最后更新: 2025-10-16 21:26 查看: 49 次纠错评论(0) 课件开VIP

K[x] 内的理想

## K[x] 内的理想
下面再把 $\mathbb{Z}$ 中的理想的概念平行推移到 $K[x]$ 中来．

**定义** 设 $I$ 为 $K[x]$ 的一个非空子集．如果下面条件满足：
（i）若 $f(x), g(x) \in I$ ，则 $f(x)-g(x) \in I$ ；
（ii）若 $f(x) \in I$ ，则对任意 $g(x) \in K[x]$ ，有 $g(x) f(x) \in I$ ．则称 $I$ 为 $K[x]$ 的一个**理想**．
$\{0\}$ 和 $K[x]$ 显然都是理想，称为**平凡理想**，其他理想称为**非平凡理想**．$\{0\}$ 又称为**零理想**．

对任意 $f(x) \in K[x]$ ，定义

$$
(f(x))=\{u(x) f(x) \mid u(x) \in K[x]\},
$$

则 $(f(x))$ 显然是 $K[x]$ 的一个理想，称为由 $f(x)$ 生成的主理想．易知 $(0)=\{0\}$ 为零理想，而对 $K$ 内任意非零数 $a$（为任意零次多项式）， $(a)=K[x]$ 。当 $\operatorname{deg} f(x) \geqslant 1$ 时，$(f(x))$ 为非平凡理想。

## 主理想性质

1）$(f(x)) \subseteq(g(x))$ 且 $g(x) \neq 0 \Longleftrightarrow g(x) \mid f(x)$ ．这是因为 $(f(x)) \subseteq(g(x)) \Longleftrightarrow f(x)=u(x) g(x)$ ；

2）$(f(x))=(g(x)) \Longleftrightarrow g(x)=c f(x)$ ，其中 $c \in K, c \neq 0$ ．这是因为：若 $f(x), g(x)$ 中有一为 0 ，显然另一个也为 0 ．若 $f(x) \neq 0$ ，则 $g(x) \neq 0$ ，此时 $f(x)|g(x), g(x)| f(x) \Longleftrightarrow g(x)=c f(x)$ ．

**命题1.2** 设 $I$ 是 $K[x]$ 的一个非零理想，则存在 $K[x]$ 内的首一多项式 $f(x)$ ，使 $I=(f(x))$ 。

证 在 $I$ 中选取一个次数最低的多项式 $f(x)$ ，因对任意 $a \in K$ ， $a f(x) \in I$ ，故可设 $f(x)$ 为首一多项式。按理想定义中条件（ii）易知 $(f(x)) \subseteq I$ ．现设 $g(x)$ 为 $I$ 中任一元素，按带余除法，有 $q(x), r(x) \in K[x]$ ，使

$$
g(x)=q(x) f(x)+r(x)
$$

其中 $r(x)=0$ 或 $\operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} f(x)$ ．但 $r(x)=g(x)-q(x) f(x)$ 仍属 $I$ ，由 $f(x)$ 的选法可知必定 $r(x)=0$ ．于是 $g(x)=q(x) f(x)$ ，即 $g(x) \in(f(x))$ ，由此知 $I=(f(x))$ ．

对 $K[x]$ 内两个理想，我们有如下事实：
1）$I_1 \cap I_2$ 仍为 $K[x]$ 的理想，称为 $I_1$ 与 $I_2$ 的**交**；
2）令

$$
I_1+I_2=\left\{f(x)+g(x) \mid f(x) \in I_1, g(x) \in I_2\right\}
$$

则 $I_1+I_2$ 也是 $K[x]$ 的一个理想，称为 $I_1$ 与 $I_2$ 的**和**．
以上两个事实的证明与 $\mathbb{Z}$ 中完全一样，留给读者作为习题。

现设 $f(x)$ 是非零多项式，对任意 $a \in K, a \neq 0$ ，我们有 $(a f(x))=(f(x))$ ．因此，对一个非零主理想，我们总可以选取其生成元为首一多项式。

现在设 $f(x), g(x)$ 是两个非零多项式。令

$$
I=(f(x)) \cap(g(x))=(m(x))
$$

因 $f(x) g(x) \in I$ ，故 $I \neq\{0\}$ ，于是可设 $m(x)$ 为首一多项式．由 $(m(x)) \subseteq(f(x))$ 知 $f(x) \mid m(x)$ ，同理有 $g(x) \mid m(x)$ ，即 $m(x)$ 为 $f(x), g(x)$ 的公倍式．如果 $m_1(x)$ 是 $f(x), g(x)$ 的任一公倍式，$f(x) \left|m_1(x) \Longrightarrow\left(m_1(x)\right) \subseteq(f(x)), g(x)\right| m_1(x) \Longrightarrow\left(m_1(x)\right) \subseteq(g(x))$ ，故 $\left(m_1(x)\right) \subseteq(f(x)) \cap(g(x))=(m(x))$ ，于是 $m(x) \mid m_1(x)$ ，这表明 $m(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最小公倍式。

