最后更新: 2025-10-14 14:34 查看: 71 次纠错评论(0) 课件开VIP

整除性理论与理想

## 1．整除性理论
**定义** 任给 $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ 。若存在 $q \in \mathbb{Z}$ 使 $a=b q$ ，则称 $b$ 整除 $a$ ，记做 $b \mid a$ ．这时称 $a$ 是 $b$ 的倍数，而称 $b$ 是 $a$ 的因数．若不存在满足上述条件的 $q$ ，则称 $b$ 不整除 $a$ ，记做 $b \nmid a$ ．

上面的定义体现了有理整数环与数域的根本性区别．由此就产生出有理整数环内一系列新的研究课题．

> **记忆技巧 $b$整除$a$ 记作 $b|a$ ， 即  $b$ 这把刀，去切$a$。$b$ 是主动的，所以在前。结果是 $a$ 被 $b$ 完美地分割成了若干整数份**

`例` “2 整除 6”  
问自己：谁是除数？是 2。谁是被除数？是 6。 
根据口诀 “除数 | 被除数” 或 “刀 | 被切的东西” 
所以正确答案是 2 | 6。

**整除关系显然有下列性质** 
1）若 $b \mid a, a \neq 0$ ，则 $|b| \leqslant|a|$ ．因此，任一非零整数只有有限多个因数；

2）若 $b|a, c| b$ ，则 $c \mid a$ ；
3）若 $c|a, c| b$ ，则 $c \mid(a x+b y), \forall x, y \in \mathbb{Z}$ ；
4）若 $b \mid a, c \neq 0$ ，则 $b c \mid a c$ ，反之亦然．
下面的命题是基本的．

## 带余除法
**命题1.1（带余除法）** 对任意 $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ ，唯一存在两个数 $q, r \in \mathbb{Z}$ ，满足

$$
a=b q+r, \quad 0 \leqslant r<|b| .
$$

证 先证明 $q$ 和 $r$ 的存在性．如果 $b>0$ ，考虑整数序列

$$
\cdots,-3 b,-2 b,-b, 0, b, 2 b, 3 b, \cdots,
$$

则 $a$ 必落在序列中某两项之间．故必定存在 $q \in \mathbb{Z}$ ，使得 $q b \leqslant a< (q+1) b$ ．令 $r=a-q b$ ，则有

$$
a=b q+r, \quad 0 \leqslant r < b
$$

如果 $b < 0 $ ，我们有

$$
a=q|b|+r=(-q) b+r, \quad 0 \leqslant r<|b| .
$$

再证明 $q$ 和 $r$ 的唯一性．设另有 $q^{\prime}, r^{\prime} \in \mathbb{Z}$ 使 $a=b q^{\prime}+r^{\prime}, 0 \leqslant r^{\prime} <|b|$ ，则

$$
b q+r=b q^{\prime}+r^{\prime}
$$

进而得到 $|b|\left|q-q^{\prime}\right|=\left|r-r^{\prime}\right|$ 。如果 $q \neq q^{\prime}$ ，则等式左端 $\geqslant|b|$ 。但由 $0 \leqslant r, r^{\prime}<|b|$ 可得等式右端 $<|b|$ ．这个矛盾说明 $q=q^{\prime}$ ，从而 $r=r^{\prime}$ ，定理得证．

定理中的 $q$ 和 $r$ 分别称为 $a$ 除以 $b$ 得到的**商**和**余数**。带余除法是处理有理整数环内许多问题的有力工具，读者必须给予足够的重视。

## 最大公因数GCD
**定义** 设 $a, b \in \mathbb{Z}$ ，且 $a, b$ 不全为零。如果 $d|a, d| b$ ，则称 $d$ 为 $a, b$ 的**公因数**．

显然 $a, b$ 只有有限多个公因数．称其中最大的一个叫做 $a, b$ 的**最大公因数 (gcd)**，记做 $(a, b)$ ．

如果 $(a, b)=1$ ，则称 $a, b$ **互素**．
对 $k$ 个不全为 0 的整数 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ ，同样定义其公因数及最大公因数 $\left(a_1, a_2, \cdots, a_k\right)$ ．若 $\left(a_1, a_2, \cdots, a_k\right)=1$ ，则称 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ **互素**．

