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四维时空空间的度量与广义洛仑兹变换

## §4 四维时空空间与辛空间

在§1中，我们利用实数域上的正定对称双线性函数在实数域上的线性空间内引进度量，形成欧氏空间的概念。但是，在实数域上的线性空间内引进度量还可以利用其他双线性函数，它们在理论上和实际应用上也有重要的意义。本节中我们将介绍在物理学中很重要的一类带度量的实数域上线性空间，即狭义相对论中所使用的四维时空空间内的度量，它是以不定实二次型作为度量的一类非欧几里得度量空间．
在§3中，我们利用复数域上一种厄米特双线性函数（不同于第五章讲的对称双线性函数）在复数域上的线性空间中引进度量，形成酉空间的概念。同样的，在复数域上的线性空间内还可以用其他双线性函数来引进度量．本节中将介绍借助满秩反对称双线性函数在复数域上的线性空间内引进度量，这就是辛空间的理论，它在理论与实际应用上同样是重要的．

## 1．四维时空空间的度量
我们先从比较一般的角度来讨论问题．设 $V$ 是实数域上的 $n$ 维线性空间，$f(\alpha, \beta)$ 是 $V$ 内满秩对称双线性函数且 $Q_f(\alpha, \alpha)$ 是不定二次型函数．在 $V$ 内定义内积：对任意 $\alpha, \beta \in V$ ，定义 $(\alpha, \beta)=f(\alpha, \beta)$ ，则称 $V$ 关于这一内积为**准欧几里得空间**．

对实数域上 $n$ 维线性空间 $V$ ，取定它的一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，又给定正整数 $r<n$ ，对

$$
\begin{aligned}
& \alpha=a_1 \varepsilon_1+a_2 \varepsilon_2+\cdots+a_n \varepsilon_n \\
& \beta=b_1 \varepsilon_1+b_2 \varepsilon_2+\cdots+b_n \varepsilon_n
\end{aligned}
$$

定义 $V$ 内向量 $\alpha, \beta$ 的内积为

$$
(\alpha, \beta)=a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_r b_r-a_{r+1} b_{r+1}-\cdots-a_n b_n,
$$

因为二次型函数 $(\alpha, \alpha)=a_1^2+\cdots+a_r^2-a_{r+1}^2-\cdots-a_n^2$ 是一个满秩不定二次型，故 $V$ 关于此内积成为准欧几里得空间。反之，对任意 $n$ 维准欧几里得空间 $V$ ，因为 $(\alpha, \alpha)$ 是满秩不定二次型函数，根据第五章定理3．2，在 $V$ 内存在一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，使对称双线性函数 $(\alpha, \beta)$ 在此组基下的矩阵是
 ![图片](/uploads/2025-10/59d83a.jpg)
 
 因而，当

$$
\alpha=a_1 \varepsilon_1+a_2 \varepsilon_2+\cdots+a_n \varepsilon_n, \quad \beta=b_1 \varepsilon_1+b_2 \varepsilon_2+\cdots+b_n \varepsilon_n
$$

时，有

$$
\begin{aligned}
(\alpha, \beta) & =\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right) G\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right] \\
& =a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_r b_r-a_{r+1} b_{r+1}-\cdots-a_n b_n .
\end{aligned}
$$

在狭义相对论中，用三个空间坐标和一个时间坐标（实际是用光速 $c$ 乘以时间 $t$ ，即 $c t$ 作为第 4 个坐标）来刻画一个物体的运动，称为**四维时空空间**，在数学上说，它就是实数域上的四维向量空间 $\mathbb{R}^4$ ，其向量表示为 $\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)$ ，其中 $x_4=c t, c$ 代表光速。

根据物理学上的考虑，在四维时空空间内按如下办法定义内积：若

$$
\alpha=\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right), \quad \beta=\left(y_1, y_2, y_3, y_4\right),
$$

则

$$
(\alpha, \beta)=x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3-x_4 y_4 .
$$

令
$$
I=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right],
$$

在 $\mathbb{R}^4$ 内取定基

$$
\begin{array}{ll}
\varepsilon_1=(1,0,0,0), & \varepsilon_2=(0,1,0,0) \\
\varepsilon_3=(0,0,1,0), & \varepsilon_3=(0,0,0,1) .
\end{array}
$$

