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最小多项式与Hamilton-Cayley定理

##  最小多项式

本节阐述线性变换或矩阵研究中使用多项式的一种重要方法．

###   1．方阵的化零多项式
设 $A$ 是数域 $K$ 上的一个 $n$ 阶方阵，$g(x)$ 是 $K$ 上一个多项式。如果 $g(A)=0$ ，则 $g(x)$ 称为 $A$ 的一个**化零多项式**。

**命题3．1** 给定数域 $K$ 上的 Jordan 块矩阵

$$
J=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_0 & 1 & & 0 \\
& \lambda_0 & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
0 & & & \lambda_0
\end{array}\right]_{n \times n}
$$

又设 $g(x)$ 是 $K$ 上一个 $m$ 次多项式．则 $g(x)$ 是 $J$ 的化零多项式的充分必要条件是 $\lambda_0$ 是 $g(x)$ 的一个零点，且其重数 $\geqslant J$ 的阶 $n$ ．
证 根据第一章命题 $2.2, g(x)$ 在 $\mathbb{C}$ 内可分解为

$$
g(x)=a_0\left(x-\mu_1\right)^{e_1}\left(x-\mu_2\right)^{e_2} \cdots\left(x-\mu_k\right)^{e_k},
$$

其中 $\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_k$ 两两不同．于是

$$
g(J)=a_0\left(J-\mu_1 E\right)^{e_1}\left(J-\mu_2 E\right)^{e_2} \cdots\left(J-\mu_k E\right)^{e_k} .
$$

上式右边各因子两两可交换．而

$$
\left(J-\mu_i E\right)^{e_i}=\left[\begin{array}{ccccc}
\lambda_0-\mu_i & 1 & & & \\
& \lambda_0-\mu_t & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & 1 \\
& & & & \lambda_0-\mu_t
\end{array}\right]^{e_i}
$$

当 $\lambda_0 \neq \mu_i$ 时，此方阵可逆．在等式 $g(J)=0$ 中，可逆的因子均可从两边约去．故 $g(J)=0$ 的充分必要条件是有 $\mu_i=\lambda_0$ ，且此时
$$
\left(J-\mu_i E\right)^{e_t}=\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & & & \\
& 0 & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & 1 \\
& & & & 0
\end{array}\right]_{n \times n}^{e_t}=0
$$

从幂零 Jordan 块的乘法性质我们知上式成立的充分必要条件是 $e_i \geqslant n$ ．

## Hamilton－Cayley 定理
Hamilton－Cayley 定理 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵，$f(\lambda)= |\lambda E-A|$ 为 $A$ 的特征多项式，则 $f(A)=0$ ．

证 $A$ 在复数域内相似于 Jordan 形矩阵 $J$ ，即有 $\mathbb{C}$ 上可逆方阵 $T$ ，使 $T^{-1} A T=J$ ．易知对任 意 正 整数 $k$ ，有 $J^k=\left(T^{-1} A T\right)^k= T^{-1} A^k T$ ．由此立知 $f(J)=T^{-1} f(A) T$ ．故 $f(A)=0$ 当且仅当 $f(J) =0$ ．设

$$
J=\left[\begin{array}{cccc}
J_1 & & & 0 \\
& J_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & J_s
\end{array}\right], \quad J_i=\left[\begin{array}{ccccc}
\lambda_i & 1 & & & 0 \\
& \lambda_i & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & 1 \\
0 & & & & \lambda_i
\end{array}\right]_{n_i \times n_i}
$$

则 $f(\lambda)=|\lambda E-A|=|\lambda E-J|=\left(\lambda-\lambda_1\right)^{n_1}\left(\lambda-\lambda_2\right)^{n_2} \cdots\left(\lambda-\lambda_s\right)^{n_s}$ ，因 $\lambda_1$ ， $\lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 中可有相同的，故 $f(\lambda)$ 的每个根 $\lambda_i$ 的重数 $\geqslant$ Jordan 块 $J_i$ 的阶数 $n_i$ ．现在

![图片](/uploads/2025-10/88e2d7.jpg)

对每个 $J_i$ ，因 $\lambda_i$ 为 $f(\lambda)$ 的零点，且其重数 $\geqslant J_i$ 的阶 $n_i$ ，由命题3．1知 $f\left(J_i\right)=0(i=1,2, \cdots, s)$ ，于是 $f(J)=0$ ，从而 $f(A)=0$ 。

这个定理说明：一个 $n$ 阶方阵必有一个首项系数为 1 的 $n$ 次化零多项式。它表明在 $K$ 上 $n^2$ 维线性空间 $M_n(K)$ 内，$A^n$ 可由下面向
 
