最后更新: 2025-10-20 06:58 查看: 27 次纠错评论(0) 课件开VIP

矩阵函数

## 矩阵函数
考查复系数幂级数
$$
a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots .
$$

如果令 $x=x_0 \in \mathbb{C}$ 代入，得到的复数项级数 $a_0+a_1 x_0+a_2 x_0^2+\cdots$ 收敛，则称幂级数（3）在复平面上的点 $x_0$ 处收敛．使幂级数（3）收敛的复平面上的点的全体组成 $\mathbb{C}$ 的一个子集 $D$ 称为（3）的收敛区域。容易证明，如果（3）在 $x_0$ 点收敛，则对一切 $|x|<\left|x_0\right|$ 的点 $x$ ，（3）都收敛．由此容易证明：存在一个以原点为中心的圆，使（3）在圆内一切点都收敛，在圆外一切点处都发散，此圆称为（3）的收敛圆，其半径 $R$称为（3）的收敛半径（ $R$ 可以是无穷大）。令

$$
D=\{x \in \mathbb{C} \quad| | x \mid<R\},
$$

则对 $D$ 内一切点，（3）都收敛．对 $D$ 内的每个复数 $x$ ，（3）式有一个和，记为 $f(x)$ ，即

$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots \quad(|x|<R) .
$$

于是 $f(x)$ 是定义在 $D$ 内的一个复变量 $x$ 的函数．
例如，下面三个级数

$$
\begin{aligned}
& 1+\frac{1}{1!} x+\frac{1}{2!} x^2+\cdots+\frac{1}{k!} x^k+\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} x^k \\
& x-\frac{1}{3!} x^3+\frac{1}{5!} x^5-\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2 k+1)!} x^{2 k+1} \\
& 1-\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{4!} x^4-\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2 k)!} x^{2 k}
\end{aligned}
$$

其收敛半径 $R=+\infty$ ，即在整个复平面处处收敛，它们的和分别记为 $\mathrm{e}^x, \sin x, \cos x$ ．而级数

$$
x-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3} x^3-\cdots=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k
$$

的收敛半径 $R=1$ ，其和记为 $\ln (1+x)$ ．这是定义在单位圆内部的复变量 $x$ 的函数．这些事实在＂复变函数论＂的课程中将会作详细的阐述．我们这里不作证明．

如果幂级数（3）中只有有限个系数不为零，它就变成多项式

$$
f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_k x^k \in \mathbb{C}[x] .
$$

这时，以任一复矩阵 $A$ 代入，我们得到的仍是一个复矩阵
$$
f(A)=a_0 E+a_1 A+\cdots+a_k A^k
$$

这是读者在线性代数课程中就已经熟知的事实了．如果把上式中的 $A$ 看做是在 $M_n(\mathbb{C})$ 内变化的矩阵，那么 $f(A)$ 就是定义在 $M_n(\mathbb{C})$ 上的一个函数（其函数值仍在 $M_n(\mathbb{C})$ 内）。如果采用读者比较习惯的记号，那就应当把它写成 $f(X)\left(X \in M_n(\mathbb{C})\right)$ ．

现在问：如果（3）式中有无限多项的系数不为零，那么，以 $A \in M_n(\mathbb{C})$ 代入，得到的

$$
a_0 E+a_1 A+a_2 A^2+\cdots+a_k A^k+\cdots
$$

是什么呢？显然，这只有当上面的矩阵级数收敛时，它才有意义。而如果上述矩阵级数收敛，那么其和仍是一个复 $n$ 阶方阵。这时我们也说矩阵幂级数（4）在 $M_n(\mathbb{C})$ 内的＂点＂$A$ 处收敛。把 $M_n(\mathbb{C})$ 内使（4）收敛的全体矩阵所成的子集记做 $\mathscr{D}$ ，则 $\mathscr{D}$ 称为矩阵幂级数（4）的收敛区域。对于 $\mathscr{D}$ 内每个点 $A$ ，由（4）式确定出一个唯一的 $n$ 阶复方阵，所以（4）式可以看做是定义在集合 $\mathscr{D}$ 上的一个函数。其＂自变量＂是 $\mathscr{D}$内的矩阵，其＂函数值＂是 $M_n(\mathbb{C})$ 内的矩阵。我们称这种新型的函数为矩阵函数．

