最后更新: 2025-10-20 06:45 查看: 20 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Jordan 标准形的存在性

## 2 一般线性变换的 Jordan 标准形

在这一节里，我们来导出复数域上 $n$ 维线性空间内任意线性变换的 Jordan 标准形。

### 1．Jordan 块与 Jordan 形
形如

$$
J=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_0 & 1 & & 0 \\
& \lambda_0 & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
0 & & & \lambda_0
\end{array}\right]_{n \times n}
$$

的矩阵称为 **Jordan 块**，Jordan 块阶数为 1 时，即为一阶方阵 $\left(\lambda_0\right)$ ；形如

$$
J=\left[\begin{array}{cccc}
J_1 & & & 0 \\
& J_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & J_s
\end{array}\right], \quad J_i=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_i & 1 & & 0 \\
& \lambda_i & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
0 & & & \lambda_i
\end{array}\right]_{n_i \times n_i}
$$

的准对角矩阵称为 Jordan 形矩阵．一个 Jordan 形矩阵主对角线上的 Jordan 块如果都是一阶的，它就是对角矩阵。所以对角矩阵是一种特殊的 Jordan 形矩阵。若 $J$ 是 Jordan 块（1），则 $J$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_0\right)^n$ 。故 Jordan 块矩阵有唯一的特征值 $\lambda_0$ ，恰为其主对角线上的元素．

如果 $J$ 是 Jordan 形矩阵（2），则其特征多项式为

$$
f(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_1\right)^{n_1}\left(\lambda-\lambda_2\right)^{n_2} \cdots\left(\lambda-\lambda_s\right)^{n_s},
$$

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 可能有相同的．
上一节中所讨论的幂零线性变换的 Jordan 标准形是 Jordan 形矩阵的特殊情况，即其特征值均为零的情况。

本节的任务是要证明，对复数域上有限维线性空间内任一线性变换，都可在线性空间中找出一组基，使其矩阵成为 Jordan 形矩阵。

### 2．Jordan 标准形的存在性
我们首先对任意数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 内的线性变换 $\boldsymbol{A}$作一些讨论．根据 § 1 对幂零线性变换所得到的结果，我们有

**命题 2.1** 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内的一个线性变换．如果存在 $\lambda_0 \in K$ ，使 $\boldsymbol{A}-\lambda_0 \boldsymbol{E}$ 是一个幂零线性变换，则在 $V$ 内存在一组基，使 $\boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵成为如下的 Jordan 标准形：

$$
J=\left[\begin{array}{llll}
J_1 & & & 0 \\
& J_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & J_s
\end{array}\right], \quad J_i=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_0 & 1 & & 0 \\
& \lambda_0 & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
0 & & & \lambda_0
\end{array}\right] .
$$

证 根据命题1．4知 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}-\lambda_0 \boldsymbol{E}$ 在某一组基下的矩阵成为 Jordan 形，其主对角线上元素为零，而在同一组基下 $\lambda_0 \boldsymbol{E}$ 矩阵为 $\lambda_0 \boldsymbol{E}$ ，故 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}+\lambda_0 \boldsymbol{E}$ 在该组基下的矩阵成为上述 Jordan 标准形。

下面设 $\boldsymbol{A}$ 为 $V$ 中任一线性变换，又设 $\boldsymbol{A}$ 有一特征值 $\lambda_0 \in K$ 。令 $\boldsymbol{B} =\boldsymbol{A}-\lambda_0 \boldsymbol{E}$ ，定义 $V$ 的两串子空间序列如下：

$$
\begin{array}{ll}
M_0=\{0\}, & M_i=\operatorname{Ker} \boldsymbol{B}^i \quad(i=1,2, \cdots) \\
N_0=V, & N_i=\operatorname{Im}\left(\boldsymbol{B}^i\right) \quad(i=1,2, \cdots)
\end{array}
$$

我们有如下简单的事实：
1）$M_i, N_i$ 间有如下包含关系：

$$
\{0\}

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