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幂零线性变换的 Jordan 标准形

## 第七章 线性变换的 Jordan 标准形

在第四章§4中，我们讨论如何在线性空间中选取一组基，使一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在该组基下的矩阵具有最简单的形式，最理想的是变成对角矩阵。但当时我们就指出，在一般情况下这是不可能的。因而退而求其次，希望能把矩阵变成准对角形，而且主对角线上的小块矩阵尽可能简单．本章的目的，是要对复数域上线性空间中的任意线性变换来完满地解决这个问题。

我们先从讨论一类最简单的线性变换入手解决这个问题，然后指出：任意线性变换的课题可以归结为此类简单线性变换的同样课题，从而使问题迎刃而解．

## § 1 幂零线性变换的 Jordan 标准形
设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间． $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 内一个线性变换．如果存在正整数 $m$ ，使 $\boldsymbol{A}^m=\mathbf{0}$ ，则称 $\boldsymbol{A}$ 为一个**幂零线性变换**．对数域 $K$上一个 $n$ 阶方阵 $A$ ，若存在正整数 $m$ ，使 $A^m=0$ ，则称 $A$ 为**冪零矩阵**。显然，幂零线性变换在任一组基下的矩阵都是幂零矩阵。

我们知道，一个线性变换的特征值与特征向量对研究该变换有重要意义，所以首先研究幂零线性变换的特征值．

**命题1．1** 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内的一个幂零线性变换，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=\lambda^n$ ，从而 $\boldsymbol{A}$ 有唯一的特征值 $\lambda_0 =0$ 。

证 在 $V$ 内取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，设 $\boldsymbol{A}$ 在此组基下的矩阵为 $A$ ，则 $f(\lambda)=|\lambda E-A|$ 。现设 $\lambda_0$ 为 $f(\lambda)$ 在 $\mathbb{C}$ 内的一个根，则存在 $\mathbb{C}^n$中非零的 $X_0$ ，使 $A X_0=\lambda_0 X_0$ ，于是

$$
A^2 X_0=\lambda_0 A X_0=\lambda_0^2 X_0, \cdots, A^m X_0=\lambda_0^m X_0,
$$

若 $\boldsymbol{A}^m=\mathbf{0}$ ，则 $A^m=0$ ，而 $X_0 \neq 0$ ，于是 $\lambda_0^m=0$ ，故 $\lambda_0=0$ ，即 $f(\lambda)$ 在 $\mathbb{C}$ 内的 $n$ 个根都是 0 ，根据多项式根与系数的关系（第一章命题2．3），有 $f(\lambda)=\lambda^n$ ．

### 1．循环不变子空间
设 $V$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间， $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 内一个幂零线性变换，即 $\boldsymbol{A}^m=\mathbf{0}$ ．现取 $V$ 中任意非零向量 $\alpha$ ，有 $\boldsymbol{A}^m \alpha=0$ ．于是存在最小正整数 $k$ ，使 $\boldsymbol{A}^{k-1} \alpha \neq 0$ ，但 $\boldsymbol{A}^k \alpha=0$（显然，$k \geqslant 1$ ）。我们来证明：向量组 $\alpha, A \alpha, \cdots, A^{k-1} \alpha$ 线性无关．设

$$
a_0 \alpha+a_1 A \alpha+\cdots+a_{k-1} A^{k-1} \alpha=0
$$

假定 $a_0, a_1, \cdots, a_{k-1}$ 不全为 0 ，令自左至右第一个不为 0 的是 $a_i$ ，即设

$$
a_i A^i \alpha+a_{i+1} A^{i+1} \alpha+\cdots+a_{k-1} A^{k-1} \alpha=0 .
$$

两边用 $\boldsymbol{A}^{k-1-i}$ 作用，因 $\boldsymbol{A}^t \alpha=0(t \geqslant k)$ ，故上式变为 $a_i \boldsymbol{A}^{k-1} \alpha=0$ ，已知 $\boldsymbol{A}^{k-1} \alpha \neq 0$ ，故 $a_i=0$ ，与假设矛盾。故 $\alpha, \boldsymbol{A} \alpha, \cdots, \boldsymbol{A}^{k-1} \alpha$ 必线性无关。