若 $d$ 是 $a, b$ 的公因数，则 $-d$ 也是 $a, b$ 的公因数。因此，$a, b$ 的最大公因数必为正数．又，显然有 $(a, b)=(|a|,|b|)$ ．这样，在求 $a, b$ 的公因数时可以只考虑非负整数．

> 给定整数 $a, b, b \neq 0$ 且 $a=b q+r$ ，则 $(a, b)=(b, r)$ 。

这事实的证法如下：
因 $(a, b)|a,(a, b)| b, r=a-b q$ ，有 $(a, b) \mid r$ ．所以 $(a, b) \leqslant(b, r)$ ．

同理可证 $(b, r) \leqslant(a, b)$ ．故 $(a, b)=(b, r)$ ．

### 最大公因数的欧几里得算法

上面的简单事实可以用来计算两个整数的最大公因数．给定非负整数 $a, b$ ，若 $a, b$ 中有一个为 0 ，譬如 $b=0$ ，则 $(a, b)=a$ 。于是不妨设 $0<b<a$ ．做带余除法，$a=b q_1+r_1, 0 \leqslant r_1<b$ ．若 $r_1=0$ ，则 $(a, b)= \left(b, r_1\right)=b$ ．若 $r_1 \neq 0$ ．则再做带余除法

$$
\begin{aligned}
& b=r_1 q_2+r_2, \quad 0<r_2<r_1 \\
& r_1=r_2 q_3+r_3, \quad 0<r_3<r_2 \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& r_{n-1}=r_n q_{n+q}+r_{n+1}
\end{aligned}
$$

因为 $r_1>r_2>r_3>\cdots \geqslant 0$ ，所以经有限 $n$ 步后必有 $r_{n+1}=0$ ．这时，

$$
(a, b)=\left(b, r_1\right)=\left(r_1, r_2\right)=\left(r_2, r_3\right)=\cdots=\left(r_{n-1}, r_n\right)=r_n
$$

这种算法叫 Euclid 算法，也叫**辗转相除法**。

`例` 求最大公约数 $\gcd(1071, 462)$

1. $1071 \div 462 = 2$ 余 $147$  
   → $\gcd(1071, 462) = \gcd(462, 147)$

2. $462 \div 147 = 3$ 余 $21$  
   → $\gcd(462, 147) = \gcd(147, 21)$

3. $147 \div 21 = 7$ 余 $0$  
   → 余数为 0，所以最大公约数是 $21$。

因此：
$\gcd(1071, 462) = 21$

代码实现

Python 版本（递归）

```python
def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

print(gcd(1071, 462))  # 输出 21
```

## 最小公倍数LCM

给定两个非零整数 $a, b$ ，设 $m$ 是一个整数，且 $a|m, b| m$ ，则称 $m$是 $a, b$ 的一个公倍数．若 $m$ 是 $a, b$ 的公倍数，则 $-m$ 也是 $a, b$ 的公倍数．显然，$\pm a b$ 是 $a, b$ 的非零公倍数．在 $a, b$ 的全体公倍数中的最小正整数（它显然存在而且唯一）称为 $a, b$ 的**最小公倍数**，记做 $[a, b]$ ．

## 最大公约数与最小公倍数关系

$$
\boxed{
\mathrm{lcm}(a, b) = \frac{|a \times b|}{\gcd(a, b)}
}
$$
这个公式建立了最小公倍数和最大公约数之间的桥梁，让我们可以通过求 GCD 来快速得到 LCM。

设 $d = \gcd(a, b)$，那么可以令：
$$
a = d \cdot m, \quad b = d \cdot n
$$
其中 $\gcd(m, n) = 1$（即 $m$ 和 $n$ 互质）。

那么：
$$
a \times b = d \cdot m \times d \cdot n = d^2 \cdot m \cdot n
$$

由于 $m$ 和 $n$ 互质，$a$ 和 $b$ 的最小公倍数应该是：
$$
\mathrm{lcm}(a, b) = d \cdot m \cdot n
$$