量组线性表示：

$$
E, A, \cdots, A^{n-1} .
$$

## 2．方阵的最小多项式
设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵。 $A$ 的首项系数为 1 的最低次化零多项式称为 $A$ 的最小多项式。因此，如果 $\varphi(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，那么：

1）$\varphi(x)$ 系数属于数域 $K$ ；
2）$\varphi(x)$ 的首项系数为 1 ；
3）$\varphi(A)=0$ ；
4）若又有 $K$ 上非零多项式 $g(x)$ ，使 $g(A)=0$ ，则 $g(x)$ 的次数 $\geqslant \varphi(x)$ 的次数．

显然，方阵 $A$ 的最小多项式是存在的。但它是不是唯一的？如何求出 $A$ 的最小多项式？这就是下面要仔细讨论的问题。

首先注意如下一个简单事实．

引理 给定数域 $K$ 上的齐次线性方程组：$A X=0$ ，若已知它在复数域内有非零解，则它在 $K$ 内也有非零解．

证 若 $A X=0$ 在 $\mathbb{C}$ 内有非零解，则 $A$ 作为 $\mathbb{C}$ 上 $m \times n$ 矩阵，其秩 $r(A)<n . A$ 在 $\mathbb{C}$ 内的秩是把 $A$ 经初等行、列变换化为标准形 $D$后，$D$ 中 1 的个数．但对 $A$ 作初等行、列变换化为 $D$ 可限制在 $K$ 内进行加、减、乘、除四则运算。故实际上 $D$ 也是 $A$ 在 $K$ 内的标准形，从而 $A$ 作为 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵，其秩同样小于 $n$ ，从而 $A X=0$ 在 $K$ 内也有非零解。

**命题3．2** 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵，$\varphi(x)$ 是 $A$ 的一个最小多项式。若把 $A$ 看做 $\mathbb{C}$ 上 $n$ 阶方阵，它在 $\mathbb{C}$ 内的一个最小多项式为 $\psi(x)$ ，则 $\varphi(x)$ 与 $\psi(x)$ 次数相同。

证 $\varphi(x)$ 是 $A$ 在 $\mathbb{C}$ 内一个化零多项式，从而其次数应大于或等于 $\psi(x)$ 的次数．反之，设

$$
\psi(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_m x^m \quad\left(a_t \in \mathbb{C}, a_m=1\right),
$$

则应有

$$
\psi(A)=a_0 E+a_1 A+\cdots+a_m A^m=0
$$

设 $A^k=\left(a_{i j}^{(k)}\right)$ ，则上式可写成

$$
a_0 a_{i j}^{(0)}+a_1 a_{i j}^{(1)}+\cdots+a_m a_{i j}^{(m)}=0
$$

其中 $i, j=1,2, \cdots, n$ ．上式是 $m+1$ 个未知量 $a_0, a_1, \cdots, a_m$ 的齐次线性方程组（共 $n^2$ 个方程），其系数属于 $K$ 。已知它在 $\mathbb{C}$ 内有非零解（即为 $\psi(x)$ 的不全为 0 的系数，$\psi(x)$ 首项系数为 1 ，故 $a_m=1$ ）。按上面引理，它在 $K$ 内也有一组非零解 $b_0, b_1, \cdots, b_m$ ．设 $b_k \neq 0, b_{k+1}=\cdots=b_m=$ 0 ，这时不妨设 $b_k=1$（因齐次线性方程组的解乘以 $K$ 内一非零数后仍是解）。于是有

$$
b_0 E+b_1 A+\cdots+b_{k-1} A^{k-1}+A^k=0 \quad\left(b_i \in K\right) .
$$

令 $g(x)=b_0+b_1 x+\cdots+b_{k-1} x^{k-1}+x^k$ ，则 $g(x)$ 是 $A$ 在 $K$ 内一化零多项式，故 $m \geqslant k \geqslant \varphi(x)$ 的次数，即 $\psi(x)$ 的次数 $\geqslant \varphi(x)$ 的次数．命题得证．

这个命题说明：$A$ 在 $K$ 内的任一最小多项式也是 $A$ 在 $\mathbb{C}$ 内的最小多项式。所以，只要把 $A$ 看做复数域上的 $n$ 阶方阵，决定出它在 $\mathbb{C}$ 内所有最小多项式，那么 $A$ 在 $K$ 内的最小多项式也在其中了。现设 $A$ 在 $\mathbb{C}$ 内的 Jordan 标准形为