现令

$$
I(\alpha)=L\left(\alpha, A \alpha, \cdots, A^{k-1} \alpha\right)
$$

则 $I(\alpha)$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个不变子空间，且 $\operatorname{dim} I(\alpha)=k . I(\alpha)$ 称为由 $\alpha$ 生成的 $\boldsymbol{A}$ 的**循环不变子空间**。在 $I(\alpha)$ 的基 $\boldsymbol{A}^{k-1} \alpha, \boldsymbol{A}^{k-2} \alpha, \cdots, \boldsymbol{A} \alpha, \alpha$ 下， $\boldsymbol{A}$（限制在 $I(\alpha)$ 内）的矩阵为

![图片](/uploads/2025-10/513a21.jpg)
 
 反过来说，如果 $M$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个不变子空间，且 $M$ 内存在一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_k$ ，使 $\left.\boldsymbol{A}\right|_M$ 在此组基下为上面的矩阵 $J$ ，于是

$$
\boldsymbol{A} \varepsilon_k=\varepsilon_{k-1}, \boldsymbol{A} \varepsilon_{k-1}=\varepsilon_{k-2}, \cdots, \boldsymbol{A} \varepsilon_2=\varepsilon_1, \boldsymbol{A} \varepsilon_1=0
$$

令 $\alpha=\varepsilon_k$ ，则 $A \alpha=\varepsilon_{k-1}, A^2 \alpha=\varepsilon_{k-2}, \cdots, A^{k-2} \alpha=\varepsilon_2, A^{k-1} \alpha=\varepsilon_1$ ，由此得知 $M=L\left(\alpha, A \alpha, \cdots, A^{k-1} \alpha\right)$ 是由 $\alpha=\varepsilon_k$ 生成的循环不变子空间．

**定义** 形如

![图片](/uploads/2025-10/a23e0e.jpg)
 的准对角矩阵称为一个 **Jordan（若当）形矩阵**，而主对角线上小块方阵 $J_i$ 称为 **Jordan（若当）块**。

本节的任务是来证明：对数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内一个幂零线性变换 $\boldsymbol{A}$ ，必可在 $V$ 内选取一组基，使在该组基下 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵成 Jordan 形矩阵。

我们先来证明一个基本事实．
**命题1．2** 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 内的一个幂零线性变换，则在 $V$ 内存在一组基，使 $\boldsymbol{A}$ 在该组基下的矩阵成 Jordan 形矩阵的充分必要条件是 $V$ 可分解为 $\boldsymbol{A}$ 的循环不变子空间的直和：

$$
V=I\left(\alpha_1\right) \oplus I\left(\alpha_2\right) \oplus \cdots \oplus I\left(\alpha_s\right) .
$$

证 必要性 设 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵在 $V$ 的一组基下成上述 Jordan 形，则按第四章命题4．5，空间 $V$ 分解为 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间的直和：

$$
V=M_1 \oplus M_2 \oplus \cdots \oplus M_s,
$$

且在 $M_i$ 内存在一组基 $\varepsilon_{i 1}, \varepsilon_{i 2}, \cdots, \varepsilon_{i n_i}$ ，使 $\left.\boldsymbol{A}\right|_{M_i}$ 在此组基下的矩阵为

![图片](/uploads/2025-10/19ea38.jpg)
 
 这表示 $\boldsymbol{A} \varepsilon_{i n_i}=\varepsilon_{i n_i-1}, \cdots, \boldsymbol{A} \varepsilon_{i 2}=\varepsilon_{i 1}, \boldsymbol{A} \varepsilon_{i 1}=0$ ．于是 $M_i=I\left(\varepsilon_{i n_i}\right)$ ，即 $M_i$ 为 $\varepsilon_{i n_i}$ 生成的 $n_i$ 维循环不变子空间。

