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Jordan 标准形的唯一性

## 3．Jordan 标准形的唯一性
我们来证明：线性变换的 Jordan 标准形，除了其主对角线上 Jordan 块的排列次序可以不同外，是唯一确定的。

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 中一个线性变换，在 $V$ 内取基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n . \boldsymbol{A}$ 在此组基下矩阵设为 $A$ ．又设 $\lambda_0$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值， $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}-\lambda_0 \boldsymbol{E}$ ，则 $\boldsymbol{B}$ 在此组基下的矩阵为 $B=A-\lambda_0 E$ ．我们又有子空间序列

$$
M_i=\operatorname{Ker} \boldsymbol{B}^i \quad(i=0,1,2, \cdots) .
$$

**命题2．3** $\operatorname{dim} M_i=n-\mathrm{r}\left(B^i\right) \quad(i=0,1,2, \cdots)$ ，其中 $\mathrm{r}\left(B^i\right)$ 表示矩阵 $B^i$ 的秩．

证 由 $M_i$ 的定义知 $\alpha \in M_i \Longleftrightarrow \boldsymbol{B}^i \alpha=0$ ．设

$$
\alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) X,
$$

则

$$
\boldsymbol{B}^i \alpha=0 \Longleftrightarrow B^i X=0 .
$$

在对应 $\alpha \mapsto X$ 下，$M_i$ 与齐次线性方程组 $B^i X=0$ 的解空间同构，故

$$
\operatorname{dim} M_i=n-\mathrm{r}\left(B^i\right) .
$$

**命题2．4** 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内的一个线性变换，其特征多项式的根全属于 $K$ ，又设 $J$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的任一 Jordan 标准形．则对 $\boldsymbol{A}$ 的任一特征值 $\lambda_0, 2 \operatorname{dim} M_l-\operatorname{dim} M_{l+1}-\operatorname{dim} M_{l-1}$ 等于 $J$ 中以 $\lambda_0$为特征值且阶为 $l$ 的 Jordan 块的个数．

证 设

$$
J=\left[\begin{array}{llll}
J_1 & & & 0 \\
& J_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & J_s
\end{array}\right], \quad J_i=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_i & 1 & & 0 \\
& \lambda_i & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
0 & & & \lambda_i
\end{array}\right],
$$

其中 $J_i$ 设为 $n_i$ 阶 Jordan 块．显然，$\lambda_1, \cdots, \lambda_s$ 均为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．令 $I= J-\lambda_0 E$ ，则
$$
I^l=\left(J-\lambda_0 E\right)^l=\left[\begin{array}{ccc}
\left(J_1-\lambda_0 E\right)^l & & 0 \\
& \left(J_2-\lambda_0 E\right)^l & \\
0 & & \left(J_s-\lambda_0 E\right)^l
\end{array}\right],
$$

于是

$$
\mathrm{r}\left(I^l\right)=\mathrm{r}\left[\left(J_1-\lambda_0 E\right)^l\right]+\mathrm{r}\left[\left(J_2-\lambda_0 E\right)^l\right]+\cdots+\mathrm{r}\left[\left(J_s-\lambda_0 E\right)^l\right] .
$$

因为

$$
\left(J_i-\lambda_0 E\right)^l=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_i-\lambda_0 & 1 & & 0 \\
& \lambda_i-\lambda_0 & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
0 & & & \lambda_i-\lambda_0
\end{array}\right]_{n_i \times n_i}^l,
$$

（i）若 $\lambda_i \neq \lambda_0$ ，则 $\mathrm{r}\left[\left(J_i-\lambda_0 E\right)^l\right]=n_i$ ；
（ii）若 $\lambda_i=\lambda_0$ ，利用幂零 Jordan 块的乘法性质有

$$
I^l=\left(J-\lambda_0 E\right)^l=\left[\begin{array}{ccc}
\left(J_1-\lambda_0 E\right)^l & & 0 \\
& \left(J_2-\lambda_0 E\right)^l & \\
0 & & \left(J_s-\lambda_0 E\right)^l
\end{array}\right],
$$

于是

因为

（i）若 $\lambda_i \neq \lambda_0$ ，则 $\mathrm{r}\left[\left(J_i-\lambda_0 E\right)^l\right]=n_i$ ；
（ii）若 $\lambda_i=\lambda_0$ ，利用幂零 Jordan 块的乘法性质有

根据命题 2．4， $\boldsymbol{A}$ 的任一 Jordan 形 $J$ 中以 $\lambda_0$ 为特征值的 $l$ 阶 Jordan 块的个数由子空间序列 $M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \cdots$ 唯一决定，与基的选取无关，故有

**推论1** 线性变换的 Jordan 标准形，如果不计主对角线上 Jordan 块的排列次序，则是唯一的．

再利用命题2．3，我们又有
**推论 2** 设线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在某一组基下矩阵为 $A$ ，又设 $\lambda_0$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的任一特征值，则 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形 $J$（如果存在的话）中以 $\lambda_0$ 为特征值的 $l$ 阶 Jordan 块个数为（令 $B=A-\lambda_0 E$ ）

$$
\mathrm{r}\left(B^{l+1}\right)+\mathrm{r}\left(B^{l-1}\right)-2 \mathrm{r}\left(B^l\right)
$$

这个推论给出了线性变换 Jordan 标准形的具体计算方法．把上面的结果综合起来，得到如下的

**定理2．1** 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内的一个线性变换．如果 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式的根全属于 $K$ ，那么在 $V$ 中存在一组基，使
$\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵成为如下 Jordan 形：

$$
J=\left[\begin{array}{llll}
J_1 & & & 0 \\
& J_2 & \ddots & \\
0 & & & J_s
\end{array}\right], \quad J_i=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_i & 1 & & 0 \\
& \lambda_i & \ddots & \\
0 & & \ddots & 1 \\
& & & \lambda_i
\end{array}\right] .
$$

而且除了主对角线上 Jordan 块的排列次序可以变化之外，Jordan 形是由 $\boldsymbol{A}$ 唯一决定的。

由于同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的。所以定理 2.1 也可使用矩阵论的语言叙述如下。

**定理2．2** 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵，如果 $A$ 的特征多项式的根全属于 $K$ ，则 $A$ 在 $K$ 上相似于如下 Jordan 形矩阵：

而且除了主对角线上 Jordan 块的排列次序可以不同外，$J$ 由 $A$ 唯一决定．$J$ 称为 $A$ 的 Jordan 标准形．
根据第四章命题 4.5 ，线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在一组基下的矩阵成准对角形 $J$ 相当于空间 $V$ 分解为 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间的直和：

$$
V=M_1 \oplus M_2 \oplus \cdots \oplus M_s .
$$

上面直和显然可以任意重排次序：

$$
V=M_{i_1} \oplus M_{i_2} \oplus \cdots \oplus M_{i_s}
$$

（这相当于把 $V$ 的该组基按上述办法重排次序），与上述直和分解式相应， $\boldsymbol{A}$ 的矩阵为如下准对角形：

$$
\bar{J}=\left[\begin{array}{cccc}
J_{i_1} & & & 0 \\
& J_{i_2} & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & J_{i_s}
\end{array}\right] .
$$

这就是说， $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 形中，其主对角线上的 Jordan 块可以按任意次序排列，所得 Jordan 形只是 $\boldsymbol{A}$ 在不同基下的 Jordan 形，从而彼此相似。
定理2．1和定理2．2的条件在 $K=\mathbb{C}$ 时总是成立的，所以它们完全解决了复数域上线性空间内线性变换和复矩阵的标准形问题。

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