最后更新: 2025-10-18 22:03 查看: 95 次纠错评论(0) 课件开VIP

结式的计算

## 结式的计算
两个多项式 $f, g$ 的结式就是它们的系数所组成的行列式 $R(f, g)$ ．由于这个行列式阶数较高，直接计算有困难，我们这里介绍一种计算 $R(f, g)$ 的有效方法．

考查 $m+n+2$ 个不定元 $x_0, x_1, \cdots, x_n, y_0, y_1, \cdots, y_m$ ．
设 $K$ 是一个域．定义有理函数域 $K\left(x_0, x_1, \cdots, x_n, y_0, y_1, \cdots, y_m\right)$上的两个一元多项式

$$
\begin{aligned}
f(x) & =x_0\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) \cdots\left(x-x_n\right) \\
& =a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n \\
g(x) & =y_0\left(x-y_1\right)\left(x-y_2\right) \cdots\left(x-y_m\right) \\
& =b_0 x^m+b_1 x^{m-1}+\cdots+b_m
\end{aligned}
$$

考查 $m+n$ 阶方阵

![图片](/uploads/2025-10/87d5cb.jpg)
 
 （空白处元素为零）．为了计算 $A$ 的行列式，我们定义下面 $m+n$ 维列向量

$$
X_i=\left[\begin{array}{c}
x_i^{m+n-1} \\
x_i^{m+n-2} \\
\vdots \\
x_i \\
1
\end{array}\right], \quad Y_j=\left[\begin{array}{c}
y_j^{m+n-1} \\
y_j^{m+n-2} \\
\vdots \\
y_j \\
1
\end{array}\right]
$$

其中 $i=1,2, \cdots, n ; j=1,2, \cdots, m$ ．将矩阵 $A$ 的前 $m$ 个行向量记为 $A_1, \cdots, A_m$ ，后 $n$ 个行向量记为 $B_1, \cdots, B_n$ ．我们把行向量、列向量都看做矩阵，作乘法：
 ![图片](/uploads/2025-10/f1cc58.jpg)
  ![图片](/uploads/2025-10/9bdf98.jpg)
  
把 $Y_1, \cdots, Y_m, X_1, \cdots, X_n$ 作为列向量依次排列成矩阵 $B$ ，其前 $m$列组成一个小块，记为 $\bar{B}_1$ ，其后 $n$ 列组成一个小块，记为 $\bar{B}_2$ ，又把 $A$的前 $m$ 行作为一个小块，记为 $\bar{A}_1$ ，后 $n$ 行作为一个小块，记为 $\bar{A}_2$ ，从上面的计算可知，有

![图片](/uploads/2025-10/478d53.jpg)
 
 利用范德蒙行列式
 
  ![图片](/uploads/2025-10/c8ad60.jpg)
  
   ![图片](/uploads/2025-10/f58742.jpg)
   
   现在设

$$
\begin{aligned}
& f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n \quad\left(a_0 \neq 0\right), \\
& g(x)=b_0 x^m+b_1 x^{m-1}+\cdots+b_m \quad\left(b_0 \neq 0\right)
\end{aligned}
$$

是数域 $K$ 上的两个一元多项式。设 $f$ 在 $\mathbb{C}$ 内的 $n$ 个根是 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ ， $g$ 在 $\mathbb{C}$ 内的 $m$ 个根是 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 。在公式（2）中令 $x_0=a_0, x_i=\alpha_i(i=1$ ， $2, \cdots, n), y_0=b_0, y_j=\beta_j(j=1,2, \cdots, m)$ ，那么我们有

$$
R(f, g)=a_0^m \prod_{i=1}^n g\left(\alpha_i\right)=(-1)^{m n} b_0^n \prod_{j=1}^m f\left(\beta_j\right)
$$

这就是我们所要的结式 $R(f, g)$ 的计算公式．
现在设

$$
f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n \quad\left(a_0 \neq 0\right)
$$

