最后更新: 2025-10-20 06:58 查看: 17 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵函数

## 矩阵函数
考查复系数幂级数
$$
a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots .
$$

如果令 $x=x_0 \in \mathbb{C}$ 代入，得到的复数项级数 $a_0+a_1 x_0+a_2 x_0^2+\cdots$ 收敛，则称幂级数（3）在复平面上的点 $x_0$ 处收敛．使幂级数（3）收敛的复平面上的点的全体组成 $\mathbb{C}$ 的一个子集 $D$ 称为（3）的收敛区域。容易证明，如果（3）在 $x_0$ 点收敛，则对一切 $|x|<\left|x_0\right|$ 的点 $x$ ，（3）都收敛．由此容易证明：存在一个以原点为中心的圆，使（3）在圆内一切点都收敛，在圆外一切点处都发散，此圆称为（3）的收敛圆，其半径 $R$称为（3）的收敛半径（ $R$ 可以是无穷大）。令

$$
D=\{x \in \mathbb{C} \quad| | x \mid<R\},
$$

则对 $D$ 内一切点，（3）都收敛．对 $D$ 内的每个复数 $x$ ，（3）式有一个和，记为 $f(x)$ ，即

$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots \quad(|x|<R) .
$$

于是 $f(x)$ 是定义在 $D$ 内的一个复变量 $x$ 的函数．
例如，下面三个级数

$$
\begin{aligned}
& 1+\frac{1}{1!} x+\frac{1}{2!} x^2+\cdots+\frac{1}{k!} x^k+\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} x^k \\
& x-\frac{1}{3!} x^3+\frac{1}{5!} x^5-\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2 k+1)!} x^{2 k+1} \\
& 1-\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{4!} x^4-\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2 k)!} x^{2 k}
\end{aligned}
$$

其收敛半径 $R=+\infty$ ，即在整个复平面处处收敛，它们的和分别记为 $\mathrm{e}^x, \sin x, \cos x$ ．而级数

$$
x-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3} x^3-\cdots=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k
$$

的收敛半径 $R=1$ ，其和记为 $\ln (1+x)$ ．这是定义在单位圆内部的复变量 $x$ 的函数．这些事实在＂复变函数论＂的课程中将会作详细的阐述．我们这里不作证明．

如果幂级数（3）中只有有限个系数不为零，它就变成多项式

$$
f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_k x^k \in \mathbb{C}[x] .
$$

这时，以任一复矩阵 $A$ 代入，我们得到的仍是一个复矩阵
$$
f(A)=a_0 E+a_1 A+\cdots+a_k A^k
$$

这是读者在线性代数课程中就已经熟知的事实了．如果把上式中的 $A$ 看做是在 $M_n(\mathbb{C})$ 内变化的矩阵，那么 $f(A)$ 就是定义在 $M_n(\mathbb{C})$ 上的一个函数（其函数值仍在 $M_n(\mathbb{C})$ 内）。如果采用读者比较习惯的记号，那就应当把它写成 $f(X)\left(X \in M_n(\mathbb{C})\right)$ ．

现在问：如果（3）式中有无限多项的系数不为零，那么，以 $A \in M_n(\mathbb{C})$ 代入，得到的

$$
a_0 E+a_1 A+a_2 A^2+\cdots+a_k A^k+\cdots
$$

是什么呢？显然，这只有当上面的矩阵级数收敛时，它才有意义。而如果上述矩阵级数收敛，那么其和仍是一个复 $n$ 阶方阵。这时我们也说矩阵幂级数（4）在 $M_n(\mathbb{C})$ 内的＂点＂$A$ 处收敛。把 $M_n(\mathbb{C})$ 内使（4）收敛的全体矩阵所成的子集记做 $\mathscr{D}$ ，则 $\mathscr{D}$ 称为矩阵幂级数（4）的收敛区域。对于 $\mathscr{D}$ 内每个点 $A$ ，由（4）式确定出一个唯一的 $n$ 阶复方阵，所以（4）式可以看做是定义在集合 $\mathscr{D}$ 上的一个函数。其＂自变量＂是 $\mathscr{D}$内的矩阵，其＂函数值＂是 $M_n(\mathbb{C})$ 内的矩阵。我们称这种新型的函数为矩阵函数．

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