最后更新: 2025-10-20 06:36 查看: 64 次纠错评论(0) 课件开VIP

辛空间

## 辛空间
本段的目的，是讨论复数域上线性空间引进度量性质的另一种方法，它与酉空间大不相同，但同样有广泛的应用．我们先介绍一个一般性的概念。

**定义** 设 $f(\alpha, \beta)$ 是数域 $K$ 上的线性空间 $V$ 内的一个双线性函数．如果对一切 $\alpha, \beta \in V$ 都有

$$
f(\alpha, \beta)=-f(\beta, \alpha),
$$

则称 $f(\alpha, \beta)$ 是一个**反对称双线性函数**．
如果 $V$ 是一个 $n$ 维线性空间，那么，反对称双线性函数 $f(\alpha, \beta)$在任一组基下的矩阵 $A$ 都是反对称矩阵：$A^{\prime}=-A$ ．于是有

$$
|A|=\left|A^{\prime}\right|=|-A|=(-1)^n|A| .
$$

当 $n$ 是奇数时，得到 $|A|=-|A|$ ，故 $|A|=0$ ．这说明奇数维线性空间中的反对称双线性函数不可能是满秩的．

现设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $2 m$ 维线性空间，$f(\alpha, \beta)$ 是 $V$ 内满秩的反对称双线性函数．在 $V$ 内取一组基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_m, \varepsilon_{m+1}, \cdots, \varepsilon_{2 m}$ ，则矩阵 $\left(f\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)\right)$ 为 $2 m$ 阶满秩方阵．任取非零向量 $\alpha \in V$ ，我们必可找到
$\beta \in V$ ，使 $f(\alpha, \beta) \neq 0$ ．因为若对任意 $\beta \in V$ ，都有 $f(\alpha, \beta)=0$ ，则 $f\left(\alpha, \varepsilon_i\right)=0(i=1,2, \cdots, 2 m)$ ，设 $\alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_{2 m} \varepsilon_{2 m}$ ，则对 $i= 1,2, \cdots, 2 m$ ，有

$$
\begin{aligned}
f\left(\alpha, \varepsilon_i\right) & =x_1 f\left(\varepsilon_1, \varepsilon_i\right)+x_2 f\left(\varepsilon_2, \varepsilon_i\right)+\cdots+x_{2 m} f\left(\varepsilon_{2 m}, \varepsilon_i\right) \\
& =0
\end{aligned}
$$

这是 $x_1, x_2, \cdots, x_{2 m}$ 的一个齐次线性方程组，其系数矩阵满秩，只有零解 $x_1=x_2=\cdots=x_{2 m}=0$ ，这与 $\alpha \neq 0$ 矛盾。另外，因 $f(\alpha, \beta)$ 反对称，故对任意 $\alpha \in V, f(\alpha, \alpha)=0$ ．

现在讨论复数域上的线性空间。
定义 设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上 $n=2 m$ 维线性空间，而 $f(\alpha, \beta)$ 是 $V$内一个满秩反对称双线性函数．定义 $V$ 内两个向量 $\alpha, \beta$ 的内积为

$$
(\alpha, \beta)=f(\alpha, \beta)
$$

称具有这种内积的线性空间为**辛空间**．
我们简单介绍一下辛空间的一些基本概念。

### I．正交性
若 $(\alpha, \beta)=0$ ，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交．此时 $(\beta, \alpha)=-(\alpha, \beta)=0$ ，故正交性具有对称的性质。显然，现在每个向量 $\alpha$ 都与自己正交：$(\alpha, \alpha) =0$ ．
### II．基的度量矩阵
设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组基．令

$$
\left(\varepsilon_i, \varepsilon_j\right)=g_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),
$$

称 $G=\left(g_{i j}\right)$ 为这组基的度量矩阵，它就是双线性函数 $f(\alpha, \beta)$ 在此组基下的矩阵．若设

$$
\begin{aligned}
& \alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n \\
& \beta=y_1 \varepsilon_1+y_2 \varepsilon_2+\cdots+y_n \varepsilon_n
\end{aligned}
$$

则

$$
(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n g_{i j} x_i y_j=X^{\prime} G Y .
$$

### III．辛基
命题4．4 设 $V$ 是 $n=2 m$ 维辛空间，则在 $V$ 内存在一组基 $\eta_1$ ， $\eta_2, \cdots, \eta_n$ ，其度量矩阵为

$$
G=\left[\begin{array}{llll}
A & & & \\
& A & & \\
& & \ddots & \\
& & & A
\end{array}\right] \text {, 其中 } A=\left[\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right] \text {. }
$$