因此：
$$
\mathrm{lcm}(a, b) = d \cdot m \cdot n = \frac{d^2 \cdot m \cdot n}{d} = \frac{a \times b}{d} = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}
$$

`例` 求 $\mathrm{lcm}(12, 18)$

1. 先求 $\gcd(12, 18)$：
   - $18 \div 12 = 1$ 余 $6$
   - $12 \div 6 = 2$ 余 $0$
   - 所以 $\gcd(12, 18) = 6$

2. 代入公式：
   $$
   \mathrm{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36
   $$
   
代码实现

``` 
def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

def lcm(a, b):
    return abs(a * b) // gcd(a, b)

print(lcm(12, 18))  # 输出 36
print(lcm(1071, 462))  # 输出 23562
```

## 有理整数环的理想
在第四章我们指出，研究线性空间的一个基本方法是讨论它的各种子空间．这个方法同样用来研究有理整数环．下面给出与子空间地位大致相似（但不是完全一样）的概念。

定义 设 $I$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个非空子集，且满足如下条件：
（i）若 $a, b \in I$ ，则 $a-b \in I$ ；
（ii）若 $a \in I$ ，则对任意 $b \in \mathbb{Z}$ 有 $a b \in I$ ，则 $I$ 称为 $\mathbb{Z}$ 的一个**理想**．

显然，单由 0 组成的子集 $\{0\}$ 及 $\mathbb{Z}$ 自身都是理想。这两个理想称为**平凡理想**，$\{0\}$ 称为**零理想**． $\mathbb{Z}$ 的其他理想称**为非平凡理想**．

任给 $a \in \mathbb{Z}$ ，定义

$$
(a)=\{k a \mid k \in \mathbb{Z}\},
$$

即由 $a$ 的全体倍数所组成的子集．（a）显然是一个理想，称为由 $a$ 生成的**主理想**．易知 $(-a)=(a)$ ，所以只需考虑由非负整数生成的主理想就可以了．显然 $(0)=\{0\},(1)=\mathbb{Z}$ 为平凡理想，其他主理想均为非平凡主理想。

### 理解“理想”的意思

理想”这个概念是为了推广一些像整数、多项式这样的代数结构中的性质而诞生的。它的英文是 Ideal

你可以把一个理想 $ I $ 想象成环 $ R $ 中的一个“黑洞”。任何来自 $ R $ 的元素（“外界物质”）与 $ I $ 中的元素（“黑洞内的物质”）相乘，结果都会被“吸回”到 $ I $ 这个黑洞里，永远逃不出去。

一个经典的例子：偶数集

*   **环 $ R $**：所有整数 ℤ
*   **子集 $ I $**：所有偶数

我们来验证它是否是理想：
1.  **加法封闭**：任意两个偶数相减，结果还是偶数。 
2.  **吸收性质**：任何一个整数（奇数或偶数）乘以一个偶数，结果必然还是偶数。

所以，**所有偶数的集合是整数环的一个理想**。

>**为什么叫“理想数”（Ideal Number）？**
这个概念的历史来源是为了解决一些数论问题。比如，在像 $ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 这样的环里，数字6有两种不同的质因数分解方式：$ 6 = 2 \times 3$ 和 $ 6 = (1+\sqrt{-5}) \times (1-\sqrt{-5}) $，这破坏了“唯一分解定理”。数学家库默尔引入了“理想数”来弥补这种缺陷，使得唯一分解定理仍然成立。后来，戴德金将这些“理想数”抽象成了我们现在所说的“理想”集合。

我们有以下两个简单事实：
1）$(a) \subseteq(b)$ 且 $(b) \neq\{0\} \Longleftrightarrow b \mid a$ ；
这是因为 $(a) \subseteq(b) \Longleftrightarrow a \in(b) \Longleftrightarrow a=b c$ ．
2）$(a)=(b) \Longleftrightarrow a= \pm b$ ．
这是因为，由 $(a) \subseteq(b) \Longrightarrow a=b c$ ；又由 $(b) \subseteq(a) \Longrightarrow b=a d$ ，故 $-a= a d c$ ．若 $a=0$ ，显见 $b=0$ ；若 $a \neq 0$ ，则 $d c=1$ ，于是 $c= \pm 1$ ，因而 $a= \pm b$ ．反之，若 $a= \pm b$ ，显然有 $(a)=(b)$ ．