是数域 $K$ 上的一个一元多项式．在 § 2 中我们定义它的判别式为

![图片](/uploads/2025-10/f8b897.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-10/41941d.jpg)
  
$$
\left\{\begin{array}{l}
f(x, y)=a_0(x) y^n+a_1(x) y^{n-1}+\cdots+a_n(x)=0 \\
g(x, y)=b_0(x) y^m+b_1(x) y^{m-1}+\cdots+b_m(x)=0
\end{array}\right.
$$

如果这个方程组在复数域内有一组解 $\left(x_0, y_0\right)$ ，此时

$$
\begin{aligned}
& \bar{f}(y)=a_0\left(x_0\right) y^n+a_1\left(x_0\right) y^{n-1}+\cdots+a_n\left(x_0\right) \\
& \bar{g}(y)=b_0\left(x_0\right) y^m+b_1\left(x_0\right) y^{m-1}+\cdots+b_m\left(x_0\right)
\end{aligned}
$$

有一公共根 $y_0$ ，上两多项式或全为零多项式，或有非常数公因式 $d(y)$（即不互素），按命题3．1，在这两种情况都有 $F\left(x_0\right)=R(\bar{f}, \bar{g}) =0$ ，即 $x_0$ 应为 $R(f, g)$ 的一个零点．

反之，若有 $x_0 \in \mathbb{C}$ ，使 $F\left(x_0\right)=R(f, g)=0$ ，则按命题3．1，应有 $a_0\left(x_0\right)=b_0\left(x_0\right)=0$ ，或 $\bar{f}(y)$ 与 $\bar{g}(y)$ 不互素．在后一种情况下，设它们最大公因式为 $d(y), \operatorname{deg} d(y) \geqslant 1$ ，则 $d(y)$ 在 $\mathbb{C}$ 内有根 $y_1, y_2, \cdots$ ， $y_k$ ，此时 $\left(x_0, y_1\right),\left(x_0, y_2\right), \cdots,\left(x_0, y_k\right)$ 即为上述 $K$ 上二元联立方程组的解．

## 本节解读

### 方法一：通过西尔维斯特矩阵计算

这是最标准、最通用的计算方法。

#### 构造规则

给定两个多项式：
- $ P(x) = a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \dots + a_1 x + a_0 $
- $ Q(x) = b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \dots + b_1 x + b_0 $
其中 $ a_m \neq 0 $, $ b_n \neq 0 $。

它们的结式 $ \text{Res}(P, Q) $ 是如下 **西尔维斯特矩阵** 的行列式：

1.  **矩阵大小**：$ (m+n) \times (m+n) $
2.  **前 n 行**：由多项式 $ P $ 的系数构成。每行向右移动一位，形成一个“滑动窗口”。
    - 第1行：$ (a_m, a_{m-1}, \dots, a_0, 0, 0, \dots, 0) $ （后面补 $ n-1 $ 个零）
    - 第2行：$ (0, a_m, a_{m-1}, \dots, a_0, 0, \dots, 0) $ （向右移动一位，后面补 $ n-2 $ 个零）
    - ...
    - 第n行：$ (0, 0, \dots, 0, a_m, a_{m-1}, \dots, a_0) $ （前面有 $ n-1 $ 个零）
3.  **后 m 行**：由多项式 $ Q $ 的系数构成。同样每行向右移动一位。
    - 第n+1行：$ (b_n, b_{n-1}, \dots, b_0, 0, 0, \dots, 0) $ （后面补 $ m-1 $ 个零）
    - 第n+2行：$ (0, b_n, b_{n-1}, \dots, b_0, 0, \dots, 0) $ （向右移动一位，后面补 $ m-2 $ 个零）
    - ...
    - 第n+m行：$ (0, 0, \dots, 0, b_n, b_{n-1}, \dots, b_0) $ （前面有 $ m-1 $ 个零）

#### 计算步骤示例

让我们通过一个具体的例子来演示。

**例1**：计算 $ P(x) = x^2 - 3x + 2 $ 和 $ Q(x) = x^2 - 1 $ 的结式。

1.  **识别参数**：
    - $ P(x) $：次数 $ m=2 $，系数 $ a_2=1, a_1=-3, a_0=2 $
    - $ Q(x) $：次数 $ n=2 $，系数 $ b_2=1, b_1=0, b_0=-1 $

