最后更新: 2025-10-20 06:59 查看: 55 次纠错评论(0) 课件开VIP

矩阵函数的求法

## 矩阵函数的求法
命题4．2的证明过程实际上给出了计算 $f(A)$ 的一个具体方法．我们把这个方法综合成如下几个步骤：

1）先求出幂级数 $\sum_{i=0}^{+\infty} a_i x^i$ 的收敛半径 $R$ 及其和函数 $f(x)$ ．
2）求矩阵 $T \in M_n(\mathbb{C}),|T| \neq 0$ ，使 $T^{-1} A T=J$ 成 Jordan 形：

$$
J=\left[\begin{array}{cccc}
J_1 & & & 0 \\
& J_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & J_r
\end{array}\right], \quad J_i=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_i & 1 & & 0 \\
& \lambda_i & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
0 & & & \lambda_i
\end{array}\right]_{n_i \times n_i}
$$

并判断是否 $\left|\lambda_i\right|<R(i=1,2, \cdots, r)$ ．
3）若 $\left|\lambda_i\right|<R(i=1,2, \cdots, r)$ ，作

![图片](/uploads/2025-10/e61e09.jpg)
 
 
4）写出 $f(A)=T S T^{-1}$ ，即为所求．

例 4.1 设

$$
A=\left[\begin{array}{lll}
9 & -9 & 4 \\
7 & -7 & 4 \\
3 & -4 & 4
\end{array}\right] .
$$

取

$$
T=\left[\begin{array}{rrr}
6 & -1 & -11 \\
2 & -1 & -2 \\
1 & -1 & 0
\end{array}\right], \quad T^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}
-2 & 11 & -9 \\
-2 & 11 & -10 \\
-1 & 5 & -4
\end{array}\right] .
$$

我们有

$$
T A T^{-1}=\left[\begin{array}{lll}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right]=J
$$

此时

$$
\mathrm{e}^J=\left[\begin{array}{ccc}
\mathrm{e}^2 & \mathrm{e}^2 & \frac{1}{2} \mathrm{e}^2 \\
0 & \mathrm{e}^2 & \mathrm{e}^2 \\
0 & 0 & \mathrm{e}^2
\end{array}\right]=\frac{\mathrm{e}^2}{2}\left[\begin{array}{lll}
2 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right] .
$$

因而
$$
\mathrm{e}^A=T^{-1} \mathrm{e}^J T=\frac{\mathrm{e}^2}{2}\left[\begin{array}{ccc}
14 & -16 & 8 \\
12 & -14 & 8 \\
5 & -7 & 6
\end{array}\right]
$$

在所有矩阵函数中，指数函数 $\mathrm{e}^A$ 应用最广，所以我们在这里对它作一些进一步的讨论。

1）如果 $A$ 相似于对角矩阵：

$$
T^{-1} A T=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & & & 0 \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & \lambda_n
\end{array}\right]=J,
$$

那么

$$
\mathrm{e}^J=\left[\begin{array}{cccc}
\mathrm{e}^{\lambda_1} & & & 0 \\
& \mathrm{e}^{\lambda_2} & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & \mathrm{e}^{\lambda_n}
\end{array}\right],
$$
故

$$
\mathrm{e}^A=T\left[\begin{array}{cccc}
\mathrm{e}^{\lambda_1} & & & 0 \\
& \mathrm{e}^{\lambda_2} & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & \mathrm{e}^{\lambda_n}
\end{array}\right] T^{-1} .
$$

2）$\left|\mathrm{e}^A\right|=\mathrm{e}^{\operatorname{Tr}(A)}$ ．
为证明这个结论，设 $T^{-1} A T=J$ 为 Jordan 形，我们有

$$
\mathrm{e}^J=\left[\begin{array}{cccc}
S_1 & & & 0 \\
& S_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & S_r
\end{array}\right], \quad S_i=\left[\begin{array}{cccc}
\mathrm{e}^{\lambda_i} & & * & \\
& \mathrm{e}^{\lambda_i} & & \\
0 & & & \mathrm{e}^{\lambda_1}
\end{array}\right]_{n_1 \times n_i} .
$$

显然 $\mathrm{e}^J$ 的行列式

$$
\left|\mathrm{e}^J\right|=\left|S_1\right|\left|S_2\right| \cdots\left|S_r\right|=\mathrm{e}^{n_1 \lambda_1+n_2 \lambda_2+\cdots+n_r \lambda_r}=\mathrm{e}^{\operatorname{Tr}(J)}=\mathrm{e}^{\operatorname{Tr}(A)} .
$$

而 $\mathrm{e}^A=T \mathrm{e}^J T^{-1}$ ，故 $\left|\mathrm{e}^A\right|=\left|\mathrm{e}^J\right|=\mathrm{e}^{\mathrm{T}_{\mathrm{r}} A}$ 。
从这里可知：对任意 $A \in M_n(\mathbb{C}), \mathrm{e}^A$ 都是可逆方阵。
3）如果 $A B=B A$ ，则 $\mathrm{e}^A \cdot \mathrm{e}^B=\mathrm{e}^{A+B}$ ．
这个结论的严格证明需要有矩阵级数的乘法理论，我们这里只粗略地描述一下证明的大致线索：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{e}^A \cdot \mathrm{e}^B & =\left(\sum_{r=0}^{+\infty} \frac{1}{r!} A^r\right)\left(\sum_{s=0}^{+\infty} \frac{1}{s!} B^s\right)=\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\sum_{r+s=k} \frac{1}{r!s!} A^r B^s\right) \\
& =\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}(A+B)^k=\mathrm{e}^{A+B} .
\end{aligned}
$$