关于最大公因式，我们有与 $\mathbb{Z}$ 中类似的结果．

**命题1.3** 设 $f(x), g(x)$ 是 $K[x]$ 内两个不全为 0 的多项式，令 $(f(x))+(g(x))=(d(x))$ ，其中 $d(x)$ 为首一多项式，则

$$
d(x)=(f(x), g(x)) .
$$

证 现在 $(f(x))+(g(x)) \neq(0)$ ，故可取 $d(x)$ 为首一多项式．因 $(f(x)) \subseteq(d(x))$ ，故 $d(x) \mid f(x)$ ，同理 $d(x) \mid g(x)$ ，即 $d(x)$ 为 $f(x), g(x)$ 的一个公因式．若 $d_1(x)$ 为 $f(x), g(x)$ 的任一公因式，由 $d_1(x) \mid f(x)$ 推知 $(f(x)) \subseteq\left(d_1(x)\right)$ ，同理，$(g(x)) \subseteq\left(d_1(x)\right)$ ，于是 $(d(x))=(f(x))+(g(x)) \subseteq\left(d_1(x)\right)$ ，而这表示 $d_1(x) \mid d(x)$ 。

**推论1** 设 $f(x), g(x)$ 是 $K[x]$ 内两个不全为 0 的多项式， $d(x)=(f(x), g(x))$ ，则存在 $u(x), v(x) \in K[x]$ ，使

$$
u(x) f(x)+v(x) g(x)=d(x) .
$$

证 根据命题1．3，因 $d(x) \in(d(x))$ ，故结论成立．

**推论2** 设 $f(x), g(x)$ 是 $K[x]$ 内两个不全为 0 的多项式，则下列命题等价：
 
（i）$f(x)$ 与 $g(x)$ 互素；
（ii）存在 $u(x), v(x) \in K[x]$ ，使
$$
u(x) f(x)+v(x) g(x)=1 \text {; }
$$
（iii）$(f(x))+(g(x))=K[x]$ ．

证 $(\mathrm{i}) \Rightarrow$（ii）：由推论 1 立得。
（ii）$\Longrightarrow$（iii）：此时 $1 \in(f(x))+(g(x))$ ，从而 $K[x]$ 内任意 $u(x) \in(f(x))+(g(x))$ ，于是 $K[x] \subseteq(f(x))+(g(x)) \subseteq K[x]$ ，故

$$
(f(x))+(g(x))=K[x] .
$$

（iii）$\Longrightarrow$（i）：设 $(f(x), g(x))=d(x)$ ，按

命题1.3 有

$$
(d(x))=(f(x))+(g(x))=K[x]=(1),
$$

于是 $d(x)=c \in K$ ．但 $d(x)$ 为首一多项式，故 $d(x)=1$ 。

**推论3** 设 $f(x), g(x), h(x) \in K[x]$ ，并且 $f(x) \neq 0$ ．如果 $f(x) \mid g(x) h(x)$ 且 $(f(x), g(x))=1$ ，则 $f(x) \mid h(x)$ ．

证 设 $g(x) h(x)=q(x) f(x)$ ．由推论 2 ，有 $u(x), v(x)$ 使 $u(x) f(x)+v(x) g(x)=1$ ，于是

$$
\begin{aligned}
h(x) & =u(x) h(x) f(x)+v(x) h(x) g(x) \\
& =u(x) h(x) f(x)+v(x) q(x) f(x) \\
& =(u(x) h(x)+v(x) q(x)) f(x)
\end{aligned}
$$

即 $f(x) \mid h(x)$ ．
给定 $f(x), g(x) \in K[x], f(x) \neq 0$ ，作带余除法：

$$
\begin{gathered}
g(x)=q(x) f(x)+r(x) \\
(r(x)=0 \text { 或 } \operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} f(x)) .
\end{gathered}
$$

易知 $(f(x), g(x))=(f(x), r(x))$ ，其证法与 $\mathbb{Z}$ 内相应命题证明相
似，留给读者作为练习．现在作**辗转相除法**如下：

$$
\begin{array}{ll}
g(x)=q(x) f(x)+r(x) & (\text { 若 } r(x) \neq 0), ~ \\
f(x)=q_1(x) r(x)+r_1(x) & \left(\text { 若 } r_1(x) \neq 0\right), \\
r(x)=q_2(x) r_1(x)+r_2(x) & \left(\text { 若 } r_2(x) \neq 0\right),
\end{array}
$$

