最后更新: 2025-10-14 15:11 查看: 55 次纠错评论(0) 课件开VIP

有理整数环的基本概念

我们在本书的开头已经指出，在历史上，代数学是从研究数及其加、减、乘、除四则运算中产生和发展起来的。在前七章，从线性方程组的理论入手，逐步深入地阐述了一类最初等的代数系统——线性空间，研究了这类代数系统及其相互关系（线性映射特别是线性变换）的基本理论。从本章开始，我们要返回到代数学的原始出发点上，从另一个角度逐步深入探讨数及其运算的理论，而且阐明：从这个角度着手研究，也同样归结为研究一类新的代数系统，也就是说，同样引导我们进入现代的代数学领域．

## 有理整数环的基本概念

全体整数所组成的集合，是所有数系的最根本的出发点．在整数集合内，有两种运算：加法和乘法，而且它们满足如下几条基本运算法则：

**1）加法满足结合律：$a+(b+c)=(a+b)+c$ ；
2）加法满足交换律：$a+b=b+a$ ；
3）有一个数 0 ，使对任意整数 $a, ~ 0+a=a$ ；
4）对任一整数 $a$ ，存在整数 $b$ ，使 $b+a=0$ ；
5）乘法满足结合律：$a(b c)=(a b) c$ ；
6）有一个数 1 ，使对一切整数 $a$ ，有 $1 \cdot a=a$ ；
7）加法与乘法满足分配律：$a(b+c)=a b+a c$ ；
8）乘法满足交换律 $a b=b a$ ；
9）如果 $a \neq 0, b \neq 0$ ，则 $a b \neq 0$ ．**

前面已经指出，如果一个非空集合，其中定义了若干种运算，并满足一定运算法则，那它就是一个代数系统，即代数学的一个研究对象．因此，全体整数加上其中的两种运算：加法与乘法，以及它们所满足的上述九条运算法则，就成为一个代数系统，我们把这个代数系统称为**有理整数环**，并固定用空体字母 $\mathbb{Z}$ 代表它．

对任意 $a \in \mathbb{Z}$ ，按运算法则（4），有 $b \in \mathbb{Z}$ ，使 $b+a=0, b$ 称为 $a$的负数，记为 $-a$ ．有了负数的概念， $\mathbb{Z}$ 内加法就有了逆运算：减法．对任意 $a, b \in \mathbb{Z}$ ，定义 $a+(-b)=a-b$ ，这就是 $\mathbb{Z}$ 内的减法运算．

当然，应当说明，现在 $\mathbb{Z}$ 内的加法与乘法都是具体的数的运算，所以上面九条法则（就像向量空间中向量加法、数乘所满足的八条运算法则一样），是可以从逻辑上加以证明的，并不是当作公理来定义的．但是上面概括的九条基本法则，是我们通常习惯使用的有关整数的各种理论知识的基础．在中、小学的课程中，读者已经对它们十分熟悉，这里仅作概要的阐述，不再仔细讨论．

从上面指出的九条基本法则，我们立即发现， $\mathbb{Z}$ 内的加法和乘法有一个根本的不同点：对任意 $a \in \mathbb{Z}$ ，一般不存在 $b \in \mathbb{Z}$ ，使 $b a=$ 1．于是 $\mathbb{Z}$ 内乘法没有逆运算，即对任意 $a, b \in \mathbb{Z}, \frac{a}{b}$ 不一定有意义．由于这个根本区别，就产生了有理整数环中一个新的理论课题：整除性理论．

## 本章解读

####  1. 先拆解这个名字

- **有理整数**：其实就是我们平常说的**整数**，即 ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...  
  数学上为了区别于其他“整数”（比如代数整数），特意叫“有理整数”，强调它们是有理数中的整数。

- **环**：这是一个代数结构，指**能做加法、减法、乘法，并且运算满足一些常见规则**（比如结合律、分配律）的集合。

所以**有理整数环** = **我们熟悉的全体整数，配上加法、乘法运算**。

数学符号：$\mathbb{Z}$

#### 2. 核心比喻：**一个完美的算术世界**

想象一个叫“整数王国”的地方，里面的公民就是全体整数。这个王国有两条基本运算法律：

1. **加法法律**：
   - 任何两个公民相加，结果还是王国公民（封闭性）。
   - 有“零公民”（0），谁加它都不变。
   - 每个公民都有相反数（如 5 和 -5），相加得零。
   - 加法满足交换律、结合律。

2. **乘法法律**：
   - 任何两个公民相乘，结果还是王国公民。
   - 有“壹公民”（1），谁乘它都不变。
   - 乘法满足交换律、结合律，并对加法满足分配律。

**这个“整数王国”就是有理整数环。**

### 3. 它和我们小学学的算术有什么不同？

小学算术主要在正整数里玩，但整数环**包含了负数**，并且明确指出了它的代数结构特点：

- **可以做减法**：因为有了负数，减法畅通无阻（$a - b = a + (-b)$）。
- **不一定能做除法**：这是整数环和有理数体的关键区别！  
  在整数环里，$3 \div 2$ 不是整数，所以**除法不总是可行**。  
  这就像在一个只能整颗糖买卖的商店，你不能买半颗糖。

---

### 4. “环”这个字怎么理解？

你可以想象一个**闭合的环**——在整数范围内加、减、乘，永远不会跑出这个圈。  
但除法会把你推出这个圈（可能得到分数），所以它只是“环”，不是“域”（域里除法畅通，除了除以零）。

![图片](/uploads/2025-10/c359ea.jpg){width=300px}

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### 5. 为什么重要？

- **数论的基石**：所有数论研究都是从整数环开始的。质数、整除、同余等概念都在这里定义。
- **代数的基础模型**：它是交换环中最基本、最重要的例子，很多抽象环的定义都是模仿整数环的性质。
- **计算机的实质**：计算机处理整数运算（int类型）实际上就是在模拟整数环的运算（有范围限制）。
 
总之，
> **有理整数环就是我们最熟悉的全体整数（含负数），配上加法、乘法运算，形成一个能做加减乘但不保证总能除的代数系统。它是整个数论和代数的起点。**

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