从简单事实 1）立即推出：

> $d$ 是 $a, b$ 的公因子的充分必要条件是 $(a) \subseteq(d),(b) \subseteq(d) ; m$ 是 $a, b$ 的公倍数的充分必要条件是 $(m) \subseteq(a), \quad(m) \subseteq(b) $

**命题1.2** 设 $I$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个理想，则存在非负整数 $a$ ，使 $I=$ （a），即 $\mathbb{Z}$ 的所有理想都是主理想．

证 若 $I$ 是零理想 $\{0\}$ ，取 $a=0$ 即可．现设 $I \neq\{0\}$ ，于是 $I$ 中必有非零之整数．若 $b \in I$ ，则 $-b=(-1) \cdot b \in I$ ．现令 $a$ 为 $I$ 中最小正整数，它显然存在而且唯一。此时对任意 $k \in \mathbb{Z}$ 都有 $k a \in I$ ，于是（ $a$ ） $\subseteq I$ ，反之，设 $b$ 为 $I$ 中任一整数，按带余除法，有 $q, r \in \mathbb{Z}$ ，使 $b=q a +r, 0 \leqslant r<a$ ．因 $r=b-q a \in I$ ，由 $a$ 的最小性知 $r=0$ ．故 $b=q a \in (a)$ ．于是 $I=(a)$ ．

理想在 $\mathbb{Z}$ 中的地位大致相当于线性空间中子空间的地位．在第四章§2已指出，研究子空间的交与和是很重要的．现在我们也需要研究 $\mathbb{Z}$ 中两个理想的交与和．

给定 $\mathbb{Z}$ 的两个理想 $I_1, I_2$ ，则：

> 你或者就把 $I_1, I_2$ 想象为2个偶数集合。

1）它们的交集 $I_1 \cap I_2$ 也是 $\mathbb{Z}$ 的理想，称为此两理想的交．
下面验证此结论。首先，由命题1．2易知 $0 \in I_1, 0 \in I_2$ ，故 $0 \in I_1 \cap I_2$ ，即 $I_1 \cap I_2$ 非空．又设 $a, b \in I_1 \cap I_2$ ．则因 $a, b \in I_1$ ，故 $a-b \in I_1$ ，同理 $a-b \in I_2$ ，于是有 $a-b \in I_1 \cap I_2$ ．对任意整数 $k$ ，有 $k a \in I_1, k a \in I_2$ ，故 $k a \in I_1 \cap I_2$ ，于是 $I_1 \cap I_2$ 为 $\mathbb{Z}$ 的理想．

2）定义

$$
I_1+I_2=\left\{a_1+a_2 \mid a_1 \in I_1, a_2 \in I_2\right\}
$$

则 $I_1+I_2$ 也是 $\mathbb{Z}$ 的理想，称为 $I_1, I_2$ 的和．
下面验证此结论．首先，$I_1+I_2$ 显然非空．若 $a, b \in I_1+I_2$ ，则有

$$
a=a_1+a_2, \quad b=b_1+b_2 \quad\left(a_1, b_1 \in I_1, a_2, b_2 \in I_2\right) .
$$

于是

$$
a-b=\left(a_1-b_1\right)+\left(a_2-b_2\right)
$$

现在 $a_1-b_1 \in I_1, a_2-b_2 \in I_2$ ，故 $a-b \in I_1+I_2$ ．又对任意整数 $k$ ，有 $k a =k a_1+k a_2$ ，现在 $k a_1 \in I_1, k a_2 \in I_2$ ，故 $k a \in I_1+I_2$ ，这表明 $I_1+I_2$ 确为理想。