下面我们来讨论（4）式对于什么样的 $n$ 阶复方阵 $A$ 是收敛的．对于复 $n$ 阶方阵 $A$ ，存在 $T \in M_n(K)$ ，使 $T^{-1} A T=J$ 为 Jordan 形：

$$
J=\left[\begin{array}{cccc}
J_1 & & & 0 \\
& J_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & J_s
\end{array}\right], \quad J_i=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_i & 1 & & 0 \\
& \lambda_i & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
0 & & & \lambda_i
\end{array}\right]_{n_i \times n_i}
$$

从前面关于命题4．1的讨论可知，矩阵幂级数（4）收敛等价于

$$
a_0 E+a_1 J+a_2 J^2+\cdots
$$

收敛．而上面的矩阵幂级数收敛的充分必要条件是，对一切 $i=1,2$ ， $\cdots, s$ ，下面的矩阵幂级数收敛：

$$
a_0 E+a_1 J_i+a_2 J_i^2+\cdots ...(5)
$$

现在 $J_i$ 是一个 Jordan 块．

为了讨论矩阵幂级数（5）的收敛性，我们需要如下的引理．
引理 设 $J$ 是一个 $n$ 阶 Jordan 块，

$$
J=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda & 1 & & 0 \\
& \lambda & \ddots & \\
& & \ddots & .1 \\
0 & & & \lambda
\end{array}\right]_{n \times n}=\lambda E+I
$$

则对任意次数 $\geqslant n$ 的多项式 $g(x)$ ，有

![图片](/uploads/2025-10/aec847.jpg)
 
 证 设 $g(x)=b_0+b_1 x+\cdots+b_m x^m(m \geqslant n)$ ．我们有

$$
\begin{aligned}
g(J) & =\sum_{k=0}^m b_k(\lambda E+I)^k=\sum_{k=0}^m b_k \sum_{j=0}^k\binom{k}{j} \lambda^{k-j} I^j \\
& =\sum_{j=0}^m\left(\sum_{k=j}^m b_k\binom{k}{j} \lambda^{k-j}\right) I^j .
\end{aligned}
$$

注意到

$$
b_k\binom{k}{j} \lambda^{k-j}=b_k \frac{k(k-1) \cdots(k-j+1)}{j!} \lambda^{k-j}=\left.\frac{b_k}{j!} \frac{\mathrm{d}^j}{\mathrm{~d} x^j}\left(x^k\right)\right|_{x=\lambda},
$$

又因当 $j \geqslant n$ 时，$I^j=0$ ，代入上面的式子，我们得

$$
\begin{aligned}
g(J) & =\left.\sum_{j=0}^{n-1} \sum_{k=j}^m b_k \frac{1}{j!} \frac{\mathrm{d}^j}{\mathrm{~d} x^j}\left(x^k\right)\right|_{x=\lambda} \cdot I^j \\
& =\left.\sum_{j=0}^{n-1} \frac{1}{j!} \frac{\mathrm{d}^j}{\mathrm{~d} x^j}\left(\sum_{k=0}^m b_k x^k\right)\right|_{x=\lambda} \cdot I^j \\
& =\sum_{j=0}^{n-1} \frac{1}{j!} g^{(j)}(\lambda) I^j
\end{aligned}
$$
从 § 1 指出的关于幂零 Jordan 块的乘法性质可知上式即为引理所要求的表达式。

下面的讨论需要使用幂级数理论的一点基本知识。它的严格阐述留到复变函数课程中去进行，这里只把结果作一介绍。

给定幂级数

$$
a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_m x^m+\cdots,
$$

设它的收敛半径为 $R$ ，于是在收敛圆 $|x|<R$ 内它收敛到一个函数

$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_m x^m+\cdots .
$$

在圆 $|x|<R$ 内任意点 $x_0, f(x)$ 是任意次可微的，且可对级数逐项求微商，逐项微商后所得新幂级数的收敛半径也是 $R$ ．即当 $|x|<R$ 时，有

$$
f^{\prime}(x)=a_1+2 a_2 x+\cdots+m a_m x^{m-1}+\cdots
$$

$f(x)$ 的高阶导数也同样可由逐项求高阶导数得出．于是，设上述幂级数部分和为

$$
g_m(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_m x^m
$$

那么，当 $|x|<R$ 时，有

$$
\lim _{m \rightarrow+\infty} g_m(x)=f(x), \quad \lim _{m \rightarrow+\infty} g_m^{(j)}(x)=f^{(j)}(x)
$$

