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一元多项式环

## 第九章 一元多项式环

在历史上，由于研究一元高次代数方程，很自然地就开始研究一元多项式 $f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n$ ．在长时间内，是把 $x$ 当作一个变量来看待，$f(x)$ 则是 $x$ 的函数。多项式作为一类特殊的一元函数，自然可以按函数的意义相加、相乘，而且做加法、乘法之后仍是一个多项式。它们同时又满足与整数的加法、乘法相同的运算法则。于是从代数学的观点看，全体多项式关于其加法、乘法，与有理整数环一样，也成为一个代数系统．在第四章的引言中已经指出，要从理论上从更高的观点来研究一个代数系统，我们应当舍弃那些非本质的具体的东西。如果我们研讨的是多项式由其加法、乘法运算及相应的运算法则所决定的性质，那么 $x$ 是不是自变量，$f(x)$ 是否是函数在这里没有起什么作用，是应当舍弃的东西。也就是说，我们只要把 $x$当作一个形式的记号来看待就可以了，在这种情况下，$x$ 被称作一个 ＂不定元＂，意思是说它未有任何具体的含义，仅当作界定一个多项式的记号而已。然后，定义多项式的加法与乘法运算，使其成为一个抽象的代数系统，从而成为代数学的研究对象．这就是本章所要讨论的一元多项式环．

###  1 一元多项式环的基本理论

**定义** 设 $K$ 是一个数域，$x$ 是一个不定元．下面的形式表达式

$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots
$$

（其中 $a_0, a_1, a_2, \cdots$ 属于 $K$ ，且仅有有限个不是 0 ）称为数域 $K$ 上**一个不定元 $x$ 的一元多项式**。

注意现在上述表达式中的记号＂+ ＂，＂$x^2$＂，＂$x^3$＂，$\cdots$ 等等都还没有加法或乘法的方幂的含义，而仅仅是一个形式的记号，所以，上面的表达式完全可以写成

$$
f(x)=\left(a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots\right) .
$$

我们之所以要写成上面的样子，是因为只要我们在多项式间定义加法和乘法后，它们自然就会具有所期望的含义，这一点下面就会看到。

数域 $K$ 上一个不定元 $x$ 的多项式的全体所成的集合记做 $K[x]$ ．

在 $K[x]$ 内定义加法、乘法如下：
**加法** 设

$$
\begin{aligned}
& f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots, \\
& g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots,
\end{aligned}
$$

则定义

$$
f(x)+g(x)=\le

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