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辛变换与辛矩阵

## 辛变换与辛矩阵
**定义**．设 $V$ 是 $n=2 m$ 维辛空间， $\boldsymbol{R}$ 是 $V$ 内一个线性变换．如果对任意 $\alpha, \beta \in V$ 都有 $(\boldsymbol{R} \alpha, \boldsymbol{R} \beta)=(\alpha, \beta)$ ，则 $\boldsymbol{R}$ 称为 $V$ 内一个辛变换．

如果 $\boldsymbol{R}$ 为辛变换，则对任意 $\alpha, \beta \in V$ ，有

$$
(\boldsymbol{R} \alpha, \boldsymbol{R} \beta)=\left(\alpha, \boldsymbol{R}^* \boldsymbol{R} \beta\right)=(\alpha, \beta)=(\alpha, \boldsymbol{E} \beta)
$$

于是 $\left(\alpha,\left(\boldsymbol{R}^* \boldsymbol{R}-\boldsymbol{E}\right) \beta\right)=0$ ，现在内积为满秩反对称双线性函数，由此式立即推出 $\left(\boldsymbol{R}^* \boldsymbol{R}-\boldsymbol{E}\right) \beta=0$（否则必有 $\alpha \in V$ ，使 $\left(\alpha,\left(\boldsymbol{R}^* \boldsymbol{R}-\boldsymbol{E}\right) \beta\right) \neq$
0 ）．此式对任意 $\beta \in V$ 均成立，故 $\boldsymbol{R}^* \boldsymbol{R}=\boldsymbol{E}$ ，于是 $\boldsymbol{R}$ 可逆且 $\boldsymbol{R}^*=\boldsymbol{R}^{-1}$ ．
反之，若 $\boldsymbol{R}$ 为 $V$ 内可逆线性变换，且 $\boldsymbol{R}^*=\boldsymbol{R}^{-1}$ ，则 $(\boldsymbol{R} \alpha, \boldsymbol{R} \beta)= \left(\alpha, \boldsymbol{R}^* \boldsymbol{R} \beta\right)=(\alpha, \beta)$ ，故 $\boldsymbol{R}$ 为辛变换．因此我们有如下结论．

命题4．5 设 $\boldsymbol{R}$ 为 $n=2 m$ 维辛空间 $V$ 内一线性变换，则 $\boldsymbol{R}$ 为辛变换的充分必要条件是 $\boldsymbol{R}$ 可逆，且 $\boldsymbol{R}^*=\boldsymbol{R}^{-1}$ 。如果 $\boldsymbol{R}$ 在 $V$ 的基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ ， $\cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵为 $R, G$ 为 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 的度量矩阵，那么 $\boldsymbol{R}$ 为辛变换的充分必要条件是 $R^{\prime} G R=G$ 。

证 命题前半部分前面已证，现证后半部分．
必要性 $\boldsymbol{R}$ 为辛变换，则 $\boldsymbol{R}$ 可逆，故其矩阵 $R$ 可逆，且 $\boldsymbol{R}^*$ 的矩阵为 $R^{-1}$ 。前面已给出 $\boldsymbol{R}^*$ 的矩阵和 $\boldsymbol{R}$ 的矩阵应满足的关系式：$R^{-1} =G^{-1} R^{\prime} G$ ，由此立得 $R^{\prime} G R=G$ ．

充分性 若 $R^{\prime} G R=G$ ，因 $G$ 满秩，故 $R$ 可逆，且 $R^{-1}=G^{-1} R^{\prime} G$ ，它恰为 $\boldsymbol{R}^*$ 在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵，这表明 $\boldsymbol{R}$ 可逆，且 $\boldsymbol{R}^{-1}=\boldsymbol{R}^*$ ，即 $\boldsymbol{R}$为辛变换．

上面命题对 $V$ 内任一组基都成立．
设 $\boldsymbol{R}$ 为辛空间 $V$ 内一个辛变换，又设 $\varepsilon_1, \eta_1, \varepsilon_2, \eta_2, \cdots, \varepsilon_m, \eta_m$ 为 $V$内一组第一类辛基．此时其度量矩阵为

$$
G=\left[\begin{array}{rrrrr}
0 & 1 & & & \\
-1 & 0 & & & \\
& & \ddots & & \\
& & & 0 & 1 \\
& & & -1 & 0
\end{array}\right]
$$

