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高等代数
第七章 Jordan 标准形
矩阵序列的极限
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2025-10-20 06:58
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矩阵序列的极限
## 矩阵函数 在数学分析中,读者已经熟知定义在实数域 $\mathbb{R}$ 上的函数.在这一节里,我们来介绍一类定义在 $n$ 阶复方阵所成的集合 $M_n(\mathbb{C})$ 上的函数。这是一种新型的函数,它的"自变量"不是数,而是矩阵,其函数值也是 $M_n(\mathbb{C})$ 内的矩阵。但它在形式上和以数为自变量的函数非常相似,而且我们的讨论是以数学分析的知识作为基础的。因此,这部分内容是代数和分析两大数学分支相互渗透的一个良好的范例. ## 1.矩阵序列的极限 在数学分析中已经研究过实数序列的极限.这个概念可以推广到复数序列上来.给定复数序列 $$ a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots $$ 如果存在一个复数 $a$ ,使对任给实数 $\varepsilon>0$ ,都存在正整数 $N$ ,当 $n>N$时,有 $\left|a-a_n\right|<\varepsilon$ ,则称序列 $\left\{a_n\right\}$ 有极限,而 $a$ 称为 $\left\{a_n\right\}$ 的极限,记做 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=a$ .实数序列极限的一些基本性质(例如两个有极限的序列的和、差、积、商的极限等等)可以类推到复数序列,其证明方法完全相同,我们这里就不详细讨论了. 现在把这个思想应用于复矩阵序列。设在 $M_n(\mathbb{C})$ 内给定一个矩阵序列 $A_1, A_2, \cdots, A_k, \cdots$ .令 $A_k=\left(a_{i j}^{(k)}\right)$ .如果对任意 $i, j=1,2, \cdots, n$ ,序列 $\left\{a_{i j}^k\right\}$(以 $k$ 为变元)的极限都存在,且 $\lim _{k \rightarrow+\infty} a_{i j}^{(k)}=a_{i j}$ ,则称矩阵 $A =\left(a_{i j}\right) \in M_n(\
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