当 $A$ 与 $B$ 不可交换时， $\mathrm{e}^A \cdot \mathrm{e}^B$ 一般不等于 $\mathrm{e}^{A+B}$ 。
根据上面的公式，我们有

$$
\mathrm{e}^A \cdot \mathrm{e}^{-A}=\mathrm{e}^0=E,
$$

故 $\left(\mathrm{e}^A\right)^{-1}=\mathrm{e}^{-A}$ ．
4）$T^{-1}\left(\mathrm{e}^A\right) T=\mathrm{e}^{T^{-1} A T}$ ．
这是命题4．1的推论。因

$$
\mathrm{e}^A=E+\frac{1}{1!} A+\frac{1}{2!} A^2+\cdots,
$$
故

$$
\begin{aligned}
T^{-1}\left(\mathrm{e}^A\right) T & =E+\frac{1}{1!}\left(T^{-1} A T\right)+\frac{1}{2!}\left(T^{-1} A T\right)^2+\cdots \\
& =\mathrm{e}^{T^{-1} A T}
\end{aligned}
$$

上面的等式是考虑前 $m$ 项部分和的极限，借助命题4．1得出的．
5）设 $A$ 的 $n$ 个特征值是 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ，则 $\mathrm{e}^A$ 的 $n$ 个特征值是 $\mathrm{e}^{\lambda_1}, \mathrm{e}^{\lambda_2}, \cdots, \mathrm{e}^{\lambda_n}$ ．一般地，有 $f(A)$ 的 $n$ 个特征值是 $f\left(\lambda_1\right), f\left(\lambda_2\right), \cdots$ ， $f\left(\lambda_n\right)$ ．

这是因为，设 $T^{-1} A T=J$ ，而

那么，我们已知 $f(A)=T f(J) T^{-1}$ ，故 $A$ 与 $J, f(A)$ 与 $f(J)$ 特征值相同。而

$$
f(J)=\left[\begin{array}{llll}
f\left(J_1\right) & & & \\
& f\left(J_2\right) & & \\
& & \ddots & \\
& & & f\left(J_r\right)
\end{array}\right],
$$

且

$$
f\left(J_i\right)=\left[\begin{array}{cccc}
f\left(\lambda_i\right) & & * & \\
& f\left(\lambda_i\right) & & \\
0 & & \ddots & \\
& & & f\left(\lambda_i\right)
\end{array}\right]_{n_i \times n_i}
$$

由上式知 $f(J)$ 的特征多项式（亦即 $f(A)$ 的特征多项式）为

$$
|\lambda E-f(J)|=\left(\lambda-f\left(\lambda_1\right)\right)^{n_1}\left(\lambda-f\left(\lambda_2\right)\right)^{n_2} \cdots\left(\lambda-f\left(\lambda_r\right)\right)^{n_r} .
$$

而 $J$（也就是 $A$ ）的特征多项式为

$$
|\lambda E-J|=\left(\lambda-\lambda_1\right)^{n_1}\left(\lambda-\lambda_2\right)^{n_2} \cdots\left(\lambda-\lambda_r\right)^{n_r} .
$$

故知 5）中的结论成立．

现设幂级数

$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots
$$

的收敛半径为 $R$ ．如果 $n$ 阶复方阵 $A$ 的全部特征值都在圆 $|x|<R$内部，那么

$$
f(A)=a_0 E+a_1 A+a_2 A^2+\cdots
$$

此时，按习题二第 10 题，$A^{\prime}$ 与 $A$ 相似，故 $A^{\prime}$ 的特征值也在圆 $|x|<R$内部，于是 $f\left(A^{\prime}\right)$ 有定义．我们有

1）$(f(A))^{\prime}=f\left(A^{\prime}\right) ;$ 特别地，$\left(\mathrm{e}^A\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{A^{\prime}}\left(\forall A \in M_n(\mathbb{C})\right)$ 。
这只要考虑部分和

$$
g_m(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_m x^m
$$

显然有

$$
\begin{aligned}
\left(g_m(A)\right)^{\prime} & =\left(a_0 E+a_1 A+\cdots+a_m A^m\right)^{\prime} \\
& =a_0 E+a_1 A^{\prime}+\cdots+a_m A^{\prime m}=g_m\left(A^{\prime}\right)
\end{aligned}
$$

令 $m \rightarrow+\infty$ ，则 $g_m(A) \rightarrow f(A),\left(g_m(A)\right)^{\prime} \rightarrow(f(A))^{\prime}, g_m\left(A^{\prime}\right) \rightarrow f\left(A^{\prime}\right)$ ．故上面的公式成立．

![图片](/uploads/2025-10/53cd42.jpg)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：矩阵函数

下一篇：欧氏空间中的旋转

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)