最后更新: 2025-10-15 11:06 查看: 37 次纠错评论(0) 课件开VIP

一元多项环的整除理论

## 一元多项环的整除理论
对 $K[x]$ 内一个次数大于零的多项式 $f(x)$ ，由上段讨论可知不存在 $u(x) \in K[x]$ ，使 $u(x) f(x)=1$（因 $u(x) f(x)$ 次数大于 0 ）。因而在 $K[x]$ 内乘法没有逆运算，即没有除法运算．这与有理整数环相同．因而有理整数环内的整除理论与因子分解理论可以平行地推移到 $K[x]$（或 $\mathbb{F}_p[x]$ ）中来。

**定义** 给定 $f(x), g(x) \in K[x], f(x) \neq 0$ ．若存在一 $q(x) \in K[x]$ ，使 $g(x)=q(x) f(x)$ ，则称 $f(x)$ 整除 $g(x)$ ，记做 $f(x) \mid g(x)$ ， $f(x)$ 称为 $g(x)$ 的**因式**，$g(x)$ 称为 $f(x)$ 的**倍式**．若 $f(x)$ 不能整除 $g(x)$ ，则记做 $f(x) \nmid g(x)$ ．

### 带余除法
**命题1.1**  设 $f(x), g(x) \in K[x], f(x) \neq 0$ ．则存在唯一的 $q(x), r(x) \in K[x]$ ，使

$$
g(x)=q(x) f(x)+r(x)
$$

其中 $r(x)=0$ 或 $\operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} f(x)$ ．
证 存在性 设

$$
f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n \quad\left(a_0 \neq 0\right)
$$

如果 $n=0$ ，则取 $q(x)=\frac{1}{a_0} g(x), r(x)=0$ 即可．下面假定 $n>0$ ．对 $g(x)$ 的次数作数学归纳法：如果 $g(x)=0$ 或 $\operatorname{deg} g(x)<n$ ，则令 $q(x)=0, r(x)=g(x)$ 即满足要求．设 $g(x)$ 次数 $<m$ 时，命题正确，则当 $g(x)$ 次数为 $m$ 时，有

$$
g(x)=b_0 x^m+b_1 x^{m-1}+\cdots+b_m \quad\left(b_0 \neq 0\right)
$$

（这里 $m \geqslant n$ ），令

$$
g_1(x)=g(x)-\frac{b_0}{a_0} x^{m-n} f(x)
$$

若 $g_1(x)=0$ ，则取 $q(x)=\frac{b_0}{a_0} x^{m-n}, r(x)=0$ ．否则，因 $\operatorname{deg} g_1(x)<m$ ，按归纳假设，存在 $q_1(x), r_1(x) \in K[x]$ ，使
$$
g_1(x)=q_1(x) f(x)+r_1(x)
$$

这里 $r_1(x)=0$ 或 $\operatorname{deg} r_1(x)<\operatorname{deg} f(x)$ ．现在令

$$
q(x)=\frac{b_0}{a_0} x^{m-n}+q_1(x), \quad r(x)=r_1(x)
$$

显然有 $q(x) f(x)+r(x)=g(x)$ ．
唯一性 设又有 $\bar{q}(x), \bar{r}(x)$ 满足命题要求，那么

$$
\begin{aligned}
& q(x) f(x)+r(x)=\bar{q}(x) f(x)+\bar{r}(x) \\
& {[q(x)-\bar{q}(x)] f(x)=\bar{r}(x)-r(x)}
\end{aligned}
$$

比较两边的次数，即可知 $\bar{r}(x)-r(x)=0, q(x)-\bar{q}(x)=0$ ．

命题1．1中的 $q(x)$ 和 $r(x)$ 分别称为用 $f(x)$ 去除 $g(x)$ 所得的商和余式．命题证明过程中实际上已给出了求 $q(x)$ 和 $r(x)$ 的方法．命题1．1通常称为 $K[x]$ 内的**带余除法**．

