最后更新: 2025-10-20 06:43 查看: 50 次纠错评论(0) 课件开VIP

幂零线性变换与循环基

## 幂零线性变换的 Jordan 标准形
在本段中我们固定使用下面的记号：令 $\boldsymbol{A}$ 为数域 $K$ 上 $n$ 维线
性空间 $V$ 内一非零幂零线性变换，以 $M=V_{\lambda_0}$ 记 $\boldsymbol{A}$ 的唯一特征值 $\lambda_0=0$ 对应的特征子空间．$M$ 当然是 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间：

$$
\boldsymbol{A} \alpha=0 \quad(\forall \alpha \in M) .
$$

**命题1．3** 设 $\bar{\alpha}=\alpha+M$ 为 $\bar{V}=V / M$ 中一非零元素，又设 $I(\bar{\alpha})$ 为 $\boldsymbol{A}$ 在 $\bar{V}$ 内诱导变换的一个 $k$ 维循环不变子空间，则 $I(\alpha)$ 为 $\boldsymbol{A}$ 在 $V$ 内一个 $k+1$ 维循环不变子空间，即 $I(\alpha)=L\left(\alpha, A \alpha, \cdots, A^k \alpha\right)$ 且 $A^k \alpha \in M$ ．

证 按假设有

$$
I(\bar{\alpha})=L\left(\bar{\alpha}, A \bar{\alpha}, \cdots, A^{k-1} \bar{\alpha}\right)
$$

因 $\boldsymbol{A}^k \bar{\alpha}=\overline{0}$ ，由 $\varphi\left(\boldsymbol{A}^k \alpha\right)=\boldsymbol{A}^k \varphi(\alpha)=\boldsymbol{A}^k \bar{\alpha}=\overline{0}$ 知 $\boldsymbol{A}^k \alpha \in \operatorname{Ker} \varphi=M$ 。从而 $\boldsymbol{A}^{k+1} \alpha=\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{A}^k \alpha\right)=0$ ．现在 $\boldsymbol{A}^k \alpha \neq 0$ ．否则，若 $\boldsymbol{A}^k \alpha=\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{A}^{k-1} \alpha\right)=0$ 推知 $\boldsymbol{A}^{k-1} \alpha \in M$ 。从而 $\overline{0}=\varphi\left(\boldsymbol{A}^{k-1} \alpha\right)=\boldsymbol{A}^{k-1} \varphi(\alpha)=\boldsymbol{A}^{k-1} \bar{\alpha}$ ，这与 $I(\bar{\alpha})$ 为 $k$ 维循环不变子空间之设矛盾．于是

$$
I(\alpha)=L\left(\alpha, A \alpha, \cdots, A^k \alpha\right)
$$

为 $\boldsymbol{A}$ 在 $V$ 内一 $k+1$ 维循环不变子空间，其中 $\boldsymbol{A}^k \alpha \in M$ ．
注 对任意 $\beta \in I(\alpha)$ ，有 $\beta=b_1 \alpha+b_2 A \alpha+\cdots+b_k A^{k-1} \alpha+b_{k+1} A^k \alpha$ ，则 $\varphi(\beta)=b_1 \varphi(\alpha)+b_2 \varphi(\boldsymbol{A} \alpha)+\cdots+b_k \varphi\left(\boldsymbol{A}^{k-1} \alpha\right)+b_{k+1} \varphi\left(\boldsymbol{A}^k \alpha\right)=b_1 \bar{\alpha}+ b_2 \boldsymbol{A} \bar{\alpha}+\cdots+b_k \boldsymbol{A}^{k-1} \bar{\alpha} \in I(\bar{\alpha})$ ．若 $\varphi(\beta)=\overline{0}$ ，则 $b_1=b_2=\cdots=b_k=0$ ，即 $\beta= b_{k+1} A^k \alpha \in M$ ．

**命题1．4** 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内一幂零线性变换，则在 $V$ 内存在一组基，使在该组基下 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵成 Jordan 形矩阵。

证 按命题1．2，只要证 $V$ 分解为 $\boldsymbol{A}$ 的循环不变子空间的直和就可以了．为此，对 $n$ 作数学归纳法．

当 $n=1$ 时，在 $V$ 中取一组基 $\varepsilon_1$ ，则 $\boldsymbol{A} \varepsilon_1=\lambda_0 \varepsilon_1, \lambda_0$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，按命题1．1知 $\lambda_0=0$ ，即 $\boldsymbol{A} \varepsilon_1=0$ ，于是 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵为（ 0 ），自然是 Jordan形矩阵．

