=\boldsymbol{U}^* \boldsymbol{U}=\boldsymbol{E} .
$$

不难验证有如下关系式：
（i） $\boldsymbol{E}^*=\boldsymbol{E}$ ；
（ii）$\left(\boldsymbol{A}^*\right)^*=\boldsymbol{A}$ ；
（iii）$(\lambda \boldsymbol{A})^*=\bar{\lambda} \boldsymbol{A}^*$ ；
（iv）$(\boldsymbol{A} \pm \boldsymbol{B})^*=\boldsymbol{A}^* \pm \boldsymbol{B}^*$ ；
（v）$(\boldsymbol{A B})^*=\boldsymbol{B}^* \boldsymbol{A}^*$ ．
这里，我们仅证明（iii）与（v）．
证（iii）对任意 $\alpha, \beta \in V$ ，有

$$
((\lambda \boldsymbol{A}) \alpha, \beta)=\lambda(\boldsymbol{A} \alpha, \beta)=\lambda\left(\alpha, \boldsymbol{A}^* \beta\right)=\left(\alpha,\left(\bar{\lambda} \boldsymbol{A}^*\right) \beta\right) .
$$

由于 $\lambda \boldsymbol{A}$ 的共轭变换存在且唯一，故由上面的等式即可推断

$$
(\lambda \boldsymbol{A})^*=\bar{\lambda} \boldsymbol{A}^* .
$$

（v）对任意 $\alpha, \beta \in V$ ，有

$$
((\boldsymbol{A B}) \alpha, \beta)=\left(\boldsymbol{B} \alpha, \boldsymbol{A}^* \beta\right)=\left(\alpha,\left(\boldsymbol{B}^* \boldsymbol{A}^*\right) \beta\right) .
$$

因为 $\boldsymbol{A B}$ 的共轭变换存在且唯一，故由上面的等式即可推断

$$
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^*=\boldsymbol{B}^* \boldsymbol{A}^*
$$

根据性质（ii），我们有

$$
\left.(\alpha, \boldsymbol{A} \beta)=\left(\alpha,\left(\boldsymbol{A}^*\right)^* \beta\right)\right)=\left(\boldsymbol{A}^* \alpha, \beta\right) .
$$

**定义** $n$ 维酉空间 $V$ 内一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ 如与其共轭变换可交换 ： $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}$ ，则称 $\boldsymbol{A}$ 为一个**正规变换**。

根据前面的分析可知，酉变换是一种正规变换。
下面我们阐述正规变换的几个重要性质。
首先指出如下简单事实：
**命题3．6** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 内的线性变换．如果 $M$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间，则 $M^{\perp}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的共轭变换 $\boldsymbol{A}^*$ 的不变子空间．

证 对任意 $\alpha \in M, \beta \in M^{\perp}$ ，我们有

$$
\left(\alpha, \boldsymbol{A}^* \beta\right)=(\boldsymbol{A} \alpha, \beta)=0
$$

上式表明 $\boldsymbol{A}^* \beta \in M^{\perp}$ ．
**命题 3.7** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 内的一个正规变换，而 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$

的一个特征值，其对应特征向量为 $\xi$ ．那么，$\xi$ 是 $\boldsymbol{A}^*$ 的属于特征值 $\bar{\lambda}$的特征向量．

证 按假设，有 $\boldsymbol{A} \xi-\lambda \xi=(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}) \xi=0$ ．于是

$$
\begin{aligned}
\left(\left(\boldsymbol{A}^*\right.\right. & \left.-\bar{\lambda} \boldsymbol{E}) \xi,\left(\boldsymbol{A}^*-\bar{\lambda} \boldsymbol{E}\right) \xi\right) \\
& =\left((\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E})^* \xi,\left(\boldsymbol{A}^*-\bar{\lambda} \boldsymbol{E}\right) \xi\right) \\
& =\left(\xi,(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E})\left(\boldsymbol{A}^*-\bar{\lambda} \boldsymbol{E}\right) \xi\right) \\
& =\left(\xi,\left(\boldsymbol{A}^*-\bar{\lambda} \boldsymbol{E}\right)(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}) \xi\right)=(\xi, 0)=0 .
\end{aligned}
$$