设 $\alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4\right) X, \beta=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4\right) Y$ 。那么 $(\alpha, \beta)=X^{\prime} I Y, I$ 为对称矩阵，故 $(\alpha, \beta)$ 为对称双线性函数，在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4$ 下矩阵为 $I$ ，显然， $\mathbb{R}^4$ 关于此内积是一个准欧几里得空间。现在 $(\alpha, \alpha)$ 不一定是正实数，所以向量的长度与夹角的概念不再有意义。

在经典力学中使用保持空间向量的长度及夹角不变的变换，即三维几何空间中的正交变换，而在狭义相对论中则使用如下变换：
若

$$
\boldsymbol{A} \alpha=\boldsymbol{A}\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
c t
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
x_1^{\prime} \\
x_2^{\prime} \\
x_3^{\prime} \\
c t^{\prime}
\end{array}\right]=\alpha^{\prime}
$$

那么应有

$$
x_1^{\prime 2}+x_2^{\prime 2}+x_3^{\prime 2}-c^2 t^{\prime 2}=x_1^2+x_2^2+x_3^2-c^2 t^2 .
$$

根据 $\mathbb{R}^4$ 内上述内积定义，这意味着

$$
\begin{aligned}
(\boldsymbol{A} \alpha, \boldsymbol{A} \alpha) & =\left(\alpha^{\prime}, \alpha^{\prime}\right)=x_1^{\prime 2}+x_2^{\prime 2}+x_3^{\prime 2}-c^2 t^{\prime 2} \\
& =x_1^2+x_2^2+x_3^2-c^2 t^2=(\alpha, \alpha)
\end{aligned}
$$

与欧氏空间中的正交变换一样，上式等价于：对于任意 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}^4$ ， $(\boldsymbol{A} \alpha, \boldsymbol{A} \beta)=(\alpha, \beta)$ 。由此，我们给出如下概念。

定义 设 $\boldsymbol{A}$ 是四维时空空间 $\mathbb{R}^4$ 内的一个线性变换．如果对任意 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}^4$ 都有

$$
(\boldsymbol{A} \alpha, \boldsymbol{A} \beta)=(\alpha, \beta)
$$

则称 $\boldsymbol{A}$ 为四维时空空间 $\mathbb{R}^4$ 内的一个**广义洛仑兹（Lorentz）变换**．

对 $\mathbb{R}^4$ 内任一线性变换 $\boldsymbol{A}$ ，定义

$$
f(\alpha, \beta)=(\boldsymbol{A} \alpha, \boldsymbol{A} \beta),
$$

易知 $f(\alpha, \beta)$ 为 $\mathbb{R}^4$ 内对称双线性函数．设

$$
\begin{aligned}
\alpha= & \left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4\right) X, \quad \beta=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4\right) Y, \\
& \left(\boldsymbol{A} \varepsilon_1, \boldsymbol{A} \varepsilon_2, \boldsymbol{A} \varepsilon_3, \boldsymbol{A} \varepsilon_4\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4\right) A,
\end{aligned}
$$

则有

$$
\boldsymbol{A} \alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4\right) A X, \quad \boldsymbol{A} \beta=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4\right) A Y .
$$

那么，我们有

$$
f(\alpha, \beta)=(A X)^{\prime} I(A Y)=X^{\prime}\left(A^{\prime} I A\right) Y ;
$$

$\boldsymbol{A}$ 为广义洛仑兹变换 $\Leftrightarrow f(\alpha, \beta)=(\alpha, \beta)$

$$
\Leftrightarrow X^{\prime}\left(A^{\prime} I A\right) Y=X^{\prime} I Y \Longleftrightarrow A^{\prime} I A=I .
$$

**命题4．1** 设 $\boldsymbol{A}$ 是四维时空空间 $\mathbb{R}^4$ 内的一个线性变换．则有
（i） $\boldsymbol{A}$ 为广义洛仑兹变换的充分必要条件是它在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4$

