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结式

## 结 式

1．结式的概念
在第九章 § 1 中我们指出：给定域 $K$ 上两个多项式 $f(x)$ ， $g(x)$ ，我们可以用辗转相除法来求它们的最大公因式．但在许多问题中，常常只需要判断 $f$ 与 $g$ 是否互素就可以了，并不需要真正把它们的最大公因式求出来．于是自然要问，能不能直接根据 $f$ 与 $g$
的系数来判断它们是否互素呢？现在我们就来讨论这个问题．
考查域 $K$ 上的多项式

$$
\begin{aligned}
& f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n \\
& g(x)=b_0 x^m+b_1 x^{m-1}+\cdots+b_m
\end{aligned}
$$

这里对系数 $a_i, b_j$ 未作任何限制（可以是 0 ）．设 $(f(x), g(x))= d(x)$ ，令 $f(x)=d(x) q_1(x), g(x)=d(x) q_2(x)$ ，于是 $f(x) q_2(x)= g(x) q_1(x)$ ．若 $\operatorname{deg} d(x) \geqslant 1$ ，则

$$
\begin{gathered}
q_1(x)=y_1 x^{n-1}+y_2 x^{n-2}+\cdots+y_n \\
q_2(x)=x_1 x^{m-1}+x_2 x^{m-2}+\cdots+x_m
\end{gathered}
$$

这里系数 $y_i, x_j$ 是待定的．那么，$f(x) q_2(x)=g(x) q_1(x)$ 的充分必要条件是下面等式成立：
 ![图片](/uploads/2025-10/6533bc.jpg)
 
 
将 $x_1, \cdots, x_m ;\left(-y_1\right), \cdots,\left(-y_n\right)$ 看做未知量，上面是一个齐次线性方程 组（ $m+n$ 个未知量，$m+n$ 个方程），其系数矩阵（取转置）的行列式，记为

![图片](/uploads/2025-10/bc6c9a.jpg)
 
（空白处为零）。称 $R(f, g)$ 为多项式 $f, g$ 的**结式**。

**命题3.1** 给定 $K[x]$ 内两个一元多项式
$$
\begin{aligned}
& f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n \quad(n \geqslant 1) \\
& g(x)=b_0 x^m+b_1 x^{m-1}+\cdots+b_m \quad(m \geqslant 1)
\end{aligned}
$$

（此处允许 $a_0, b_0$ 为零），则 $R(f, g)=0$ 的充分必要条件是 $a_0=b_0=0$或 $f$ 与 $g$ 不互素．

证 充分性 若 $a_0=b_0=0$ ，则显见有 $R(f, g)=0$ 。今设 $a_0, b_0$ 不全为零，不妨设 $a_0 \neq 0$ ，且 $f$ 与 $g$ 不互素，即有公因子 $d(x), \operatorname{deg} d(x) \geqslant 1$ ．于是 $f=d q_1, g=d q_2$ ．因 $f \neq 0$ ，故 $q_1 \neq 0$ ，且 $\operatorname{deg} q_1<n$ ．若 $g \neq 0$ ，则 $\operatorname{deg} q_2<m$ ；若 $g=0$ ，则令 $q_2=0 x^{m-1}+0 x^{m-2}+\cdots+0$ ．易知此时 $f q_2 =g q_1$ ，且 $q_1 \neq 0$ ，故齐次线性方程组（1）有非零解，于是 $R(f, g)=0$ ．

必要性 若 $R(f, g)=0$ ，而 $a_0, b_0$ 不全为零，我们来证明 $f$ 与 $g$不互素．因为此时齐次线性方程组（1）有非零解．故存在不全为零的 $q_1(x), q_2(x) \in K[x]$ ，使 $f q_2=g q_1$ ，而且当 $q_1$（或 $q_2$ ）不为零时，其次数小于 $n$（小于 $m$ ）．不妨设 $a_0 \neq 0$ ，即 $f \neq 0$ ．若 $g=0$ ，则 $f, g$ 显见不互素．今设 $g \neq 0$ ．因 $f \mid g q_1$ ，若 $(f, g)=1$ ，则有 $f \mid q_1$ ，与 $\operatorname{deg} q_1<n$ 矛盾 （因 $g \neq 0$ ，故 $q_1 \neq 0, q_2 \neq 0$ ）。

根据命题3．1，在 $a_0 b_0 \neq 0$ 时，$f$ 与 $g$ 互素的充分必要条件是它们的结式 $R(f, g) \neq 0$ ．

## 本节解读

### 1. 核心问题：两个多项式什么时候有公共根？

结式是解决这个基本问题的有力工具。

假设我们有两个多项式：
- $ P(x) = a(x - r_1)(x - r_2)...(x - r_m) $ （次数为 m）
- $ Q(x) = b(x - s_1)(x - s_2)...(x - s_n) $ （次数为 n）

一个很自然的问题是：**P(x) 和 Q(x) 有公共的根吗？** 也就是说，是否存在某个数 $ r_i = s_j $？

结式 $ \text{Res}(P, Q) $ 就是一个由 P 和 Q 的系数构成的量，它有一个关键的性质：
**$ \text{Res}(P, Q) = 0 $ 当且仅当 P(x) 和 Q(x) 有公共根。**

