最后更新: 2025-10-20 06:47 查看: 135 次纠错评论(0) 课件开VIP

Jordan 标准形的计算方法

## Jordan 标准形的计算方法
设在 $n$ 维线性空间 $V$ 内给定线性变换 $\boldsymbol{A}$ ，为求出 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形（假设存在），可按如下步骤进行计算：

1）先求 $\boldsymbol{A}$ 在 $V$ 的一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的矩阵 $A$ ；
2）求出 $A$ 的全部不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_t$（假设都属于数域 $K$ ）；
$3)$ 对每个 $\lambda_i$ ，令 $B=A-\lambda_i E$ ，由公式

$$
\mathrm{r}\left(B^{l+1}\right)+\mathrm{r}\left(B^{l-1}\right)-2 \mathrm{r}\left(B^l\right)
$$

计算出以 $\lambda_i$ 为特征值，阶为 $l$ 的 Jordan 块个数。为此，令 $l=1,2, \cdots$ ，逐次计算。从 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 形 $J$ 的特征多项式容易看出：以 $\lambda_i$ 为特征值的 Jordan 块阶数之和等于特征值 $\lambda_i$ 的重数，由此即可知道是否已经找出全部以 $\lambda_i$ 为特征值的 Jordan 块；或者从（参看命题 2.4 的证明） $\mathrm{r}\left(B^l\right)-\mathrm{r}\left(B^{l+1}\right)$ 等于 $J$ 中以 $\lambda_i$ 为特征值而阶 $\geqslant l+1$ 的 Jordan 块的个数这一点作出判断．

4）将所获得的 Jordan 块按任意次序排列成准对角形 $J$ ，即为所求。

如果要求的是矩阵的 Jordan 标准形，则第一个步骤可以省去．

`例`求矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{rrr}
2 & 6 & -15 \\
1 & 1 & -5 \\
1 & 2 & -6
\end{array}\right]
$$

的 Jordan 标准形。
解 分以下几步计算：
（i）矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式为

$$
|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-2 & -6 & 15 \\
-1 & \lambda-1 & 5 \\
-1 & -2 & \lambda+6
\end{array}\right|=(\lambda+1)^3 .
$$

它只有一个特征值 $\lambda_1=-1$（三重根）．

（ii）对 $\lambda_1=-1$ ．令 $B=A-\lambda_1 E=A+E$ ．

$$
B=\left[\begin{array}{rrr}
3 & 6 & -15 \\
1 & 2 & -5 \\
1 & 2 & -5
\end{array}\right], \quad B^2=0,
$$

$\mathrm{r}(B)=1$ ，以 $\lambda_1=-1$ 为特征值的一阶 Jordan 块个数为

$$
\mathrm{r}\left(B^2\right)+\mathrm{r}\left(B^0\right)-2 \mathrm{r}(B)=0+3-2=1,
$$

而以 $\lambda_1=-1$ 为特征值的二阶 Jordan 块个数为

$$
r\left(B^3\right)+r(B)-2 r\left(B^2\right)=0+1-2 \times 0=1 .
$$

上面两个 Jordan 块阶数之和为 3 ，等于 $\lambda_1$ 的重数，因而不再存在以 $\lambda_1$ 为特征值的其他 Jordan 块。
（iii）因 $A$ 没有其他特征值，故 $A$ 的 Jordan 标准形为

$$
J=\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right]
$$

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