充分性 若

$$
V=I\left(\alpha_1\right) \oplus I\left(\alpha_2\right) \oplus \cdots \oplus I\left(\alpha_s\right)
$$

在每个 $I\left(\alpha_i\right)$ 内选取基 $A^{n_1-1} \alpha_i, A^{n_t-2} \alpha_i, \cdots, A \alpha_i, \alpha_i$ ，根据第四章命题 4．5．它们合并为 $V$ 的一组基，在此组基下 $\boldsymbol{A}$ 的矩阵即为 Jordan 形
矩阵。
下面的讨论将使用商空间的技巧，现在把有关的知识再简单复习一下。

设 $M$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个不变子空间，则 $V$ 对 $M$ 的商空间为

$$
\bar{V}=V / M=\{\alpha+M \mid \alpha \in V\}
$$

$\alpha+M$ 记为 $\bar{\alpha}$ ，我们有如下基本关系

$$
k_1 \bar{\alpha}_1+k_2 \bar{\alpha}_2+\cdots+k_s \bar{\alpha}_s=\overline{k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s}
$$

在第四章§3中定义了 $V$ 到 $\bar{V}$ 的自然映射

$$
\begin{aligned}
\varphi: V & \rightarrow \bar{V}, \\
& \alpha \mapsto \bar{\alpha}=\alpha+M .
\end{aligned}
$$

这是 $V$ 到 $\bar{V}$ 的一个线性映射，上面的基本关系可用 $\varphi$ 表示如下：

$$
\begin{aligned}
& \overline{k_1 \alpha_1}+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=\varphi\left(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s\right) \\
& \quad=k_1 \varphi\left(\alpha_1\right)+k_2 \varphi\left(\alpha_2\right)+\cdots+k_s \varphi\left(\alpha_s\right) \\
& \quad=k_1 \bar{\alpha}_1+k_2 \bar{\alpha}_2+\cdots+k_s \bar{\alpha}_s
\end{aligned}
$$

注意 线性映射 $\varphi$ 的核 $\operatorname{Ker} \varphi=M$ ，即 $\varphi(\alpha)=\overline{0}$ 的充分必要条件是 $\alpha \in M$（此时 $\alpha+M=0+M=\overline{0}$ ）．

因为 $M$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的不变子空间，故 $\boldsymbol{A}$ 在 $\bar{V}$ 内有诱导变换：

$$
\boldsymbol{A} \bar{\alpha}=\boldsymbol{A}(\alpha+M)=\boldsymbol{A} \alpha+M=\overline{\boldsymbol{A} \alpha}
$$

或用自然映射 $\varphi$ 表示为

$$
\varphi(\boldsymbol{A} \alpha)=\overline{\boldsymbol{A} \alpha}=\boldsymbol{A} \bar{\alpha}=\boldsymbol{A} \varphi(\alpha)
$$

上式表示 $\varphi$ 与 $\boldsymbol{A}$ 的作用可交换．显然，

$$
\boldsymbol{A}^k \overline{\boldsymbol{\alpha}}=\boldsymbol{A}^k \alpha+M=\overline{\boldsymbol{A}^k \alpha}
$$

即 $\varphi\left(\boldsymbol{A}^k \alpha\right)=\boldsymbol{A}^k \varphi(\alpha)$ ，即 $\varphi$ 与 $\boldsymbol{A}^k$ 的作用也可交换．
如果 $\boldsymbol{A}^m=\mathbf{0}$ ，则对任意 $\bar{\alpha} \in \bar{V}$ ，有

$$
\boldsymbol{A}^m \bar{\alpha}=\overline{\boldsymbol{A}^m \alpha}=\overline{0}
$$

故 $\boldsymbol{A}$ 在 $V / M$ 内的诱导变换也是幂零线性变换．
根据第四章命题 2.5 ，我们有

$$
\operatorname{dim} V / M=\operatorname{dim} V-\operatorname{dim} M
$$

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