### 2. 直观理解：为什么叫“结式”？

你可以把“结式”理解为两个多项式“纠结”在一起的产物。如果它们有公共根，就像两条曲线在某个点“结”在了一起（相交），那么这个“结式”的值就会为零。如果它们没有公共根，彼此独立，那么结式就不为零。

### 3. 如何构造结式？——西尔维斯特矩阵

结式最常用的计算方法是使用**西尔维斯特矩阵（Sylvester Matrix）**。这个矩阵的构造非常巧妙，它蕴含了判断公共根的条件。

我们通过一个例子来理解。假设：
- $ P(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0 $
- $ Q(x) = b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0 $

我们想知道是否存在一个 x，使得 $ P(x) = 0 $ 且 $ Q(x) = 0 $。

西尔维斯特矩阵的思路是：**寻找非零的多项式 U(x) 和 V(x)，使得 $ U(x)P(x) + V(x)Q(x) = 0 $**，其中 U 的次数小于 Q 的次数(n=3)，V 的次数小于 P 的次数(m=2)。

为什么这能帮我们？
- 如果 P 和 Q 有一个公共根 $ x_0 $，那么显然 $ 1 \cdot P(x_0) + (-1) \cdot Q(x_0) = 0 $ 是成立的，但这太简单了。我们想要一个系统性的方法。
- 更一般地，如果存在非零的 U 和 V 使得 $ UP + VQ = 0 $，那么在 P 和 Q 的所有根上，这个等式都成立。如果 P 和 Q 互质（没有公共根），那么 UP 必须恰好被 Q 整除，但这在 deg(U) < deg(Q) 的情况下几乎不可能，除非 U 和 V 都是零多项式。
- **结论是：存在非零的 (U, V) 满足上述条件，当且仅当 P 和 Q 有公共根。**

那么，如何找到这样的 U 和 V 呢？

我们设：
- $ U(x) = u_2x^2 + u_1x + u_0 $ (次数 = n-1 = 2)
- $ V(x) = v_1x + v_0 $ (次数 = m-1 = 1)

现在计算 $ U(x)P(x) + V(x)Q(x) $：
这是一个关于 x 的 $ (m+n-1) = 4 $ 次多项式。我们要求这个多项式恒为零，这意味着 **x 的每一项的系数都必须为零**。

通过展开并合并同类项，我们会得到一个关于系数 $ u_2, u_1, u_0, v_1, v_0 $ 的**齐次线性方程组**。

这个方程组的系数矩阵就是**西尔维斯特矩阵**：

$$
S = \begin{bmatrix}
a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\
0 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\
0 & 0 & a_2 & a_1 & a_0 \\
b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 \\
0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0
\end{bmatrix}
$$

这个矩阵有 $ m+n $ 行和 $ m+n $ 列（这里是 5x5）。

**关键点来了：**
这个齐次线性方程组有非零解 $ (u_2, u_1, u_0, v_1, v_0) $ 的充要条件是它的系数矩阵 **S 的行列式为零**。

因此，我们定义 **结式** 为这个矩阵的行列式：
$$ \text{Res}(P, Q) = \det(S) $$

于是，我们得到了最初的核心结论：
**$ \text{Res}(P, Q) = 0 $ 当且仅当 P 和 Q 有公共根。**

### 4. 另一个视角：用根的乘积定义

结式还有一个非常优美的定义，直接用多项式的根和首项系数表示：

$$
\text{Res}(P, Q) = a^n b^m \prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{n} (r_i - s_j)
$$

从这个定义可以直观看出：
- 如果存在某个 $ r_i = s_j $，那么乘积中就会有一项为零，从而导致整个结式为零。
- 如果所有根都不同，那么结式就是一个非零的数。

这个定义也清晰地解释了为什么结式是“对称”的（除了一个符号）：
$$ \text{Res}(P, Q) = (-1)^{mn} \text{Res}(Q, P) $$

### 5. 主要应用

1.  **判断公共根**：这是最直接的应用，如前所述。
2.  **消元法**：在求解多项式方程组时，结式可以用来从两个方程中消去一个变量。例如，对于方程组 $ P(x, y) = 0 $ 和 $ Q(x, y) = 0 $，将 y 视为参数，计算关于 x 的结式 $ \text{Res}_x(P, Q) $，结果是一个只含 y 的多项式。这个多项式的根就包含了所有可能使原方程组有解的 y 值。
3.  **计算判别式**：一个多项式的判别式（用于判断是否有重根）可以用它和它的导数的结式来表示：
    $ \text{Discriminant}(P) = (-1)^{m(m-1)/2} \frac{1}{a} \text{Res}(P, P‘) $
    因为 P 有重根当且仅当 P 和它的导数 P’ 有公共根。
4.  **数论和代数几何**：在更高级的数学中，结式被用来研究曲线的交点、域扩张等。

### 总结

- **核心思想**：结式是一个由两个多项式的系数构成的量，它为零是这两个多项式有公共根的**充要条件**。
- **如何得到**：通过构造西尔维斯特矩阵并求其行列式。这个矩阵的构造源于寻找满足 $ UP+VQ=0 $ 的非零多项式对 (U, V)。
- **直观图像**：它是两个多项式“纠缠”程度的度量。为零意味着它们“相交”（有公共根）。

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