这样的基称为**第一类辛基**．
证 对 $m$ 作数学归纳法．
当 $m=1$ 时， $\operatorname{dim} V=2$ ．在 $V$ 内任取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ ．由于内积满秩，反对称，故

$$
\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)=0, \quad\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2\right)=k \neq 0, \quad\left(\varepsilon_2, \varepsilon_2\right)=0
$$

令 $\eta_1=\frac{1}{\sqrt{k}} \varepsilon_1, \eta_2=\frac{1}{\sqrt{k}} \varepsilon_2$（ $\sqrt{k}$ 为 $k$ 的任一平方根）即可。
设命题对 $2(m-1)$ 维辛空间成立，证明它对 $2 m$ 维辛空间也成立（此处设 $m \geqslant 2$ ）。

在 $V$ 内任取一非零向量 $\varepsilon_1$ ．因为内积满秩，必有 $\varepsilon_2 \in V$ ，使 $\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2\right)=k \neq 0$ 。按上面的讨论知可令 $k=1$ 。命

$$
M=\left\{\alpha \in V \mid\left(\alpha, \varepsilon_i\right)=0, i=1,2\right\}
$$

$M$ 显然为 $V$ 的子空间．若 $\alpha \in M \cap L\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2\right)$ ，则

$$
\begin{gathered}
\alpha=k_1 \varepsilon_1+k_2 \varepsilon_2 . \\
0=\left(\alpha, \varepsilon_1\right)=k_2\left(\varepsilon_2, \varepsilon_1\right) \Longrightarrow k_2=0, \\
0=\left(\alpha, \varepsilon_2\right)=k_1\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2\right) \Longrightarrow k_1=0 .
\end{gathered}
$$

故 $M \cap L\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2\right)=\{0\}$ ．另一方面 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 线性无关（因若 $\varepsilon_2=l \varepsilon_1$ ，则 $\left(\varepsilon_2, \varepsilon_1\right)=l\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)=0$ ，与假设矛盾），把它们扩充成 $V$ 的一组基

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \cdots, \varepsilon_n .
$$

设

$$
\alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n .
$$

由于齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\left(\varepsilon_1, \alpha\right)=x_1\left(\varepsilon_1, \varepsilon_1\right)+x_2\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2\right)+\cdots+x_n\left(\varepsilon_1, \varepsilon_n\right)=0, \\
\left(\varepsilon_2, \alpha\right)=x_1\left(\varepsilon_2, \varepsilon_1\right)+x_2\left(\varepsilon_2, \varepsilon_2\right)+\cdots+x_n\left(\varepsilon_2, \varepsilon_n\right)=0
\end{array}\right.
$$

的系数矩阵为此组基的度量矩阵前两行，秩为 2 ，因而它的解空间为 $\mathbb{C}^n$ 的 $n-2$ 维子空间。而 $M$ 与此解空间同构，故 $\operatorname{dim} M=n-2$ 。于是

$$
V=L\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2\right) \oplus M .
$$
现在 $M$ 内取一组基 $\varepsilon_3^{\prime}, \varepsilon_4^{\prime}, \cdots,_{2 m}^{\prime}$ ，则 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3^{\prime}, \varepsilon_4^{\prime}, \cdots, \varepsilon_{2 m}^{\prime}$ 是 $V$ 的一组基，$V$ 的内积在此组基下的度量矩阵成如下准对角形

$$
G_1=\left(\begin{array}{cc}
A & 0 \\
0 & G_2
\end{array}\right) .
$$

内积限制在 $M$ 内，在基 $\varepsilon_3^{\prime}, \varepsilon_4^{\prime}, \cdots, \varepsilon_{2 m}^{\prime}$ 下的度量矩阵为 $G_2$ 。因 $G_1$ 满秩，故 $G_2$ 为 $2(m-1)$ 阶满秩反对称矩阵。这表明 $V$ 的内积限制在 $M$ 内是一满秩反对称双线性函数．因而 $M$ 关于 $V$ 的内积是一个 $2(m-1)$维辛空间。按归纳假设，在 $M$ 内存在一组基 $\eta_3, \eta_4, \cdots, \eta_n$ ，使内积在这组基下的度量矩阵为

$$
\left[\begin{array}{rrrrr}
0 & 1 & & & \\
-1 & 0 & & & \\
& & \ddots & & \\
& & & 0 & 1 \\
& 0 & & -1 & 0
\end{array}\right] .
$$