由此即得 $\left(\boldsymbol{A}^*-\bar{\lambda} \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{\xi}=0$ ．于是 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{\xi}=\bar{\lambda} \boldsymbol{\xi}$ ．
**命题 3.8** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维西空间 $V$ 内的一个正规变换，则 $\boldsymbol{A}$ 的属于不同特征值的特征向量互相正交．

证 设 $\lambda, \mu$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的两个互不相同的特征值，$\xi, \eta$ 是分别属于 $\lambda, \mu$的特征向量．由命题3．7知： $\boldsymbol{A}^* \eta=\bar{\mu} \eta$ ．于是有

$$
\begin{aligned}
\lambda(\xi, \eta) & =(\lambda \xi, \eta)=(A \xi, \eta)=\left(\xi, A^* \eta\right) \\
& =(\xi, \bar{\mu} \eta)=\mu(\xi, \eta)
\end{aligned}
$$

移项，得

$$
(\lambda-\mu)(\xi, \eta)=0
$$

因 $\lambda-\mu \neq 0$ ，故 $(\xi, \eta)=0$ ．

下面是关于正规变换的基本定理．
**定理3．1** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 内的一个正规变换，则在 $V$ 内存在一组标准正交基，使 $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵成对角形．

证 对 $V$ 的维数 $n$ 作数学归纳法．
当 $n=1$ 时命题显然成立．设对 $n-1$ 维酉空间命题成立，证明对 $n$ 维酉空间命题也成立。

设 $\lambda_1$ 是 $A$ 的一个特征值，$\eta_1$ 是一个对应的特征向量，$\left|\eta_1\right|=1$ ．命 $M=L\left(\eta_1\right)$ 。

按命题 3．7，现在同时有 $A \eta_1=\lambda_1 \eta_1, A^* \eta_1=\bar{\lambda}_1 \eta_1$ 。故 $M$ 同时为 $A$ ， $\boldsymbol{A}^*$ 的不变子空间。又按命题3．6知 $M^{\perp}$ 为 $\boldsymbol{A}^*$ 及 $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^*=\boldsymbol{A}$ 的公共不变子空间．此时有

$$
(A \alpha, \beta)=\left(\alpha, A^* \beta\right) \quad\left(\forall \alpha, \beta \in M^{\perp}\right) .
$$

于是限制在 $M^{\perp}$ 内， $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^*$ 互为共轭变换，此时当然也有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}$ ．

故 $\boldsymbol{A}$ 限制在 $n-1$ 维酉空间 $M^{\perp}$ 内仍为正规变换．按归纳假设，在 $M^{\perp}$内存在标准正交基 $\eta_2, \cdots, \eta_n$ ，使

$$
\boldsymbol{A} \eta_i=\lambda_i \eta_i \quad(i=2,3, \cdots, n) .
$$

因为 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 满足关系式

$$
\left(\eta_{\imath}, \eta_j\right)=\delta_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),
$$

故它们是 $V$ 的一组标准正交基。在这组基下 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵成对角形：

$$
\boldsymbol{A} \eta_i=\lambda_i \eta_i \quad(i=1,2, \cdots, n)
$$

**推论** 设 $\boldsymbol{U}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 内的一个酉变换，则在 $V$ 内存在一组标准正交基，使 $\boldsymbol{U}$ 在这组基下的矩阵成对角形。

这是因为 $\boldsymbol{U}$ 变换是一种正规变换的缘故．
下面我们再来研究另一类重要的正规变换，它可以看做是欧氏空间中的对称变换的自然推广。

## 厄米特变换
**定义** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 内一个线性变换，且 $\boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}$ 。则称 $\boldsymbol{A}$ 是一个厄米特（Hermite）变换。

厄米特变换显然是一个正规变换。所以，前面关于正规变换所获得的结果对它都适用。特别地，根据命题 3.7 ，如果 $\lambda$ 是厄米特变换 $\boldsymbol{A}$的任一特征值，$\xi$ 是其对应的特征向量，则

$$
\bar{\lambda} \xi=\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\lambda \boldsymbol{\xi} .
$$