下面给出本节主要命题．

命题 4.2 设幂级数

$$
a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots
$$

的收敛半径为 $R$ ．又设 $A \in M_n(\mathbb{C}), A$ 的所有特征值都在圆 $|x|<R$内部，则矩阵幂级数

$$
a_0 E+a_1 A+a_2 A^2+\cdots
$$

收敛。
证 根据前面的讨论，若 $A$ 的 Jordan 形为

$$
J=\left[\begin{array}{ccc}
J_1 & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & J_r
\end{array}\right], \quad J_i=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_i & 1 & & 0 \\
& \lambda_i & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
0 & & & \lambda_i
\end{array}\right]_{n_i \times n_i},
$$

那么，我们只要证明矩阵幂级数 $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k J_i^k(i=1,2, \cdots, r)$ 都收敛就可以了．考查部分和 $g_m(x)=\sum_{k=0}^m a_k x^k$ ，我们有

![图片](/uploads/2025-10/2ef55d.jpg)

设在幂级数 $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k x^k$ 的收敛圆 $|x|<R$ 内，有

$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots,
$$

那么，因为 $\lambda_i$ 在收敛圆内，故序列 $\left\{g_m\left(\lambda_i\right)\right\}$ 收敛到 $f\left(\lambda_i\right)$ ；而对任意正整数 $l$ ，序列 $\left\{g_m^{(l)}\left(\lambda_i\right)\right\}$ 收敛到 $f^{(l)}\left(\lambda_i\right)$ ．于是矩阵序列 $g_m\left(J_i\right)$ 的极限为

![图片](/uploads/2025-10/142e65.jpg)
 
 这表示 $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k J_i^k=S_i$ ．这样，我们有

$$
\sum_{k=0}^{+\infty} a_k J^k=\left[\begin{array}{cccc}
S_1 & & & 0 \\
& S_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & S_r
\end{array}\right]
$$

因而，矩阵幂级数 $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k A^k$ 也收敛。而且，如果对 $T \in M_n(\mathbb{C}),|T| \neq$ 0 ，有 $A=T^{-1} J T$ ，则 $A^k=T^{-1} J^k T$ ，故

$$
\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{+\infty} a_k A^k & =\sum_{k=0}^{+\infty} a_k\left(T^{-1} J^k T\right) \\
& =T^{-1}\left(\sum_{k=0}^{+\infty} a_k J^k\right) T
\end{aligned}
$$

$$
=T^{-1}\left[\begin{array}{cccc}
S_1 & & & 0 \\
& S_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & S_r
\end{array}\right] T .
$$

根据命题4．2，对于圆 $|x|<R$ 内的收敛幂级数

$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots,
$$

如果 $A \in M_n(K)$ 的所有特征值都在圆内，那么我们约定把

$$
a_0 E+a_1 A+a_2 A^2+\cdots
$$

记做 $f(A)$ ，称为矩阵函数 $f(X)\left(X \in M_n(\mathbb{C})\right)$ 在点 $X=A$ 处的函数值．例如，对任意矩阵 $A \in M_n(K)$ ，我们有

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^A=E+\frac{1}{1!} A+\frac{1}{2!} A^2+\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} A^k, \\
& \sin A=A-\frac{1}{3!} A^3+\frac{1}{5!} A^5-\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2 k+1)!} A^{2 k+1}, \\
& \cos A=E-\frac{1}{2!} A^2+\frac{1}{4!} A^4-\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2 k)!} A^{2 k} .
\end{aligned}
$$
而对于任意一个其特征值都在单位圆内部的复矩阵 $A$ ，有

$$
\ln (E+A)=A-\frac{1}{2} A^2+\frac{1}{3} A^3-\cdots=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} A^k .
$$

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