2.  **构造西尔维斯特矩阵**：
    - 矩阵大小为 $ (2+2) = 4 \times 4 $。
    - **前 n=2 行（来自 P）**：
        - 行1: $ (a_2, a_1, a_0, 0) = (1, -3, 2, 0) $
        - 行2: $ (0, a_2, a_1, a_0) = (0, 1, -3, 2) $
    - **后 m=2 行（来自 Q）**：
        - 行3: $ (b_2, b_1, b_0, 0) = (1, 0, -1, 0) $
        - 行4: $ (0, b_2, b_1, b_0) = (0, 1, 0, -1) $

所以矩阵 $ S $ 为：
    $$
    S = \begin{bmatrix}
    1 & -3 & 2 & 0 \\
    0 & 1 & -3 & 2 \\
    1 & 0 & -1 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & -1
    \end{bmatrix}
    $$

3.  **计算行列式**：
    $$
    \begin{aligned}
    \det(S) &= 1 \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}
            - (-3) \cdot \det\begin{bmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}
            + 2 \cdot \det\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
            - 0 \cdot (\dots) \\
    &= 1 \cdot \left[ 1 \cdot ((-1)(-1) - (0)(0)) - (-3) \cdot ((0)(-1) - (1)(0)) + 2 \cdot ((0)(0) - (1)(-1)) \right] \\
    &\quad + 3 \cdot \left[ 0 \cdot \dots \right] \quad \text{(为简洁，我们直接计算每个3x3行列式)} \\
    \end{aligned}
    $$
    我们换一种更清晰的方法计算这个4x4行列式。

**按第一行展开**：
    - $ C_{11} = +1 \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} = 1 \cdot [1\cdot((-1)(-1) - (0)(0)) - (-3)\cdot((0)(-1)-(1)(0)) + 2\cdot((0)(0)-(1)(-1))] = 1 \cdot [1\cdot(1) + 3\cdot(0) + 2\cdot(1)] = 1 \cdot (1+0+2) = 3 $
    - $ C_{12} = -(-3) \cdot \det\begin{bmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = +3 \cdot [0\cdot(...) - (-3)\cdot((1)(-1)-(0)(0)) + 2\cdot((1)(0)-(0)(-1))] = 3 \cdot [0 + (-3)\cdot(-1) + 2\cdot(0)] = 3 \cdot (3+0) = 9 $
    - $ C_{13} = +2 \cdot \det\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} = 2 \cdot [0\cdot(...) - 1\cdot((1)(-1)-(0)(0)) + 2\cdot((1)(1)-(0)(0))] = 2 \cdot [0 - 1\cdot(-1) + 2\cdot(1)] = 2 \cdot (0+1+2) = 2 \cdot 3 = 6 $
    - $ C_{14} = -0 \cdot (\dots) = 0 $

所以，$ \det(S) = 3 + 9 + 6 + 0 = 18 $.

**结论**：$ \text{Res}(P, Q) = 18 $。由于结果不为零，说明 $ P(x) $ 和 $ Q(x) $ 没有公共根。验证一下，$ P(x) = (x-1)(x-2) $，根为1, 2；$ Q(x) = (x-1)(x+1) $，根为1, -1。它们确实有公共根 $ x=1 $！等等，我们的计算和结论矛盾了。

**检查**：我们发现它们有公共根 $ x=1 $，但结式却是18 ≠ 0。问题出在哪里？

**关键点**：结式为零的充要条件是 **在复数域内** 有公共根，或者**两个多项式的首项系数同时为零**（这是一种退化情况）。我们的计算似乎出错了。让我们重新计算这个行列式。

让我们用更系统的方法计算 $ \det(S) $：

$$
S = \begin{bmatrix}
1 & -3 & 2 & 0 \\
0 & 1 & -3 & 2 \\
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1
\end{bmatrix}
$$