设命题对维数小于 $n$ 的线性空间已成立，则当 $\operatorname{dim} V=n$ 时，若 $\boldsymbol{A}=\mathbf{0}$ ，命题成立．当 $\boldsymbol{A} \neq \mathbf{0}$ 时，令 $M=V_{\lambda_0}\left(\lambda_0\right.$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的唯一特征值 0$)$ ， $\operatorname{dim} M \geqslant 1$ ，故 $\operatorname{dim} \bar{V}=\operatorname{dim} V-\operatorname{dim} M<n . \boldsymbol{A}$ 在 $\bar{V}$ 内的诱导线性变换仍

为 $\bar{V}$ 内幂零线性变换，按归纳假设，

$$
\bar{V}=I\left(\bar{\alpha}_1\right) \oplus I\left(\bar{\alpha}_2\right) \oplus \cdots \oplus I\left(\bar{\alpha}_s\right),
$$

其中 $\bar{\alpha}_i=\alpha_i+M, \operatorname{dim} I\left(\bar{\alpha}_i\right)=k_i(i=1,2, \cdots, s)$ 。根据命题1．3，$I\left(\alpha_i\right)$ 为 $\boldsymbol{A}$ 在 $V$ 内的 $k_i+1$ 维循环不变子空间，且

$$
I\left(\alpha_i\right)=L\left(\alpha_i, A \alpha_i, \cdots, A^k{ }_i \alpha_i\right)
$$

其中 $\boldsymbol{A}^{k_i} \alpha_i \in M$ ．
（i）先证 $\boldsymbol{A}^{k_1} \alpha_1, \boldsymbol{A}^{k_2} \alpha_2, \cdots, \boldsymbol{A}^{k_s} \alpha_s$ 为 $M$ 内线性无关向量组．若

$$
a_1 \boldsymbol{A}^{k_1} \alpha_1+a_2 \boldsymbol{A}^{k_2} \alpha_2+\cdots+a_s \boldsymbol{A}^{k_s} \alpha_s=0,
$$

因 $k_i \geqslant 1$ ，我们有

$$
\boldsymbol{A}\left(a_1 \boldsymbol{A}^{k_1-1} \alpha_1+a_2 \boldsymbol{A}^{k_2-1} \alpha_2+\cdots+a_s \boldsymbol{A}^{k_s-1} \alpha_s\right)=0
$$

这表明

$$
a_1 A^{k_1-1} \alpha_1+a_2 A^{k_2-1} \alpha_2+\cdots+a_s A^{k_s-1} \alpha_s \in M .
$$

两边用自然映射 $\varphi$ 作用，因 $\varphi\left(\boldsymbol{A}^{k_i-1} \alpha_i\right)=\boldsymbol{A}^{k_i-1} \varphi\left(\alpha_i\right)=\boldsymbol{A}^{k_i-1} \bar{\alpha}_i \in I\left(\bar{\alpha}_i\right)$ ，且 $\boldsymbol{A}^{k_i-1} \bar{\alpha}_i$ 为 $I\left(\bar{\alpha}_i\right)$ 基向量之一，不为 $\overline{0}$ ．于是

$$
a_1 \boldsymbol{A}^{k_1-1} \bar{\alpha}_1+a_2 \boldsymbol{A}^{k_2-1} \bar{\alpha}_2+\cdots+a_s \boldsymbol{A}^{k_s-1} \bar{\alpha}_s=\overline{0}
$$

由于和 $I\left(\bar{\alpha}_1\right)+I\left(\bar{\alpha}_2\right)+\cdots+I\left(\bar{\alpha}_s\right)$ 为直和，零向量 $\overline{0}$ 表法唯一，即 $a_i \boldsymbol{A}^{k_i-1} \bar{\alpha}_i=\overline{0}$ ，而 $\boldsymbol{A}^{k_i-1} \bar{\alpha}_i \neq \overline{0}$ ．故 $a_i=0$ ．这证明了所要的结论．

为 $\bar{V}$ 内幂零线性变换，按归纳假设，

$$
\bar{V}=I\left(\bar{\alpha}_1\right) \oplus I\left(\bar{\alpha}_2\right) \oplus \cdots \oplus I\left(\bar{\alpha}_s\right),
$$

$$
I\left(\alpha_i\right)=L\left(\alpha_i, A \alpha_i, \cdots, A^k{ }_i \alpha_i\right)
$$

$$
a_1 \boldsymbol{A}^{k_1} \alpha_1+a_2 \boldsymbol{A}^{k_2} \alpha_2+\cdots+a_s \boldsymbol{A}^{k_s} \alpha_s=0,
$$