因 $\xi \neq 0$ ，故 $\bar{\lambda}=\lambda$ ．因此，有

> **命题3．9** 厄米特变换的特征值都是实数．

综合定理3．1和命题3．9，可以得到关于厄米特变换的如下重要结论：

**定理3．2** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 中的一个厄米特变换，则在 $V$中存在一组标准正交基，使 $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵是实对角矩阵。

在 $n$ 维酉空间 $V$ 中取一组标准正交基

$$
\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n .
$$

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 内的一个厄米特变换，它在这组基下的矩阵为 $A$ ．根据前面的（1）式可知， $\boldsymbol{A}^*$ 在这组基下的矩阵为 $\bar{A}^{\prime}$ ，但 $\boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}$ ，故必有 $\bar{A}^{\prime}= A$ ．

**定义** 设 $A$ 是一个 $n$ 阶复方阵．如果 $\bar{A}^{\prime}=A$ ，则称 $A$ 是一个**厄米特矩阵**．

显然，$n$ 维酉空间内一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ 是厄米特变换的充分必要条件是：它在某一组标准正交基下的矩阵是厄米特矩阵。反之，任一厄米特矩阵也可以看做一个酉空间中某个厄米特变换在一组标准正交基下的矩阵。于是从定理3．2可得：

**推论** 设 $A$ 是 $n$ 阶厄米特矩阵，则存在一个 $n$ 阶西矩阵 $U$ ，使 $U^{-1} A U=\bar{U}^{\prime} A U=D$ 是一个实对角矩阵。

现在把定理 3.2 及其推论应用到如下的厄米特二次型。

**定义** $n$ 个复变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的二次齐次函数

$$
f=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} \bar{x}_i x_j \quad\left(a_{i j}=\bar{a}_{j i}\right)
$$

称为一个**厄米特二次型**；令

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right],
$$

称 $A$ 为 $f$ 的矩阵．

显然，一个厄米特二次型的矩阵是一个厄米特矩阵．我们可以把厄米特二次型用矩阵形式表示如下：

$$
f=\bar{X}^{\prime} A X .
$$

定理3．3 对厄米特二次型（2），存在一个酉矩阵 $U$ ，使在酉线性变数替换 $X=U Y$ 下它变为如下的标准形

$$
d_1 \bar{y}_1 y_1+d_2 \bar{y}_2 y_2+\cdots+d_n \bar{y}_n y_n,
$$

其中 $d_1, d_2, \cdots, d_n$ 均为实数，且除排列次序外，是被 $f$ 唯一确定的．
证 $f$ 的矩阵 $A$ 是一个厄米特矩阵。由定理3．2的推论，存在酉矩阵 $U$ ，使

$$
\bar{U}^{\prime} A U=D=\left[\begin{array}{llll}
d_1 & & & \\
& d_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & d_n
\end{array}\right]
$$

为实对角矩阵．令 $X=U Y$ ，代入
$$
\begin{aligned}
f & =\bar{X}^{\prime} A X=(\overline{U Y})^{\prime} A(U Y)=\bar{Y}^{\prime}\left(\bar{U}^{\prime} A U\right) Y \\
& =\bar{Y}^{\prime} D Y=d_1 \bar{y}_1 y_1+d_2 \bar{y}_2 y_2+\cdots+d_n \bar{y}_n y_n .
\end{aligned}
$$

现设 $f$ 经酉线性变数替换 $X=U Y$ 化为**标准形**

$$
\begin{aligned}
f & =\bar{X}^{\prime} A X \xlongequal{X=U Y} \bar{Y}^{\prime}\left(\bar{U}^{\prime} A U\right) Y \\
& =d_1 \bar{y}_1 y_1+d_2 \bar{y}_2 y_2+\cdots+d_n \bar{y}_n y_n=\bar{Y}^{\prime} D Y .
\end{aligned}
$$

则 $D=\bar{U}^{\prime} A U=U^{-1} A U$ ，即 $D$ 与 $A$ 相似．于是 $d_1, d_2, \cdots, d_n$ 恰为 $A$ 的 $n$ 个特征值，因而由 $f$ 唯一确定（除差一个排列次序外）．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：酉变换

下一篇：四维时空空间的度量与广义洛仑兹变换

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)