最后更新: 2025-10-20 06:58 查看: 23 次纠错评论(0) 课件开VIP

矩阵序列的极限

##  矩阵函数

在数学分析中，读者已经熟知定义在实数域 $\mathbb{R}$ 上的函数．在这一节里，我们来介绍一类定义在 $n$ 阶复方阵所成的集合 $M_n(\mathbb{C})$ 上的函数。这是一种新型的函数，它的＂自变量＂不是数，而是矩阵，其函数值也是 $M_n(\mathbb{C})$ 内的矩阵。但它在形式上和以数为自变量的函数非常相似，而且我们的讨论是以数学分析的知识作为基础的。因此，这部分内容是代数和分析两大数学分支相互渗透的一个良好的范例．

## 1．矩阵序列的极限
在数学分析中已经研究过实数序列的极限．这个概念可以推广到复数序列上来．给定复数序列

$$
a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots
$$

如果存在一个复数 $a$ ，使对任给实数 $\varepsilon>0$ ，都存在正整数 $N$ ，当 $n>N$时，有 $\left|a-a_n\right|<\varepsilon$ ，则称序列 $\left\{a_n\right\}$ 有极限，而 $a$ 称为 $\left\{a_n\right\}$ 的极限，记做 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=a$ ．实数序列极限的一些基本性质（例如两个有极限的序列的和、差、积、商的极限等等）可以类推到复数序列，其证明方法完全相同，我们这里就不详细讨论了．

现在把这个思想应用于复矩阵序列。设在 $M_n(\mathbb{C})$ 内给定一个矩阵序列 $A_1, A_2, \cdots, A_k, \cdots$ ．令 $A_k=\left(a_{i j}^{(k)}\right)$ ．如果对任意 $i, j=1,2, \cdots, n$ ，序列 $\left\{a_{i j}^k\right\}$（以 $k$ 为变元）的极限都存在，且 $\lim _{k \rightarrow+\infty} a_{i j}^{(k)}=a_{i j}$ ，则称矩阵 $A =\left(a_{i j}\right) \in M_n(\mathbb{C})$ 为矩阵序列 $\left\{A_k\right\}$ 的极限，记做

$$
\lim _{k \rightarrow+\infty} A_k=A
$$

例如，给定矩阵序列

$$
A_k=\left[\begin{array}{cc}
\frac{1}{2 k+1} & -2 \\
\frac{k^2+1}{1+2 k^2} & \frac{2 k+3}{k+5}
\end{array}\right] \quad(k=1,2,3, \cdots) .
$$

显然有

$$
\lim _{k \rightarrow+\infty} A_k=\left[\begin{array}{cc}
\lim _{k \rightarrow+\infty} \frac{1}{2 k+1} & -2 \\
\lim _{k \rightarrow+\infty} \frac{k^2+1}{1+2 k^2} & \lim _{k \rightarrow+\infty} \frac{2 k+3}{k+5}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cr}
0 & -2 \\
\frac{1}{2} & 2
\end{array}\right] .
$$

命题4．1 设 $\left\{A_k\right\}$ 是 $M_n(\mathbb{C})$ 内一个矩阵序列， $\lim _{k \rightarrow+\infty} A_k=A$ ．则对任意 $P, Q \in M_n(\mathbb{C})$ ，有 $\lim _{k \rightarrow+\infty} P A_k Q=P A Q$ ．

证 设 $A_k=\left(a_{i j}^{(k)}\right), P=\left(p_{i j}\right), Q=\left(q_{i j}\right), A=\left(a_{i j}\right)$ ，

$$
P A_k Q=\left(\sum_{s=1}^n \sum_{t=1}^n p_{i s} a_{s t}^{(k)} q_{t j}\right)
$$
利用极限的性质，有

$$
\lim _{k \rightarrow+\infty} \sum_{s=1}^n \sum_{t=1}^n p_{i s} a_{s t}^k q_{t j}=\sum_{s=1}^n \sum_{t=1}^n p_{i s} a_{s t} q_{t j} .
$$

这说明矩阵序列 $\left\{P A_k Q\right\}$ 的极限是 $P A Q$ ．
根据命题4．1，如果利用 $M_n(\mathbb{C})$ 内的一个可逆矩阵 $T$ 去作一个矩阵序列 $\left\{A_k\right\}$ 中各矩阵的相似变换，所得的新序列仍然有极限，而且其极限就是原序列极限用 $T$ 作相似变换的结果，即

$$
\lim _{k \rightarrow+\infty} T^{-1} A_k T=T^{-1}\left(\lim _{k \rightarrow+\infty} A_k\right) T
$$

这就为我们利用矩阵的若当标准形来研究矩阵序列的极限提供了理论上的依据．

在数学分析中，读者已经知道，序列的极限是否存在本质上等价于一个级数是否收敛．具体地说，给定一个复数项级数

$$
a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots
$$

它的部分和 $s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ 组成一个复数序列

$$
s_1, s_2, \cdots, s_n, \cdots
$$

如果 $\lim _{n \rightarrow+\infty} s_n=s$ ，则称级数（1）收敛，而 $s$ 称为它的和，记做

$$
s=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots
$$

同样地，给定一个 $n$ 阶复矩阵级数

$$
A_1+A_2+\cdots+A_k+\cdots .
$$
定义

$$
S_k=A_1+A_2+\cdots+A_k,
$$

称 $S_k$ 为矩阵级数（2）的前 $k$ 项部分和．如果矩阵序列

$$
S_1, S_2, \cdots, S_k, \cdots
$$

有极限： $\lim _{k \rightarrow+\infty} S_k=S \in M_n(\mathbb{C})$ ，则称矩阵级数（2）收敛，而 $S$ 称为它的和，记做

$$
S=A_1+A_2+\cdots+A_k+\cdots .
$$

根据命题4．1，如果矩阵级数（2）收敛，则对任意 $P, Q \in M_n(\mathbb{C})$ ，有

$$
P S Q=P A_1 Q+P A_2 Q+\cdots+P A_k Q+\cdots .
$$

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