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

因 $\operatorname{deg} f(x)>\operatorname{deg} r_1(x)>\operatorname{deg} r_2(x)>\cdots$ ，故必有 $r_{m+1}(x)=0$ 而 $r_m(x) \neq 0$ ，即 $r_{m-1}(x)=q_m(x) r_m(x)$ ，于是 $(g(x), f(x))=\left(f(x), r_1(x)\right) =\left(r_1(x), r_2(x)\right)=\cdots=\left(r_{m-1}(x), r_m(x)\right)=a r_m(r)$（使 $a r_m(x)$ 为首一多项式）．这就把 $(f(x), g(x))$ 求出来了．

## 本章解读

###   $ K[x] $ 是什么

想象一下：
- 我们有一个数系 $ K $，比如有理数、实数。
- $ K[x] $ 就是所有以 $ x $ 为未知数、系数来自 $ K $ 的多项式的集合。

例如：
$$
K[x] = \{ 0,\ 1,\ x,\ x^2,\ 2x+3,\ x^3 - 4x + 1,\ \dots \}
$$
这些多项式之间可以**加、减、乘**。

### 什么是“理想”？

“理想”是**一组多项式的集合**，满足两条简单的规则：

1. **内部加法封闭**：集合里任意两个多项式相加、相减，结果还在集合里。
2. **外部乘法吸收**：集合里的任何一个多项式，乘以**任意**一个 $ K[x] $ 里的多项式，结果还在集合里。

第二条是关键：一旦你在这个集合里，你和任何多项式相乘后，仍然逃不出这个集合。

把 $ K[x] $ 想象成**所有整数的集合**。“理想”就像是**某个数的所有倍数**组成的集合。

比如：
- 所有 **偶数** 的集合 $\{ \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots \}$ 是一个理想。
- 为什么？因为任意偶数加、减还是偶数（规则1），而且任意偶数乘以任意整数，结果还是偶数（规则2）。

> 话说理想这个概念是数论里来的：众所周知整数有唯一的素数分解，然而进行了代数扩张后分解就不再唯一，例如 6 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 里有两种方式分解为代数整数： $2 * 3$ 或 $(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})$
为了解决这个问题，Kummer引进了理想数（ideal number）的概念，而后演变为如今的理想。今天我们知道在代数整数环（或更一般的Dedekind整环）上虽然没有唯一素数分解，但是有唯一的素理想分解（uniqueness of prime ideal factorization），可看作素数分解的＂正确＂推广
从几何的角度看，代数整数环对应的几何图像是一个one－dimensional regular Noetherian scheme，素理想就是上面的点。在function field的类比就对应光滑代数曲线，基域为复数域时就是黎曼面

### 几个例子

例1：零理想
$$
I_0 = \{ 0 \}
$$
- 加法：0+0=0，在里面。
- 乘法：0 乘任何多项式 = 0，在里面。
这是最简单的理想。

### 例2：由 $ x $ 生成的主理想
$$
I = (x) = \{ x \cdot q(x) \mid q(x) \in K[x] \}
$$
这个集合包含所有**常数项为 0** 的多项式，比如：
$$
0,\ x,\ 2x,\ x^2,\ x^2+3x,\ 5x^{100} - 2x, \dots
$$
- 加法：两个无常数项的多项式相加，仍无常数项。
- 乘法：任何一个多项式乘以 $ x $（或乘以 $ x $ 的倍数），常数项还是 0，所以还在集合里。

### 例3：由 $ x^2 + 1 $ 生成的主理想
$$
I = (x^2+1) = \{ (x^2+1)\cdot h(x) \mid h(x) \in K[x] \}
$$
这个集合包含所有以 $ x^2+1 $ 为因式的多项式。

比如：
- $ x^2+1 $
- $ 2x^3+2x $
- $ x^4+2x^2+1 = (x^2+1)^2 $

它们都是 $ x^2+1 $ 的倍数。

### 一个重要结论

在 $ K[x] $ 中：
- **每个理想都是某个多项式的所有倍数**（这叫“主理想整环”）。
- 要找生成元，就取理想中次数最低的非零多项式（类似找最大公因数）。

**所有次数 ≥ 2 的多项式集合**   不是理想，因为 $ x^2 $ 在里面，但 $ x \cdot x = x^2 $ 没问题，可是加法：$ x^2 + (-x^2) = 0 $ 不在集合里（没包含 0），如果包含了0就是理想了。

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