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整除性理论与理想

## 1．整除性理论
**定义** 任给 $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ 。若存在 $q \in \mathbb{Z}$ 使 $a=b q$ ，则称 $b$ 整除 $a$ ，记做 $b \mid a$ ．这时称 $a$ 是 $b$ 的倍数，而称 $b$ 是 $a$ 的因数．若不存在满足上述条件的 $q$ ，则称 $b$ 不整除 $a$ ，记做 $b \nmid a$ ．

上面的定义体现了有理整数环与数域的根本性区别．由此就产生出有理整数环内一系列新的研究课题．

> **记忆技巧 $b$整除$a$ 记作 $b|a$ ， 即  $b$ 这把刀，去切$a$。$b$ 是主动的，所以在前。结果是 $a$ 被 $b$ 完美地分割成了若干整数份**

`例` “2 整除 6”  
问自己：谁是除数？是 2。谁是被除数？是 6。 
根据口诀 “除数 | 被除数” 或 “刀 | 被切的东西” 
所以正确答案是 2 | 6。

**整除关系显然有下列性质** 
1）若 $b \mid a, a \neq 0$ ，则 $|b| \leqslant|a|$ ．因此，任一非零整数只有有限多个因数；

2）若 $b|a, c| b$ ，则 $c \mid a$ ；
3）若 $c|a, c| b$ ，则 $c \mid(a x+b y), \forall x, y \in \mathbb{Z}$ ；
4）若 $b \mid a, c \neq 0$ ，则 $b c \mid a c$ ，反之亦然．
下面的命题是基本的．

## 带余除法
**命题1.1（带余除法）** 对任意 $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ ，唯一存在两个数 $q, r \in \mathbb{Z}$ ，满足

$$
a=b q+r, \quad 0 \leqslant r<|b| .
$$

证 先证明 $q$ 和 $r$ 的存在性．如果 $b>0$ ，考虑整数序列

$$
\cdots,-3 b,-2 b,-b, 0, b, 2 b, 3 b, \cdots,
$$

则 $a$ 必落在序列中某两项之间．故必定存在 $q \in \mathbb{Z}$ ，使得 $q b \leqslant a< (q+1) b$ ．令 $r=a-q b$ ，则有

$$
a=b q+r, \quad 0 \leqslant r < b
$$

如果 $b < 0 $ ，我们有

$$
a=q|b|+r=(-q) b+r, \quad 0 \leqslant r<|b| .
$$

再证明 $q$ 和 $r$ 的唯一性．设另有 $q^{\prime}, r^{\prime} \in \mathbb{Z}$ 使 $a=b q^{\prime}+r^{\prime}, 0 \leqslant r^{\prime} <|b|$ ，则

$$
b q+r=b q^{\prime}+r^{\prime}
$$

进而得到 $|b|\left|q-q^{\prime}\right|=\left|r-r^{\prime}\right|$ 。如果 $q \neq q^{\prime}$ ，则等式左端 $\geqslant|b|$ 。但由 $0 \leqslant r, r^{\prime}<|b|$ 可得等式右端 $<|b|$ ．这个矛盾说明 $q=q^{\prime}$ ，从而 $r=r^{\prime}$ ，定理得证．

定理中的 $q$ 和 $r$ 分别称为 $a$ 除以 $b$ 得到的**商**和**余数**。带余除法是处理有理整数环内许多问题的有力工具，读者必须给予足够的重视。

## 最大公因数GCD
**定义** 设 $a, b \in \mathbb{Z}$ ，且 $a, b$ 不全为零。如果 $d|a, d| b$ ，则称 $d$ 为 $a, b$ 的**公因数**．

显然 $a, b$ 只有有限多个公因数．称其中最大的一个叫做 $a, b$ 的**最大公因数 (gcd)**，记做 $(a, b)$ ．

如果 $(a, b)=1$ ，则称 $a, b$ **互素**．
对 $k$ 个不全为 0 的整数 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ ，同样定义其公因数及最大公因数 $\left(a_1, a_2, \cdots, a_k\right)$ ．若 $\left(a_1, a_2, \cdots, a_k\right)=1$ ，则称 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ **互素**．

若 $d$ 是 $a, b$ 的公因数，则 $-d$ 也是 $a, b$ 的公因数。因此，$a, b$ 的最大公因数必为正数．又，显然有 $(a, b)=(|a|,|b|)$ ．这样，在求 $a, b$ 的公因数时可以只考虑非负整数．

> 给定整数 $a, b, b \neq 0$ 且 $a=b q+r$ ，则 $(a, b)=(b, r)$ 。

这事实的证法如下：
因 $(a, b)|a,(a, b)| b, r=a-b q$ ，有 $(a, b) \mid r$ ．所以 $(a, b) \leqslant(b, r)$ ．

同理可证 $(b, r) \leqslant(a, b)$ ．故 $(a, b)=(b, r)$ ．

### 最大公因数的欧几里得算法

上面的简单事实可以用来计算两个整数的最大公因数．给定非负整数 $a, b$ ，若 $a, b$ 中有一个为 0 ，譬如 $b=0$ ，则 $(a, b)=a$ 。于是不妨设 $0<b<a$ ．做带余除法，$a=b q_1+r_1, 0 \leqslant r_1<b$ ．若 $r_1=0$ ，则 $(a, b)= \left(b, r_1\right)=b$ ．若 $r_1 \neq 0$ ．则再做带余除法

$$
\begin{aligned}
& b=r_1 q_2+r_2, \quad 0<r_2<r_1 \\
& r_1=r_2 q_3+r_3, \quad 0<r_3<r_2 \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& r_{n-1}=r_n q_{n+q}+r_{n+1}
\end{aligned}
$$

因为 $r_1>r_2>r_3>\cdots \geqslant 0$ ，所以经有限 $n$ 步后必有 $r_{n+1}=0$ ．这时，

$$
(a, b)=\left(b, r_1\right)=\left(r_1, r_2\right)=\left(r_2, r_3\right)=\cdots=\left(r_{n-1}, r_n\right)=r_n
$$

这种算法叫 Euclid 算法，也叫**辗转相除法*

其他版本
【数论入门】带余除法与二进制【数论入门】最大公因数GCD

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