最后更新: 2025-10-15 10:55 查看: 62 次纠错评论(0) 课件开VIP

一元多项式环

## 第九章 一元多项式环

在历史上，由于研究一元高次代数方程，很自然地就开始研究一元多项式 $f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n$ ．在长时间内，是把 $x$ 当作一个变量来看待，$f(x)$ 则是 $x$ 的函数。多项式作为一类特殊的一元函数，自然可以按函数的意义相加、相乘，而且做加法、乘法之后仍是一个多项式。它们同时又满足与整数的加法、乘法相同的运算法则。于是从代数学的观点看，全体多项式关于其加法、乘法，与有理整数环一样，也成为一个代数系统．在第四章的引言中已经指出，要从理论上从更高的观点来研究一个代数系统，我们应当舍弃那些非本质的具体的东西。如果我们研讨的是多项式由其加法、乘法运算及相应的运算法则所决定的性质，那么 $x$ 是不是自变量，$f(x)$ 是否是函数在这里没有起什么作用，是应当舍弃的东西。也就是说，我们只要把 $x$当作一个形式的记号来看待就可以了，在这种情况下，$x$ 被称作一个 ＂不定元＂，意思是说它未有任何具体的含义，仅当作界定一个多项式的记号而已。然后，定义多项式的加法与乘法运算，使其成为一个抽象的代数系统，从而成为代数学的研究对象．这就是本章所要讨论的一元多项式环．

###  1 一元多项式环的基本理论

**定义** 设 $K$ 是一个数域，$x$ 是一个不定元．下面的形式表达式

$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots
$$

（其中 $a_0, a_1, a_2, \cdots$ 属于 $K$ ，且仅有有限个不是 0 ）称为数域 $K$ 上**一个不定元 $x$ 的一元多项式**。

注意现在上述表达式中的记号＂+ ＂，＂$x^2$＂，＂$x^3$＂，$\cdots$ 等等都还没有加法或乘法的方幂的含义，而仅仅是一个形式的记号，所以，上面的表达式完全可以写成

$$
f(x)=\left(a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots\right) .
$$

我们之所以要写成上面的样子，是因为只要我们在多项式间定义加法和乘法后，它们自然就会具有所期望的含义，这一点下面就会看到。

数域 $K$ 上一个不定元 $x$ 的多项式的全体所成的集合记做 $K[x]$ ．

在 $K[x]$ 内定义加法、乘法如下：
**加法** 设

$$
\begin{aligned}
& f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots, \\
& g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots,
\end{aligned}
$$

则定义

$$
f(x)+g(x)=\left(a_0+b_0\right)+\left(a_1+b_1\right) x+\left(a_2+b_2\right) x^2+\cdots .
$$

显然，$f(x)+g(x)$ 仍为 $K$ 上的一元多项式，因为 $a_i+b_i$ 仍仅有有限个不为 $0, f(x)+g(x)$ 称为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的**和**；

**乘法** 设

$$
\begin{aligned}
& f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots, \\
& g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots .
\end{aligned}
$$
令

$$
c_k=a_0 b_k+a_1 b_{k-1}+a_2 b_{k-2}+\cdots+a_k b_0 \quad(k=0,1,2, \cdots) .
$$

现在 $c_0, c_1, c_2, \cdots$ 仍仅有有限个不为 0 ，定义

$$
f(x) g(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2+\cdots,
$$

$f(x) g(x)$ 仍为 $K$ 上的一元多项式，称为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的**乘积**．

### 性质
容易验证，上面定义的加法、乘法满足如下运算法则：
1）加法有结合律，即

$$
f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x) ;
$$

$2)$ 令 $0(x)=0+0 x+0 x^2+\cdots$ ，则对任给的 $f(x) \in K[x]$ ，有 $f(x)+0(x)=f(x), 0(x)$ 称为零多项式，简记为 0 ；