![图片](/uploads/2025-10/b43a73.jpg)
 
那么，有复可逆方阵 $T$ ，使 $T^{-1} A T=J$ ．对于 $\mathbb{C}$ 上任一多项式 $g(x)$ ，在证明 Hamilton－Cayley 定理时已指出有 $T^{-1} g(A) T=g(J), g(A) =0$ 当且仅当 $g(J)=0$ ，故 $A$ 与 $J$ 在 $\mathbb{C}$ 内有相同的化零多项式，从而有相同的最小多项式．只要找出 $J$ 的所有最小多项式就可以了。现设 $g(x)$ 为 $J$ 的一个首项系数为 1 的化零多项式。我们有

$$
g(J)=\left[\begin{array}{llll}
g\left(J_1\right) & & & \\
& g\left(J_2\right) & & \\
& & \ddots & \\
& & & g\left(J_s\right)
\end{array}\right]=0 .
$$

故 $g(J)=0$ 当且仅当所有 $g\left(J_i\right)=0(i=1,2, \cdots, s)$ ，按命题3．1， $g\left(J_i\right)=0$ 当且仅当 $\lambda_i$ 为 $g(x)$ 的零点，且其重数 $\geqslant J_i$ 的阶 $n_i$ ．设 $A$ （也是 $J$ ）的全部互不相同特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ ，而 $J$ 中以 $\lambda_i$ 为特征值的 Jordan 块（可能不止一个）的最高阶数为 $l_i$ ，则在 $\mathbb{C}$ 内 $g(x)$ 应表示为（注意其首项系数为 1）

$$
g(x)=\left(x-\lambda_1\right)^{e_1}\left(x-\lambda_2\right)^{e_2} \cdots\left(x-\lambda_k\right)^{e_k}\left(x-\mu_1\right)^{f_1} \cdots\left(x-\mu_t\right)^{f_t} .
$$

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k, \mu_1, \cdots, \mu_t$ 两两不同，且 $e_i \geqslant l_i(i=1,2, \cdots, k)$ ．反之，若 $g(x)$ 满足上述条件，按命题3．1，所有 $g\left(J_i\right)=0$ ，从而 $g(J)=0$ 。由此立即知，$J$ 的最小多项式，即 $J$ 的首项系数为 1 的最低次化零多项式应为

$$
\varphi(x)=\left(x-\lambda_1\right)^{l_1}\left(x-\lambda_2\right)^{l_2} \cdots\left(x-\lambda_k\right)^{l_k} .
$$

这表明 $J$ 的最小多项式是唯一的，从而 $A$ 在 $K$ 内的最小多项式也是唯一的，它就是上面写出的 $\varphi(x)$ 。

**命题3．3** 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵。设 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)=|\lambda E-A|$ 在 $\mathbb{C}$ 内全部互不相同的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k, A$ 在 $\mathbb{C}$ 内的 Jordan 标准形 $J$ 中以 $\lambda_i$ 为特征值的 Jordan 块的最高阶数为 $l_i$ ，则 $A$（在 $K$ 内）的最小多项式是唯一的，它就是

$$
\varphi(x)=\left(x-\lambda_1\right)^{l_1}\left(x-\lambda_2\right)^{l_2} \cdots\left(x-\lambda_k\right)^{l_k} .
$$

注意在上述命题中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ 末必都属于 $K$ ，但 $\varphi(x)$ 的所有系数都在 $K$ 内。

推论 1 设 $A, B$ 是数域 $K$ 内的两个相似的 $n$ 阶方阵，则 $A$ 与 $B$ （在 $K$ 内）的最小多项式相同．

证 相似矩阵在 $\mathbb{C}$ 内有相同的 Jordan 标准形，故按命题3．3，它们的最小多项式相同．

现设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内一线性变换，根据推论 1 ，我们把 $\boldsymbol{A}$ 在 $V$ 的任一组基下的矩阵 $A$ 的最小多项式 $\varphi(x)$ 称为线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式。

推论2 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵且 $A$ 的特征多项式的根全属于 $K$ ，则 $A$ 在 $K$ 内相似于对角矩阵的充分必要条件是它的最小多项式没有重根．

证 按命题 3．3，$A$ 的最小多项式没有重根的充分必要条件是

$A$ 的 Jordan 标准形中的 Jordan 块都是一阶的，即 Jordan 标准形为对角矩阵。

数域 $K$ 上一个 $n$ 阶方阵 $A$ ，如果其最小多项式无重根，则称为半单矩阵。一个线性变换在一组基下的矩阵半单时，称为半单线性变换．因此， $\boldsymbol{A}$ 是半单线性变换等价于其最小多项式无重根．