实际计算时可采用如下的格式：
 ![图片](/uploads/2025-10/2ee140.jpg)

### 最大公因式和最小公倍式 
 像有理整数环一样，我们可以在 $K[x]$ 内定义两个多项式的最大公因式和最小公倍式的概念。

1 ）如果 $f(x), g(x)$ 不全为 0 ，设 $d(x) \in K[x], d(x) \neq 0$ ．若 $d(x)|f(x), d(x)| g(x)$ ，则称 $d(x)$ 为 $f(x), g(x)$ 的一个公因式．如果 $d(x)$ 还满足如下条件：
（i）$d(x)$ 是首一多项式；
（ii）对 $f(x), g(x)$ 的任一公因式 $d_1(x)$ ，必有 $d_1(x) \mid d(x)$ ，则称 $d(x)$ 为 $f(x), g(x)$ 的最大公因式，记做 $(f(x), g(x))$ 。

两个多项式的最大公因式是唯一的．因若又有一最大公因式 $d_1(x)$ ，则 $d_1(x) \mid d(x)$ ，又 $d(x) \mid d_1(x)$ ，于是 $d_1(x)=c d(x)$ 。因为 $d_1(x), d(x)$ 均为首一多项式，比较两边首项系数得 $c=1$ 。

如果 $(f(x), g(x))=1$ ，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素。
$2)$ 如果 $f(x), g(x)$ 均不为 0 ，设有 $m(x) \in K[x]$ ，使 $f(x) \mid m(x), g(x) \mid m(x)$ ，则 $m(x)$ 称为 $f(x), g(x)$ 的公倍式．如果 $m(x)$还满足如下条件：
（i）$m(x)$ 是首一多项式（此时当然 $m(x) \neq 0$ ）；
（ii）对 $f(x), g(x)$ 的任一公倍式 $m_1(x)$ ，有 $m(x) \mid m_1(x)$ ，则 $m(x)$ 称为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最小公倍式，记做 $[f(x), g(x)]$ 。
$f(x), g(x)$ 的最小公倍式也是唯一的．因若又有一最小公倍式 $m_1(x)$ ，同样有 $m_1(x)|m(x), m(x)| m_1(x)$ ，于是 $m_1(x)=m(x)$ ．

## 本章解读
本章是把有理整数环推广到代数式，很多概念基本上一样。

### 什么是多项式？

我们先从最熟悉的多项式说起，比如：

$$
f(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 7
$$

这个表达式由以下几部分组成：
*   **变量** $ x $（也叫“未定元”）
*   **系数** $ 2, -5, 1, 7 $（这些通常来自某个数域，比如有理数 $\mathbb{Q}$，实数 $\mathbb{R}$，或复数 $\mathbb{C}$）
*   **非负整数次幂** $ x^3, x^2, x^1, x^0 $
*   通过加法和乘法将这些部分组合起来。

**“一元”** 指的是只有一个变量 $ x $。如果有多个变量（如 $ x^2y $），就是多元多项式。

### 从“表达式”到“环”的抽象化

在初等数学中，我们主要把多项式看作函数 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $。但在抽象代数中，我们更关心它的**代数结构**。

我们把所有以 $ x $ 为变量、系数在某个**域** $ F $（或更一般地，某个**环** $ R $）中的多项式放在一起，形成一个集合，记作 $ F[x] $（或 $ R[x] $）。

这个集合 $ F[x] $ 不仅仅是一个集合，它上面可以定义两种运算：
1.  **多项式加法**：对应项系数相加。
2.  **多项式乘法**：通过分配律展开，然后合并同类项。