3）任给 $f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots$ ，令 $-f(x)=-a_0+\left(-a_1\right) x +\left(-a_2\right) x^2+\cdots$ ，则 $f(x)+(-f(x))=0$ ；
$4)$ 加法有交换律，即 $f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$ ；
5）乘法有结合律，即 $f(x)(g(x) h(x))=(f(x) g(x)) h(x)$ ；
6）有 $I(x)=1+0 x+0 x^2+\cdots$ ，使 $\forall f(x) \in K[x]$ ，有 $f(x) I(x) =f(x), I(x)$ 简记为 1 ；

7）乘法有交换律，即 $f(x) g(x)=g(x) f(x)$ ；
8）加法与乘法有分配律，即
$f(x)(g(x)+h(x))=f(x) g(x)+f(x) h(x)$

$K[x]$ 连同上面定义的加法与乘法，称为数域 $K$ 上的**一元多项式环**。

> 应当指出，如果把上面的数域 $K$ 换成有 $p$（ $p$ 为素数）个元素的有限域 $\mathbb{F}_p$ ，那么前面的定义仍有效，所得的代数系统称为 $\mathbb{F}_p$ 上的一元多项式环，记做 $\mathbb{F}_p[x]$ 。

下面约定，在多项式 $f(x)$ 的形式表达式中， $0 x^i$ 可略去不写， $1 x^i$ 简写为 $x^i$ ．于是多项式可写为

$$
f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n
$$

其中 $a_0, a_1, \cdots, a_n \in K, a_n \neq 0 . a_0, a_1, \cdots, a_n$ 称为 $f(x)$ 的**系数**，$a_n$ 称**首项系数**，$a_0$ 称**常数项**，$n$ 称为 $f(x)$ 的**次数**，记做 $\operatorname{deg} f(x)=n$ 或 $\operatorname{deg} f =n . a_k x^k$ 称为一个**单项式**，它是最简单的一类多项式。

按多项式加法的定义，现在 $f(x)$ 是 $n+1$ 个单项式 $a_0, a_1 x, a_2 x^2, \cdots, a_n x^n$ 连加的结果，于是 $f(x)$ 表达式中的记号＂＋＂现在具有多项式加法的含义。又易见 $x^m \cdot x^n=x^{m+n}$ ．于是 $x^k$ 为 $k$ 个单项式 $x$ 的连乘积：$x^k=x x^{\cdots} x$ ．
于是 $f(x)$ 表达式中的记号 $x^2, x^3, \cdots, x^n$ 现在都具有方幂的含义，而且满足指数律：$x^m \cdot x^n=x^{m+n},\left(x^m\right)^n=x^{m n}$ 。另外，我们约定 $x^0=1(x$的负方幂没有定义）．

**注意零多项式次数没有定义．但有时为了方便，也可认为零多项式的次数是 $-\infty$** 。

另外，我们把 $f(x)+(-g(x))$ 写成 $f(x)-g(x)$ ，称为 $K[x]$ 内的**减法**．下面两条简单的事实也请读者注意．

1）两个多项式

$$
\begin{aligned}
& f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots, \\
& g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots
\end{aligned}
$$

相等是指 $a_i=b_i(i=0,1,2, \cdots)$ ．

2)若 $f(x) \neq 0, g(x) \neq 0$ ，则

$$
\operatorname{deg}(f(x) g(x))=\operatorname{deg} f(x)+\operatorname{deg} g(x) .
$$

即两个非零多项式相乘时，其次数相加。设 $f(x)$ 的首项系数为 $a_n$ ， $g(x)$ 的首项系数为 $b_m$ ，则按乘法定义可知 $f(x) g(x)$ 的首项系数为 $a_n b_m$ 。如果一个多项式首项系数为 1 ，则称为**首一多项式**。因此，两个首一多项式的乘积仍为首一多项式。

从性质（2）立即推出：当 $f(x), g(x)$ 都非零时，$f(x) g(x) \neq 0$ 。因 此，在 $K[x]$ 内有消去律，即由 $f(x) g(x)=f(x) h(x), f(x) \neq 0$ ，有 $f(x)(g(x)-h(x))=0$ ，则必有 $g(x)=h(x)$ ．

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