$\boldsymbol{R}$ 在此组基下的矩阵设为 $R$ ，则有

$$
R^{\prime} G R=G .
$$

一个满足上述条件的 $n$ 阶复方阵 $R$ 称为一个 $2 m$ 阶辛矩阵。
下面我们来介绍一类重要的辛变换。取定复数 $c$ ，又设 $\varepsilon$ 为辛空间 $V$ 内一非零向量，定义 $V$ 内线性变换：

$$
\boldsymbol{T} \alpha=\alpha+c(\alpha, \varepsilon) \varepsilon .
$$

对任意 $\alpha, \beta \in V$ ，我们有

$$
(\boldsymbol{T} \alpha, \boldsymbol{T} \beta)=(\alpha+c(\alpha, \varepsilon) \varepsilon, \beta+c(\beta, \varepsilon) \varepsilon)
$$

$$
\begin{aligned}
= & (\alpha, \beta)+c(\alpha, \varepsilon)(\varepsilon, \beta)+c(\beta, \varepsilon)(\alpha, \varepsilon) \\
& +c^2(\alpha, \varepsilon)(\beta, \varepsilon)(\varepsilon, \varepsilon) \\
= & (\alpha, \beta)-c(\alpha, \varepsilon)(\beta, \varepsilon)+c(\beta, \varepsilon)(\alpha, \varepsilon) \\
= & (\alpha, \beta)
\end{aligned}
$$

故 $\boldsymbol{T}$ 为 $V$ 内一个辛变换，这种辛变换称为辛空间 $V$ 的辛平移．
为了确切地描述辛平移，我们使用记号

$$
\boldsymbol{T}(c, \varepsilon) \alpha=\alpha+c(\alpha, \varepsilon) \varepsilon
$$

来表示辛平移．
命题4．6 设 $V$ 为 $2 m$ 维辛空间，$\varepsilon$ 为 $V$ 内一非零向量，则有
（i）对任意复数 $c_1, c_2$ 有

$$
\boldsymbol{T}\left(c_1, \varepsilon\right) \boldsymbol{T}\left(c_2, \varepsilon\right)=\boldsymbol{T}\left(c_1+c_2, \varepsilon\right) ;
$$

（ii）设 $\boldsymbol{R}$ 为 $V$ 内任一辛变换，那么

$$
\boldsymbol{R} \boldsymbol{T}(c, \varepsilon) \boldsymbol{R}^{-1}=\boldsymbol{T}(c, \boldsymbol{R}(\varepsilon)) ;
$$

（iii）设 $a$ 为非零复数，我们有

$$
\boldsymbol{T}(c, a \varepsilon)=\boldsymbol{T}\left(a^2 c, \varepsilon\right)
$$
证（i）按辛平移的定义，我们有

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{T}\left(c_1,\right. & \varepsilon) \boldsymbol{T}\left(c_2, \varepsilon\right) \alpha=\boldsymbol{T}\left(c_1, \varepsilon\right)\left(\alpha+c_2(\alpha, \varepsilon) \varepsilon\right) \\
& =\alpha+c_1(\alpha, \varepsilon) \varepsilon+c_2(\alpha, \varepsilon)\left(\varepsilon+c_1(\varepsilon, \varepsilon) \varepsilon\right) \\
& =\alpha+\left(c_1+c_2\right)(\alpha, \varepsilon) \varepsilon \\
& =\boldsymbol{T}\left(c_1+c_2, \varepsilon\right) \alpha
\end{aligned}
$$

（ii）同样地，我们有

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{R} \boldsymbol{T}(c, \varepsilon) \boldsymbol{R}^{-1}(\alpha) & =\boldsymbol{R}\left(\boldsymbol{R}^{-1}(\alpha)+c\left(\boldsymbol{R}^{-1}(\alpha), \varepsilon\right) \varepsilon\right) \\
& =\alpha+c\left(\boldsymbol{R}^{-1}(\alpha), \varepsilon\right) \boldsymbol{R}(\varepsilon) \\
& =\alpha+c\left(\boldsymbol{R}^*(\alpha), \varepsilon\right) \boldsymbol{R}(\varepsilon) \\
& =\alpha+c(\alpha, \boldsymbol{R}(\varepsilon)) \boldsymbol{R}(\varepsilon) \\
& =\boldsymbol{T}(c, \boldsymbol{R}(\varepsilon))(\alpha)
\end{aligned}
$$

（iii）我们有

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{T}(c, a \varepsilon)(\alpha) & =\alpha+c(\alpha, a \varepsilon)(a \varepsilon) \\
& =\alpha+a^2 c(\alpha, \varepsilon) \varepsilon \\
& =\boldsymbol{T}\left(a^2 c, \varepsilon\right)(\alpha)
\end{aligned}
$$
如果 $(\alpha, \varepsilon)=0$ ，那么 $\boldsymbol{T}(c, \varepsilon) \alpha=\alpha$ ．特别地，在辛空间中有 $(\varepsilon, \varepsilon)=$ 0 ，故 $\boldsymbol{T}(c, \varepsilon) \varepsilon=\varepsilon$ ．

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