可以验证，$ (F[x], +, \cdot) $ 构成一个**环**，称为 **系数在 $ F $ 上的一元多项式环**。

#### 形式化定义

为了严谨地定义多项式（避免将其先入为主地视为函数），数学家采用了**序列**的观点。

**定义：**
设 $ R $ 是一个环。**系数在 $ R $ 中的一元多项式环** $ R[x] $ 定义如下：

*   **元素**：所有从自然数集 $ \mathbb{N} $ 到 $ R $ 的**有限支撑**序列。
    *   “有限支撑”意味着序列中只有有限项非零。
    *   一个序列 $ (a_0, a_1, a_2, \dots) $ 对应于我们熟悉的多项式 $ a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots $。
    *   序列的第 $ i $ 项 $ a_i $ 就是多项式 $ x^i $ 的系数。

*   **运算**：
    *   **加法**：设 $ f = (a_0, a_1, \dots) $, $ g = (b_0, b_1, \dots) $，则
        $$
        f + g = (a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots)
        $$
    *   **乘法**（卷积）：
        $$
        f \cdot g = (c_0, c_1, c_2, \dots)
        $$
        其中 $ c_n = \sum_{i+j=n} a_i b_j = a_0b_n + a_1b_{n-1} + \dots + a_nb_0 $。

*   **未定元 $ x $ 的定义**：
    我们特别地定义 $ x $ 为序列 $ (0, 1, 0, 0, \dots) $。
    根据乘法规则，可以验证：
    *   $ x^0 = (1, 0, 0, \dots) $ 是乘法单位元。
    *   $ x^1 = x = (0, 1, 0, \dots) $
    *   $ x^2 = (0, 0, 1, 0, \dots) $
    *   以此类推。

这样，任何一个有限支撑序列 $ (a_0, a_1, \dots, a_n, 0, \dots) $ 都可以唯一地写成线性组合 $ a_0x^0 + a_1x^1 + \dots + a_nx^n $，这和我们熟悉的表达式就完全一致了。

### 基本性质

一元多项式环 $ R[x] $ 继承了系数环 $ R $ 的许多性质，但也有一些新的特性。

1.  **如果 $ R $ 是整环，那么 $ R[x] $ 也是整环。**
    *   整环是指一个含幺、交换、无零因子的环。
    *   这个性质非常重要。它意味着如果两个非零多项式相乘，结果一定是非零的。这允许我们定义**次数**。

2.  **次数公式**：
    对于一个非零多项式 $ f(x) = a_nx^n + \dots + a_0 $（其中 $ a_n \neq 0 $），定义其次数为 $ \deg(f) = n $。
    对于多项式 $ f, g \in R[x] $，且 $ R $ 是整环，有：
    $$
    \deg(fg) = \deg(f) + \deg(g)
    $$
    $$
    \deg(f+g) \leq \max(\deg(f), \deg(g))
    $$
    这个次数公式是多项式环进行“带余除法”的基础。

###  多项式欧几里得除法（在域上） 
 
如果 $ F $ 是一个**域**（比如有理数、实数、有限域），那么 $ F[x] $ 成为一个**欧几里得整环**。
    这意味着对于任意两个多项式 $ f(x), g(x) \in F[x] $（其中 $ g(x) \neq 0 $），存在唯一的 $ q(x) $（商）和 $ r(x) $（余数），使得：
    $$
    f(x) = g(x)q(x) + r(x)
    $$
    并且 $ \deg(r) < \deg(g) $ 或 $ r(x) = 0 $。
    *   这是多项式理论的核心，它引出了因式分解、最大公因式、根等概念。
    
### 通用性质
多项式环 $ R[x] $ 是“最自由的”一种 $ R $-代数。具体来说，对于任意一个 $ R $-代数 $ A $ 和任意一个元素 $ a \in A $，存在唯一的 $ R $-代数同态 $ \phi: R[x] \to A $，使得 $ \phi(x) = a $。这个同态就是“求值映射”：$ \phi(f(x)) = f(a) $。
`例`已知 $f(x)=2 x^4+x^3+x^2+x+1, g(x)=3 x^2+2 x+3$, 试求 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 的商式、余式。

解: 用分离系数法, 作长除法如下:
 ![图片](/uploads/2024-11/e14f6a.jpg)

其他版本
【初中数学】最高公因式与辗转相除法

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