进行行变换： $ R3 \leftarrow R3 - R1 $
$$
S \sim \begin{bmatrix}
1 & -3 & 2 & 0 \\
0 & 1 & -3 & 2 \\
0 & 3 & -3 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1
\end{bmatrix}
$$

现在计算这个新矩阵的行列式（与S相同）。按第一列展开，只有第一个元素1非零。
$$
\det(S) = 1 \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 3 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}
$$

计算这个3x3行列式：
$$
\begin{aligned}
&\det\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 3 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \\
&= 1 \cdot ((-3)(-1) - (0)(0)) - (-3) \cdot ((3)(-1) - (0)(1)) + 2 \cdot ((3)(0) - (-3)(1)) \\
&= 1 \cdot (3 - 0) + 3 \cdot (-3 - 0) + 2 \cdot (0 + 3) \\
&= 3 + (-9) + 6 \\
&= 0
\end{aligned}
$$

啊哈！这样就对了。所以 $ \text{Res}(P, Q) = 0 $，这与它们有公共根 $ x=1 $ 的事实相符。

**教训**：计算高阶行列式时要非常小心！

---

### 方法二：通过根的公式计算

如果多项式容易因式分解，或者从理论角度分析，可以使用这个公式。

**公式**：
$$
\text{Res}(P, Q) = a_m^n b_n^m \prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{n} (r_i - s_j)
$$
其中 $ r_i $ 是 $ P(x) $ 的根，$ s_j $ 是 $ Q(x) $ 的根。

**例2**：用根的方法计算上例。
- $ P(x) = (x-1)(x-2) $，所以 $ r_1=1, r_2=2 $，首项系数 $ a_2=1 $。
- $ Q(x) = (x-1)(x+1) $，所以 $ s_1=1, s_2=-1 $，首项系数 $ b_2=1 $。
- $ m=2, n=2 $。

$$
\begin{aligned}
\text{Res}(P, Q) &= (1)^2 \cdot (1)^2 \cdot \prod_{i=1}^{2} \prod_{j=1}^{2} (r_i - s_j) \\
&= 1 \cdot [ (r_1 - s_1)(r_1 - s_2)(r_2 - s_1)(r_2 - s_2) ] \\
&= [ (1-1)(1-(-1))(2-1)(2-(-1)) ] \\
&= [ (0)(2)(1)(3) ] \\
&= 0
\end{aligned}
$$

这个方法直观且不易计算错误，但前提是你能找到所有的根。

---

### 计算技巧与注意事项

1.  **定义约定**：有些数学软件（如Mathematica）和文献中，结式的定义可能包含一个符号因子 $ (-1)^{mn} $，即 $ \text{Res}(P, Q) = (-1)^{mn} \det(S) $。在使用特定工具或参考不同文献时，请注意检查其定义。
2.  **零多项式**：如果两个多项式中有一个是零多项式，通常约定它们的结式为0。
3.  **首项系数为零**：在构造西尔维斯特矩阵时，必须使用多项式的**精确次数** $ m $ 和 $ n $。如果首项系数为零（$ a_m = 0 $ 或 $ b_n = 0 $），你需要先使用**精确次数**，而不是自动降低次数。结式为零的一个特殊情况就是 $ a_m = b_n = 0 $。
4.  **使用计算机代数系统**：对于复杂多项式，手动计算西尔维斯特矩阵的行列式非常繁琐且容易出错。在实际应用中，通常使用软件（如Mathematica的 `Resultant` 函数，Maple的 `resultant` 函数，SageMath的 `.resultant()` 方法）来计算。

### 总结

计算结式最可靠的方法是：
1.  **确认次数**：确定两个多项式的精确次数 $ m $ 和 $ n $。
2.  **构造矩阵**：按照规则构造 $ (m+n) \times (m+n) $ 的西尔维斯特矩阵。
3.  **计算行列式**：仔细计算该矩阵的行列式。
4.  **验证**：如果可能，用根的公式或计算机软件验证结果。

核心性质始终是：**结式为零当且仅当两多项式有公共根或其首项系数同时为零**。

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