推论 3 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间， $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 内一个线性变换， $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式的根全属于 $K$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵可对角化的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}$ 是半单线性变换，即其最小多项式无重根。

证 这是推论2用线性变换的语言表现出来的形式。
例3．1 求下列矩阵的最小多项式：

$$
A=\left[\begin{array}{rrr}
4 & -5 & 7 \\
1 & -4 & 9 \\
-4 & 0 & 5
\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrcc}
1 & -3 & 0 & 3 \\
-2 & -6 & 0 & 13 \\
0 & -3 & 1 & 3 \\
-1 & -4 & 0 & 8
\end{array}\right] .
$$

解 $A$ 在 $\mathbb{C}$ 内的 Jordan 标准形为

$$
J=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2+3 \mathrm{i} & 0 \\
0 & 0 & 2-3 \mathrm{i}
\end{array}\right]
$$

$f(\lambda)=|\lambda E-A|$ 有三个不同根 $\lambda_1=1, \lambda_2=2+3 \mathrm{i}, \lambda_3=2-3 \mathrm{i}$ ，它们对应的 Jordan 块都是一阶的，故 $A$ 的最小多项式

$$
\begin{aligned}
\varphi(x) & =(x-1)(x-2-3 \mathrm{i})(x-2+3 \mathrm{i}) \\
& =(x-1)\left(x^2-4 x+13\right)
\end{aligned}
$$

$B$ 在 $\mathbb{C}$ 内的 Jordan 标准形为

$$
J=\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right],
$$

$f(\lambda)=|\lambda E-B|$ 只有一个根 $\lambda_1=1$ ，它对应的 Jordan 块的最高阶数为 3 ，故 $B$ 的最小多项式为 $\varphi(x)=(x-1)^3$ 。

最小多项式也可以不用 Jordan 标准形来计算．设 $A$ 的最小多项式为
$$
\varphi(x)=x^m+a_1 x^{m-1}+\cdots+a_{m-1} x+a_m \quad\left(a_i \in K\right),
$$

因 $\varphi(A)=0$ ，故

$$
A^m=-a_1 A^{m-1}-\cdots-a_{m-1} A-a_m E
$$

此时在 $K$ 上线性空间 $M_n(K)$ 内，$A^{m-1}, \cdots, A, E$ 必线性无关．因若有不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ ，使

$$
k_1 A^{m-1}+\cdots+k_{m-1} A+k_m E=0
$$

设自左至右第一个不为 0 的是 $k_l$ ，于是 $k_1=\cdots=k_{l-1}=0$ ，故（注意 $l \geqslant$ 1）

$$
k_l A^{m-l}+\cdots+k_{m-1} A+k_m E=0 .
$$

于是 $g(x)=\frac{1}{k_l}\left(k_l x^{m-l}+\cdots+k_{m-1} x+k_m\right)$ 是 $A$ 的一个首项系数为 1的化零多项式，其次数 $m-l$ 小于 $\varphi(x)$ 的次数，与 $\varphi(x)$ 为最小多项式矛盾．

现在只需考查 $M_n(K)$ 内向量组

$$
E, A, A^2, A^3, \cdots
$$

自左至右逐次检查，找出最小正整数 $m$ ，使 $A^m$ 能被 $E, A, A^2, \cdots$ ， $A^{m-1}$ 线性表示：

$$
A^m=a_1 A^{m-1}+a_2 A^{m-2}+\cdots+a_m E \quad\left(a_i \in K\right),
$$

则 $\varphi(x)=x^m-a_1 x^{m-1}-a_2 x^{m-2}-\cdots-a_m$ 即为 $A$ 的最小多项式．

例 3.2 求下面方阵的最小多项式：

$$
A=\left[\begin{array}{rrr}
3 & 0 & 8 \\
3 & -1 & 6 \\
-2 & 0 & -5
\end{array}\right] .
$$

解 考查 $M_3(K)$ 内向量序列

$$
E, A, A^2, A^3, \cdots .
$$

首先，$A \neq k E$ ．而

$$
A^2=\left[\begin{array}{rrr}
-7 & 0 & -16 \\
-6 & 1 & -12 \\
4 & 0 & 9
\end{array}\right]
$$

考查方程组 $A^2=x_1 A+x_2 E$ ，发现它有解 $x_1=-2, x_2=-1$ ，即 $A^2= -2 A-E$ ．故 $\varphi(x)=x^2+2 x+1$ 为 $A$ 的最小多项式．

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