因 $k_i \geqslant 1$ ，我们有

$$
\boldsymbol{A}\left(a_1 \boldsymbol{A}^{k_1-1} \alpha_1+a_2 \boldsymbol{A}^{k_2-1} \alpha_2+\cdots+a_s \boldsymbol{A}^{k_s-1} \alpha_s\right)=0
$$

这表明

$$
a_1 A^{k_1-1} \alpha_1+a_2 A^{k_2-1} \alpha_2+\cdots+a_s A^{k_s-1} \alpha_s \in M .
$$

$$
a_1 \boldsymbol{A}^{k_1-1} \bar{\alpha}_1+a_2 \boldsymbol{A}^{k_2-1} \bar{\alpha}_2+\cdots+a_s \boldsymbol{A}^{k_s-1} \bar{\alpha}_s=\overline{0}
$$

现在根据第四章定理 2.3 ，有

$$
\begin{aligned}
\operatorname{dim} & \left(I\left(\alpha_1\right) \oplus I\left(\alpha_2\right) \oplus \cdots \oplus I\left(\alpha_s\right) \oplus N\right) \\
& =\sum_{i=1}^s \operatorname{dim} I\left(\alpha_i\right)+\operatorname{dim} N=\sum_{i=1}^s\left(k_i+1\right)+t \\
& =\sum_{i=1}^s k_i+s+t=\sum_{i=1}^s \operatorname{dim} I\left(\bar{\alpha}_i\right)+\operatorname{dim} M \\
& =\operatorname{dim} V / M+\operatorname{dim} M \\
& =\operatorname{dim} V-\operatorname{dim} M+\operatorname{dim} M=\operatorname{dim} V
\end{aligned}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
V & =I\left(\alpha_1\right) \oplus I\left(\alpha_2\right) \oplus \cdots \oplus I\left(\alpha_s\right) \oplus N \\
& =I\left(\alpha_1\right) \oplus I\left(\alpha_2\right) \oplus \cdots \oplus I\left(\alpha_s\right) \oplus I\left(\beta_1\right) \oplus \cdots \oplus I\left(\beta_t\right)
\end{aligned}
$$

（ $N$ 的一组基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 满足 $\boldsymbol{A} \beta_i=0$ ，故 $L\left(\beta_i\right)=I\left(\beta_i\right)$ ），即 $V$ 分解为 $\boldsymbol{A}$ 的循环不变子空间的直和．

设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内的线性变换．若 $\boldsymbol{A}^{n-1} \neq \mathbf{0}$ ，但 $\boldsymbol{A}^n=\mathbf{0}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 称为 $V$ 内一个循环幂零线性变换。此时必有 $\alpha \in V$ ，使 $\boldsymbol{A}^{n-1} \alpha \neq 0$ ．现在自然有 $\boldsymbol{A}^n \alpha=0$ ，于是

$$
A^{n-1} \alpha, A^{n-2} \alpha, \cdots, A \alpha, \alpha
$$

成为 $V$ 的一组基，在此组基下 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵

![图片](/uploads/2025-10/61c5d8.jpg)
 
 上面一组基称为**循环基**．
 
## 性质 
幂零 Jordan 块矩阵 $J$ 有如下有用性质：

$$
\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & & & \\
& 0 & 1 & 0 & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& 0 & & \ddots & 1 \\
& & & & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right],
$$

即用 $J$ 左乘一方阵，其结果是把该方阵每行向上平移一行，原第一

行消失，最后一行变为零．于是

$$
\begin{aligned}
J^k & =\left[\begin{array}{lllll}
0 & 1 & & & \\
& 0 & 1 & 0 & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& 0 & & \ddots & 1 \\
& & & & 0
\end{array}\right]_{n \times n}^k \\
& =\left[\begin{array}{llllll}
0 & \cdots & 0 & 1 & & 0 \\
& \ddots & & \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & & \ddots & 1 \\
& & & \ddots & & 0 \\
0 & & & \ddots & \vdots \\
& & & & & 0
\end{array}\right] \quad(k<n),
\end{aligned}
$$

而 $J^k=0(k \geqslant n)$ ．下面不少地方都用到这个结果．

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