下的矩阵 $A$ 满足 $A^{\prime} I A=I$ ；
（ii）实数域上 4 阶方阵 $A$ 满足 $A^{\prime} I A=I$ 的充分必要条件是它满足 $A I A^{\prime}=I$ ；
（iii）如果 $\boldsymbol{A}$ 为 $\mathbb{R}^4$ 内广义洛仑兹变换，设它在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4$ 下的矩阵为 $A=\left(a_{i j}\right)$ ，则 $\left|a_{44}\right| \geqslant 1$ ．

证（i）已在上面证明，现证（ii）：若 $A^{\prime} I A=I$ ，则 $A^{\prime} I A I=I^2= E$ ．这表明 $A^{\prime}$ 为 $I A I$ 的逆矩阵，于是 $(I A I) A^{\prime}=E$ ，两边左乘 $I$ ，得

$$
I(I A I) A^{\prime}=I^2 A I A^{\prime}=A I A^{\prime}=I
$$

反之，若 $A I A^{\prime}=I$ ，则 $(I A I) A^{\prime}=I^2=E$ ，于是 $A^{\prime}(I A I)=E$ ，两边右乘 $I$ 得 $A^{\prime}(I A I) I=A^{\prime} I A=I$ ．
（iii）按（i），此时有 $A^{\prime} I A=I$ ，考查两边方阵第4行第4列元素，得

$$
a_{14}^2+a_{24}^2+a_{34}^2-a_{44}^2=-1
$$

即 $a_{44}^2=1+a_{14}^2+a_{24}^2+a_{34}^2 \geqslant 1$ ，于是 $\left|a_{44}\right| \geqslant 1$ ．
狭义相对论的一个基本前提是：任何物体的运动速度小于光速 c．如果一个物体在 $t=0$ 时从坐标原点出发作匀速直线运动，经时间 $t$ 到达空间坐标为 $x_1, x_2, x_3$ 的点，那么
$$
\frac{1}{t} \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} < c
$$

即 $x_1^2+x_2^2+x_3^2-c^2 t^2 < 0$ ．四维时空空间 $\mathbb{R}^4$ 内一个向量 $\left(x_1, x_2, x_3, c t\right)$如果满足 $x_1^2+x_2^2+x_3^2-c^2 t^2<0$ ，则称它为一个类时向量．如果 $t=0$表示现在，则 $t<0$ 表示过去，$t>0$ 表示未来．因此，一个类时向量，当 $t>0$（即第 4 坐标为正实数）时，就称为一个正类时向量．

对 $\mathbb{R}^4$ 内一个广义洛仑兹变换 $\boldsymbol{A}$ ，设它在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4$ 下的矩阵是 $A=\left(a_{i j}\right)$ ，如果 $a_{44} \geqslant 1$ ，则称 $\boldsymbol{A}$ 为一个**洛仑兹变换**．

**命题4．2** 四维时空空间 $\mathbb{R}^4$ 内一个广义洛仑兹变换 $\boldsymbol{A}$ 是洛仑兹变换的充分必要条件是它把正类时向量仍变为正类时向量．

证 设 $\boldsymbol{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4$ 下的矩阵为 $A=\left(a_{i j}\right)$ 。如果 $\alpha= \left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)$ 为正类时向量，则 $\boldsymbol{A} \alpha$ 在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4$ 下的坐标为
$$
\left[\begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}
x_1^{\prime} \\
x_2^{\prime} \\
x_3^{\prime} \\
x_4^{\prime}
\end{array}\right] .
$$

因 $\boldsymbol{A}$ 为广义洛仑兹变换，故

$$
\begin{gathered}
x_1^{\prime 2}+x_2^{\prime 2}+x_3^{\prime 2}-x_4^{\prime 2}=(\boldsymbol{A} \alpha, \boldsymbol{A} \alpha)=(\alpha, \alpha) \\
=x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2<0
\end{gathered}
$$

