最后更新: 2025-10-20 07:00 查看: 42 次纠错评论(0) 课件开VIP

欧氏空间中的旋转

## 欧氏空间中的旋转
本段来对欧氏空间中的旋转作深一步的讨论。一个 $n$ 维欧氏空间内的线性变换 $\boldsymbol{A}$ ，如果在一组标准正交基下的矩阵 $A$ 是正交矩阵且其行列式为 1 ，则称为该欧氏空间中的一个**旋转**．如果又有一线性变换 $\boldsymbol{S}$ ，它在一组标准正交基下的矩阵 $S$ 为反对称矩阵，则称 $\boldsymbol{S}$ 为反对称变换．从表面上看，这两者是互不相干的．但借助矩阵函数，我们可以揭示它们之间存在一个深刻的联系，这是矩阵函数的一个重要应用．

**命题4．3** 设 $A$ 是实数域上的 $n$ 阶方阵，则 $A$ 是正交矩阵且行列式为 1 的充分必要条件是存在实数域上 $n$ 阶反对称矩阵 $S$ ，使 $A =\mathrm{e}^s$ ．

证 充分性 若 $A=\mathrm{e}^S$ ，则 $A^{\prime}=\left(\mathrm{e}^S\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{S^{\prime}}=\mathrm{e}^{-S}=\left(\mathrm{e}^S\right)^{-1}=A^{-1}$ ，这表明 $A$ 为正交矩阵，又 $|A|=\left|\mathrm{e}^S\right|=\mathrm{e}^{\mathrm{Tr}(S)}=\mathrm{e}^0=1$（反对称矩阵主对角线上元素全为 0 ，故其迹为 0 ）。

必要性 考查实数域上的二阶反对称矩阵

$$
\bar{R}=\left[\begin{array}{cc}
0 & -\vartheta \\
\vartheta & 0
\end{array}\right],
$$

其特征多项式 $|\lambda E-\bar{R}|=\lambda^2+\vartheta^2$ ，有两根 $\lambda_1=\mathrm{i} \vartheta, \lambda_2=-\mathrm{i} \vartheta$ 。在 $\mathbb{C}$ 内 $\bar{R}$相似于对角矩阵。根据第四章§4所指出的办法，计算 $\bar{R}$ 在 $\mathbb{C}$ 内特征向量，可得

$$
\left[\begin{array}{rr}
-\mathrm{i} & \mathrm{i} \\
1 & 1
\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rr}
0 & -\vartheta \\
\vartheta & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
-\mathrm{i} & \mathrm{i} \\
1 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
-\mathrm{i} \vartheta & 0 \\
0 & \mathrm{i} \vartheta
\end{array}\right]=J .
$$

于是

$$
\begin{aligned}
\mathrm{e}^{\bar{R}} & =\left[\begin{array}{rr}
-\mathrm{i} & \mathrm{i} \\
1 & 1
\end{array}\right] \mathrm{e}^J\left[\begin{array}{rr}
-\mathrm{i} & \mathrm{i} \\
1 & 1
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{rr}
-\mathrm{i} & \mathrm{i} \\
1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \vartheta} & 0 \\
0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i} \vartheta}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
-\mathrm{i} & \mathrm{i} \\
1 & 1
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{rr}
\cos \vartheta & -\sin \vartheta \\
\sin \vartheta & \cos \vartheta
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

另一方面，根据第六章§2定理2．1，存在 $n$ 阶正交矩阵 $T$ ，使

$$
T^{-1} A T=\left[\begin{array}{cccccc}
\lambda_1 & & & & & \\
& \ddots & & & 0 & \\
& & \lambda_k & & & \\
& & & S_1 & & \\
& 0 & & & \ddots & \\
& & & & & S_l
\end{array}\right], \quad S_i=\left[\begin{array}{cc}
\cos \varphi_i & -\sin \varphi_i \\
\sin \varphi_i & \cos \varphi_i
\end{array}\right],
$$

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ 为 $\pm 1$ ．因 $\left|S_i\right|=1$ ，故

$$
\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_k=\left|T^{-1} A T\right|=|A|=1 .
$$

即 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ 中必有偶数个 -1 ，设

$$
S_{l+j}=\left[\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right], \quad j=1,2, \cdots, t .
$$

则可设
 
  ![图片](/uploads/2025-10/7308b3.jpg)

其中 $\lambda_1=\cdots=\lambda_r=1$ ．根据前面讨论，我们有

$$
\begin{aligned}
& S_i=\mathrm{e}^{R_i}, \quad R_i=\left[\begin{array}{rr}
0 & -\varphi_i \\
\varphi_i & 0
\end{array}\right], \\
& S_{l+j}=\mathrm{e}^{R_{l+j}}, \quad R_{l+j}=\left[\begin{array}{rr}
0 & -\pi \\
\pi & 0
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

如令
 ![图片](/uploads/2025-10/4fe4a7.jpg)
 
 则
  ![图片](/uploads/2025-10/f00d0e.jpg)
  
  而
  
  $$
A=T S T^{-1}=T \mathrm{e}^R T^{-1}=\mathrm{e}^{T R T^{-1}}=\mathrm{e}^{T R T},
$$

因 $R^{\prime}=-R,\left(T R T^{\prime}\right)^{\prime}=T R^{\prime} T^{\prime}=-T R T^{\prime}$ ．故 $T R T^{\prime}$ 为实反对称矩阵。 $\quad 1$

将欧氏空间中的旋转用反对称矩阵表示，在较深入的数学理论中有重要的应用。而对于三维几何空间中的旋转，借助命题4．3，可以给出其矩阵的一个在力学中有用的表达式．

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