现在再令 $\eta_1=\varepsilon_1, \eta_2=\varepsilon_2$ ，则 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 即为所求的基．

推论 设 $V$ 是 $n=2 m$ 维辛空间，则在 $V$ 内存在一组基 $\xi_1, \xi_2$ ， $\cdots, \xi_n$ ，其度量矩阵为

$$
\left[\begin{array}{cc}
0 & E \\
-E & 0
\end{array}\right],
$$

其中 $E$ 为 $m$ 阶单位矩阵。这种基称为**第二类辛基**。
证 设 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 为 $V$ 的一组第一类辛基。令

$$
\begin{aligned}
& \xi_i=\eta_{2 i-1}, \\
& \xi_{m+i}=\eta_{2 i},
\end{aligned} \quad(i=1,2, \cdots, m)
$$

通过计算内积不难验证 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 即为所求的基．
定义 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n=2 m$ 维辛空间 $V$ 内的一个线性变换。如果 $V$内一个线性变换 $A^*$ 满足如下条件：对一切 $\alpha, \beta \in V$ ，有

$$
(\boldsymbol{A} \alpha, \beta)=\left(\alpha, \boldsymbol{A}^* \beta\right),
$$

则称 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的共轭变换．
对 $V$ 内任意两个线性变换 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ ，定义

$$
f(\alpha, \beta)=(A \alpha, \beta), \quad g(\alpha, \beta)=(\alpha, B \beta),
$$

则 $f, g$ 为 $V$ 内双线性函数．在 $V$ 内取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ．设

$$
\begin{aligned}
& \alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X, \quad \beta=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) Y, \\
& \left(\boldsymbol{A} \varepsilon_1, \boldsymbol{A} \varepsilon_2, \cdots, \boldsymbol{A} \varepsilon_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A, \\
& \left(\boldsymbol{B} \varepsilon_1, \boldsymbol{B} \varepsilon_2, \cdots, \boldsymbol{B} \varepsilon_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) B,
\end{aligned}
$$

那么

$$
\boldsymbol{A} \alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)(A X), \quad \boldsymbol{B} \beta=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)(B Y) .
$$

设此组基的度量矩阵为 $G$ ，那么，

$$
\begin{gathered}
f(\alpha, \beta)=(A X)^{\prime} G Y=X^{\prime}\left(A^{\prime} G\right) Y \\
g(\alpha, \beta)=X^{\prime} G(B Y)=X^{\prime}(G B) Y
\end{gathered}
$$

$\boldsymbol{B}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的共轭变换 $\Leftrightarrow f(\alpha, \beta) \equiv g(\alpha, \beta)$

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow X^{\prime}\left(A^{\prime} G\right) Y \equiv X^{\prime}(G B) Y \\
& \Leftrightarrow A^{\prime} G=G B \Longleftrightarrow B=G^{-1} A^{\prime} G .
\end{aligned}
$$

由此可知，对 $V$ 内任意线性变换 $\boldsymbol{A}$ ，其共轭变换 $\boldsymbol{A}^*$ 是存在唯一的，它的矩阵为 $B=G^{-1} A^{\prime} G$ 。

由上面的关系式易知此时又有 $B^{\prime} G=G A$ ，而此式表示

$$
\left(\boldsymbol{A}^*\right)^*=\boldsymbol{A}
$$

$V$ 内一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ 若满足 $\boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}$ ，亦即对任意 $\alpha, \beta \in V$ 都有 $(\boldsymbol{A} \alpha, \beta)=(\alpha, \boldsymbol{A} \beta)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 称为 $V$ 内一个对称变换．显然， $\boldsymbol{A}$ 是对称变换的充分必要条件是它在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵 $A$ 满足 $A^{\prime} G=G A$ （在上面式子中令 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}, B=A$ 即得）．
$V$ 内一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ 若满足 $\boldsymbol{A}^*=-\boldsymbol{A}$ ，亦即对任意 $\alpha, \beta \in V$ 都有 $(\boldsymbol{A} \alpha, \beta)=-(\alpha, \boldsymbol{A} \beta)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 称为 $V$ 内一个反对称变换．显然， $\boldsymbol{A}$ 是反对称变换的充分必要条件是它在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵 $A$ 满足 $A^{\prime} G=-G A$ ．

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