即 $A \alpha$ 仍为类时向量．而

$$
x_4^{\prime}=a_{41} x_1+a_{42} x_2+a_{43} x_3+a_{44} x_4 .
$$

根据命题4．1，现在有 $A I A^{\prime}=I$ ，比较两边第4行第4列元素，有

$$
a_{41}^2+a_{42}^2+a_{43}^2-a_{44}^2=-1 .
$$

利用§1中的柯西－布尼雅可夫斯基不等式，由（2）式，有

$$
\begin{aligned}
\left|a_{41} x_1+a_{42} x_2+a_{43} x_3\right|^2 & \leqslant\left(a_{41}^2+a_{42}^2+a_{43}^2\right)\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right) \\
& <\left(a_{44}^2-1\right) x_4^2<a_{44}^2 x_4^2
\end{aligned}
$$
亦即 $\left|a_{41} x_1+a_{42} x_2+a_{43} x_3\right|<\left|a_{44} x_4\right|$ ．现因 $\alpha$ 为正类时向量，故 $x_4>0$ ．
（i）如果 $\boldsymbol{A}$ 为洛仑兹变换，那么 $a_{44} \geqslant 1$ ，于是由（1）式立知 $x_4^{\prime}>$ 0 ，故 $\boldsymbol{A} \alpha=\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, x_3^{\prime}, x_4^{\prime}\right)$ 为正类时向量．
（ii）如果 $\boldsymbol{A} \alpha=\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, x_3^{\prime}, x_4^{\prime}\right)$ 为正类时向量，则 $x_4^{\prime}>0$ ，由（1）式知必定 $a_{44} \geqslant 1$（参看命题4．1的（iii））．故 $\boldsymbol{A}$ 为洛仑兹变换．

从上面命题的证明可以看出，若 $\alpha=\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)$ 为类时向量，但 $x_4<0$ ，则当 $\boldsymbol{A}$ 为洛仑兹变换时，若 $\boldsymbol{A} \alpha=\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, x_3^{\prime}, x_4^{\prime}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A} \alpha$ 仍为类时向量，且仍有 $x_4^{\prime}<0$ ．

如果把四维时空空间 $\mathbb{R}^4$ 内全体洛仑兹变换所成的集合记做 $L$ ，则我们有如下事实。

命题4．3 $L$ 具有如下性质：
（i） $\boldsymbol{E} \in L$ ；
（ii）若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in L$ ，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \in L$ ；
（iii）若 $\boldsymbol{A} \in L$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 可逆，且 $\boldsymbol{A}^{-1} \in L$ ．
证（i）显然．
（ii）现在对任意 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}^4$ ，有

$$
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \alpha, \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \beta)=(\boldsymbol{B} \alpha, \boldsymbol{B} \beta)=(\alpha, \beta),
$$

故 $\boldsymbol{A B}$ 为广义洛仑兹变换．现设 $\alpha$ 为任一正类时向量， $\boldsymbol{B}$ 为洛仑兹变换，按命题4．2， $\boldsymbol{B} \alpha$ 也是正类时向量，同理， $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B} \alpha)$ 也是正类时向量。再根据命题 4.2 知 $\boldsymbol{A B}$ 为洛仑兹变换。
（iii）现在 $\boldsymbol{A} \in L$ ，由命题 4.1 知 $\boldsymbol{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4$ 下的矩阵 $A$满足 $A^{\prime} I A=I$ ，两边取行列式得 $|A|^2=1$ ，故 $\boldsymbol{A}$ 可逆．对任意 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}^4$ ，有

$$
(\alpha, \beta)=\left(\boldsymbol{A A}^{-1} \alpha, \boldsymbol{A A}^{-1} \beta\right)=\left(\boldsymbol{A}^{-1} \alpha, \boldsymbol{A}^{-1} \beta\right),
$$

这表明 $A^{-1}$ 是广义洛仑兹变换。现设 $\alpha$ 为任一正类时向量，若 $A^{-1} \alpha$不是正类时向量，但它仍为类时向量（因 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 为广义洛仑兹变换）。按照上面的说明，因 $\boldsymbol{A}$ 为洛仑兹变换，故 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{A}^{-1} \alpha\right)=\alpha$ 不是正类时向量，与假设矛盾。故 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 把正类时向量仍变为正类时向量。于是 $\boldsymbol{A}^{-1} \in$ L．

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