### 理想的应用

理想的交有重要应用，下面是一个例子．
设 $a, b$ 是两个非零整数，按命题 1.2 ，有
$(a) \cap(b)=(m)$.
这里设 $m \geqslant 0$ ．于是 $(m) \subseteq(a)$ ，即 $a \mid m,(m) \subseteq(b)$ ，即 $b \mid m$ ，于是 $m$ 为 $a, b$ 的公倍数．对 $a, b$ 的任一公倍数 $m_1$ ，有 $\left(m_1\right) \subseteq(a),\left(m_1\right) \subseteq(b)$ ，于是 $\left(m_1\right) \subseteq(a) \cap(b)=(m)$ 。因为 $a, b$ 必有非零公倍数（例如 $a b$ ），故可设 $m_1 \neq 0$ ，由上式知 $m \neq 0$ ，于是 $m \mid m_1$ 。这表明 $m$ 为 $a, b$ 的最小公倍数．这就是说，最小公倍数可用理想的交来刻画．由此还知 $a, b$ 的任意公倍数都是最小公倍数的倍数。

两个理想的和也有重要应用，下面的命题说明了这一点．

命题 1.3 设 $a, b$ 是两个不全为 0 的整数，则 $(a)+(b)=(d)$ ，其中 $d=(a, b)$ 为 $a, b$ 的最大公因数。

证 已知 $(a)+(b)$ 为理想，按命题 1.2 ，有非负整数 $d$ ，使 $(a)+ (b)=(d)$ 。因 $(a),(b)$ 不全为 $\{0\}$ ，故 $(d) \neq\{0\}$ 。从而 $d$ 为正整数。又 $(a) \subseteq(d)$（因 $(b)$ 中含 0$),(b) \subseteq(d)$（因 $(a)$ 中含 0 ），于是 $d|a, d| b$ ，即 $d$ 为 $a, b$ 的公因数．现设 $d_1$ 为 $a, b$ 的任一公因数，则 $(a) \subseteq\left(d_1\right),(b) \subseteq\left(d_1\right)$ ，从而

$$
(d)=(a)+(b) \subseteq\left(d_1\right)
$$

这又表明 $d_1 \mid d$ ，于是 $d$ 为 $a, b$ 的最大公因数．
上面的命题表明最大公因数可用理想的和来刻画。这个命题同时也证明 $a, b$ 的任意公因数都是其最大公因数 $d$ 的因数．

**推论1** 设 $a, b$ 是两个不全为 0 的整数，令 $d=(a, b)$ ，则存在 $u$ ， $v \in \mathbb{Z}$ ，使

$$
u a+v b=d
$$

证 因 $d \in(d)=(a)+(b)$ ，故有

$$
d=u a+v b
$$

**推论2** 设 $a, b$ 是两个不全为 0 的整数，则下面命题互相等价：
（i）$a, b$ 互素，即 $(a, b)=1$ ；
（ii）有 $u, v \in \mathbb{Z}$ ，使 $u a+v b=1$ ；
（iii）$(a)+(b)=\mathbb{Z}=(1)$ ．
证（i）$\Rightarrow$（ii）：由推论 1 立知。
（ii）$\Rightarrow$（iii）：若 $u a+v b=1$ ，因 $u a \in(a), v b \in(b)$ ，故 $1 \in(a)+ (b)$ ，于是 $\mathbb{Z}=(1) \subseteq(a)+(b) \subseteq \mathbb{Z}$ ，故有 $(a)+(b)=\mathbb{Z}$ ．
（iii）$\Longrightarrow$（i）：设 $(a, b)=d$ ．由命题1．3知

$$
(1)=\mathbb{Z}=(a)+(b)=(d)
$$

现在 $(1)=(d)$ ，且 $d>0$ ，故 $d=1$ ，即 $a, b$ 互素．

**推论3** 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, a \neq 0$ ．若 $a \mid b c$ ，且 $(a, b)=1$ ，则 $a \mid c$ ．
证 设 $b c=k a$ ，因 $(a, b)=1$ ，按推论 2 ，有 $u, v \in \mathbb{Z}$ ，使 $u a+v b=$ 1 ，于是

$$
\begin{aligned}
c & =c(u a+v b)=c u a+v b c \\
& =c u a+v k a=a(c u+v k)
\end{aligned}
$$

故 $a \mid c$ ．

其他版本
【数论入门】最大公因数GCD 【数论入门】带余除法与二进制

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